专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何.pptVIP

第9讲空间解析几何与向量代数 第一节向量及其线性运算 第二节数量积向量积 第三节曲面及其方程 第四节空间曲线及其方程 第五节平面及其方程 第六节空间直线及其方程 第一节向量及其线性运算 一 向量概念 二 向量的线性运算 三 空间直角坐标系 四 利用坐标作向量的线性运算 五 向量的模 方向角 返回 复习要求 1 理解向量的概念 掌握向量的坐标表示法 会求单位向量 方向余弦 向量在坐标轴上的投影 2 掌握向量的线性运算 向量的数量积与向量积的计算方法 3 掌握二向量平行 垂直的条件 一 向量概念 向量 有向线段 符号表示 等 自由向量 只研究大小与方向 与起始点无关 自由向量的相等 大小相等且指向相同 向量的模 向量的长度 向量平行 两个非零向量的方向相同或者相反 k个向量共面 k 3 个有公共起点的向量的k个终点和起点在一个平面上 返回 二 向量的线性运算 1 向量的加减法 加法 2 平行四边形法则 1 三角形法则 多个向量相加 可以按照三角形法则 特例 2 向量与数的乘法 向量与实数的乘积记作 设表示与非零向量同方向的单位向量 按照向量与数的乘积的规定 上式表明 一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量 三 空间直角坐标系 坐标轴 取空间一个定点O 作三条互相垂直的数轴 它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位 这三条轴分别叫作x轴 横轴 y轴 纵轴 z轴 竖轴 点O叫作坐标原点 或原点 通常取x轴 y轴水平放置 z轴竖直放置 它们的正向符合右手法则 Oxyz坐标系可记作 O 坐标系 坐标面 空间直角坐标系中任两轴确定的平面 xOy面 yOz面 xOz面 卦限 坐标面将空间分为八个卦限 用字母 表示 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 向量的坐标分解式 向径 以原点为起点 M为终点的向量 例如 坐标面上的点 返回 四 利用坐标作向量的线性运算 设 为实数 推论 则 五 向量的模 方向角 1 向量的模与两点的距离公式 向量的模 例求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解因为 同理可得 所以 即为等腰三角形 2 方向角与方向余弦 两向量的夹角的概念 特殊地 当两个向量中有一个零向量时 规定它们的夹角可在0与之间任意取值 设 类似地 可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 M 方向余弦 方向余弦的特征 单位向量的方向余弦为 第二节数量积向量积 一 两向量的数量积 二 两向量的向量积 返回 一 两向量的数量积 实例 数量积也称为 点积 内积 关于数量积的说明 证 证 数量积符合下列运算规律 1 交换律 2 分配律 3 若为数 若 为数 数量积的坐标表达式 设 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 例已知三点M 1 1 1 A 2 2 1 和B 2 1 2 求 代入两向量夹角余弦的表达式 得 由此得 二 两向量的向量积 实例 定义 证 设 向量积的坐标表达式 向量积还可用三阶行列式表示 由上式可推出 补充 例如 解 例设 计算 例已知三角形ABC的顶点分别是A 1 2 3 B 3 4 5 和C 2 4 7 求三角形ABC的面积 于是 第五节平面及其方程 一 平面的点法式方程 二 平面的一般方程 三 两平面的夹角 复习要求 1 会求平面的点法式方程 一般式方程 会判定两平面的垂直 平行 2 会求点到平面的距离 3 了解直线的一般式方程 会求直线的标准式方程 参数式方程 会判定两直线平行 垂直 4 会判定直线与平面间的关系 垂直 平行 直线在平面上 一 平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 容易知道 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直 则 由于 所以 由此可知 平面II上的任一点的坐标x y z都满足方程 所以方程叫做平面的点法式方程 例求过点 2 3 0 且以n 1 2 3 位法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程 得所求平面的方程 x 2 2 y 3 3z 0 例求过三点M1 2 1 4 M2 1 3 2 和M3 0 2 3 的平面的方程 解先找出这平面的法线向量n 由于向量n与向量 都垂直 而 14i 9j k 二 平面的一般方程 由此可知 任一三元一次的图形总是一个平面 对于一些特殊的三元一次方程 应该熟悉它们的图形的特点 当D 0时 Ax By Cz 0表示一个通过原点的平面 当A 0时 By Cz D 0 法线向量n 0 B C 垂直于x轴 其表示一个平行于x轴的平面 同样 方程Ax Cz D 0和Ax By D 0 分别表示一个平行于y轴和z轴的平面 例求通过x轴和点 4 3 1 的平面的方程 解由于平面通过x轴 从而它的法线向量垂直于x轴 于是法线向量在x轴上的投影为零 即A 0 又由平面通过x轴 它必通过原点 于是D 0 因此可设这平面的方程为 By Cz 0 y 3z 0 因P a 0 0 Q 0 b 0 R 0 0 c 三点都在这平面上 所以点P Q R的坐标都满足方程 即有 本方程叫做平面的截距式方程 