高考数学一轮复习考案 7.2 圆的方程课件 文.pptVIP

7 2圆的方程 从近几年的高考试题来看 求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标 半径等是高考的热点 题型有选择 填空和解答题 客观题突出 小而巧 的特点 可以预测2013年高考用待定系数法求圆的方程仍是考查的重点 同时注重考查方程思想和数形结合思想的运用 一 圆的方程 1 圆的定义 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆 2 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 圆心为c a b 半径为r 若圆心在坐标原点上 这时a b 0 则圆的方程就是x2 y2 r2 3 圆的一般方程 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 3 当d2 e2 4f 0时 方程 没有实数解 因而它不表示任何图形 二 点与圆的位置关系 判断点a x0 y0 与圆c x a 2 y b 2 r2的位置关系 可用下列方法 1 几何法 ac r 点a在圆内 ac r 点a在圆上 ac r 点a在圆外 2 代数法 x0 a 2 y0 b 2 r2 点a在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 点a在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 点a在圆外 三 对称问题 圆 x a 2 y b 2 r2关于直线x 0的对称圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 关于直线y 0的对称圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 关于直线y x的对称圆的方程为 x b 2 y a 2 r2 关于直线y x的对称圆的方程为 x b 2 y a 2 r2 对于一般的直线方程ax by c 0 先求出圆心p a b 关于直线的对称点p1 然后以p1为圆心r为半径写出圆的方程即可 1 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 a a b a 0 c 2 a 0 d 2 a 答案 d 解析 由a2 4a2 4 2a2 a 1 0知 3a2 4a 4 0 即3a2 4a 4 0 2 a 2 圆 x 2 2 y2 5关于原点o 0 0 对称的圆的方程为 a x 2 2 y2 5 b x2 y 2 2 5 c x 2 2 y 2 2 5 d x2 y 2 2 5 解析 点 2 0 关于 0 0 对称点 2 0 则所求圆的方程为 x 2 2 y2 5 答案 a 3 点p 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 a x 2 2 y 1 2 1 b x 2 2 y 1 2 4 c x 4 2 y 2 2 4 d x 2 2 y 1 2 1 答案 a 4 以直线2x y 4 0与两坐标轴的一个交点为圆心 过另一个交点的圆的方程为 答案 x2 y 4 2 20或 x 2 2 y2 20 解析 令x 0得y 4 令y 0得x 2 直线与两轴交点坐标为a 0 4 和b 2 0 ab 以点a为圆心过点b的圆方程为x2 y 4 2 20 以点b为圆心过点a的圆方程为 x 2 2 y2 20 题型1圆的方程 例1求经过点a 2 4 且与直线l x 3y 26 0相切于点b 8 6 的圆的方程 分析 求圆的方程 既可以设圆的一般方程 也可以设圆的标准方程 用待定系数法求解 解析 法一 设所求圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 则圆心c kcb 由kcb kl 1得 1 又 2 2 4 2 2d 4e f 0 82 62 8d 6e f 0 由 联立解得d 11 e 3 f 30 所求圆的方程为x2 y2 11x 3y 30 0 法二 设所求圆的圆心为c 则cb l 从而可得cb所在直线的方程为y 6 3 x 8 即3x y 18 0 由a 2 4 b 8 6 得ab的中点坐标为 3 1 又kab 1 ab的垂直平分线的方程为y 1 x 3 即x y 4 0 由 联立后 解得即圆心的坐标为 所求圆的半径r 所求圆的方程为 x 2 y 2 点评 用待定系数法求圆的方程的步骤大致是 根据题意选择方程的形式 标准方程或一般方程 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 变式训练1 1 求经过两点a 1 4 b 3 2 且圆心在y轴上的圆的方程 2 求与x轴切于点 5 0 并且在y轴上截得的弦长为10的圆的方程 题型2与圆有关的最值问题 例2 1 由直线y x 1上的一点向圆 x 3 2 y2 1引切线 求切线长的最小值 2 若实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求的最值 分析 1 由于切线垂直于过切点的半径 故切线长的平方等于圆外的点到圆心的距离与半径的平方差 2 将看作斜率 数形结合求最值 解析 1 如图所示 设直线上一点p 切点为q 圆心为m 则 pq 即 为切线长 mq为圆m的半径 长度为1 pq 要使 pq 最小 即求 pm 的最小值 也即求直线y x 1上的点到圆心m的最小距离 即圆心到直线y x 1的距离d 则d 2 pm 的最小值为2 pq 2 表示过点p 1 0 与圆 x 2 2 y2 3上的点 x y 的直线的斜率 点评 求与圆有关的最值问题常采用几何法 就是利用一些代数式的几何意义进行转化 如形如m 的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 形如t ax by的最值问题 可转化为直线在y轴上的截距的最值问题 形如m x a 2 y b 2的最值问题 可转化为两点间的距离