而a b c依次叫做平面在x y z轴上的截距 故所求的平面方程为 三 两平面的夹角 两平面的法线向量的夹角 通常指锐角 称为两平面的夹角 设平面II1和II2的法线向量依次为n1 A1 B1 C1 和n2 A2 B2 C2 那么 例求两平面x y 2z 6 0和2x y z 5 0的夹角 解由前公式有 因此 所求夹角 例如 求点 2 1 1 到平面x y z 1 0的距离 d 可利用公式 便得 第六节空间直线及其方程 一 空间直线的一般方程 二 空间直线的对称式方程与参数方程 三 两直线的夹角 四 直线与平面的夹角 复习要求 1 了解直线的一般式方程 会求直线的标准式方程 参数式方程 会判定两直线平行 垂直 2 会判定直线与平面间的关系 垂直 平行 直线在平面上 一 空间直线的一般方程 设两个相交的平面II1和II2的方程分别为A1x B1y C1z D1 0和A2x B2y C2z D2 0 则其交线 直线 L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程 即应满足方程组 1 方程组 1 叫做空间直线的一般方程 通过空间一直线L的平面有无限多个 只要在这无限多个平面中任意选取两个 把它们的方程联立起来 所得的方程组就表示空间直线L 二 空间直线的对称式方程与参数方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 设直线L上一点M0 x0 y0 z0 已知它的一方向向量为s m n p 下面建立这直线方程 从而有 上方程组称为直线的对称式方程或点向式方程 直线的任一方向向量s的坐标m n p叫做这直线的一组方向数 而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦 由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程 如设 那么 上方程组就是直线的参数方程 例用对称式方程及参数方程表示直线 解先找出这直线上的一点 x0 y0 z0 例如 可以取x0 1 代入方程组 得 即 1 0 2 是这直线上的一点 下面再找出这直线的方向向量s 由于两平面的交线与这两平面的法线向量n1 1 1 1 n2 2 1 3 都垂直 所以可取 因此 所给直线的对称式方程为 令 得所给直线的参数方程为 三 两直线的夹角 两条直线的方向向量的夹角 通常指锐角 叫做两直线的夹角 设直线L1和L2的方向向量依次为s1 m1 n1 p1 和s2 m2 n2 p2 那么L1和L2的夹角则 例求直线L1 和L2 的夹角 解直线L1的方向向量为s1 1 4 1 直线L2的方向向量为s2 2 2 1 所以 按两向量夹角余弦的坐标表示式 有 四 直线与平面的夹角 例求过点 1 2 4 且与平面2x 3y z 4 0垂直的直线的方程 解因为所求直线垂直于已知平面 所以可以取已知平面的法线向量 2 3 1 作为所求直线的方向向量 由此可得所求直线的方程为 五 杂例 例1求与两平面x 4y 3和2x y 5z 1的交线平行且过点 3 2 5 的直线的方程 解因为所求在直线与两平面的交线平行 也就是直线的方向向量s一定同时与两平面的法线向量n1 n2垂直 所以可以取 因此所求直线的方程为 是所求直线的一个方向向量 故所求直线的方程为 有时用平面束的方程解题比较方便 现在我们来介绍它的方程 反之 通过直线L的任何平面 除平面 2 外 都包含在方程 3 所表示的一族平面内 通过定直线的所有平面的全体称为平面束 而方程 3 就作为通过直线L的平面束的方程 事实上 方程 3 表示缺少平面 2 的平面束 第三节曲面及其方程 一 曲面方程的概念 二 旋转曲面 三 柱面 四 二次曲面 返回 复习要求 了解球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转抛物面 圆锥面和椭球面的方程及其图形 曲面方程的定义 一 曲面方程的概念 以下给出几例常见的曲面 解 根据题意有 所求方程为 特殊地 球心在原点时方程为 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题 2 已知坐标间的关系式 研究曲面形状 讨论旋转曲面 讨论柱面 二次曲面 1 已知曲面作为点的轨迹时 求曲面方程 三 柱面 这条定曲线叫柱面的准线 动直线叫柱面的母线 柱面举例 抛物柱面 平面 C L C L x y z O C F x y 0 x y z O x z 0 L 从柱面方程看柱面的特征 其他类推 实例 椭圆柱面 轴 双曲柱面 轴 抛物柱面 轴 二 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转过程中的特征 将代入 设 将代入 得方程 解 圆锥面方程 解绕z轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面 绕x轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面 x y o z z 单叶双曲面图形 双叶双曲面图形 x y o z 二次曲面的定义 三元二次方程所表示的曲面称之 相应地平面被称为一次曲面 讨论二次曲面性状的截痕法 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截 考察其交线 即截痕 的形状 然后加以综合 从而了解曲面的全貌 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面 四 二次曲面 O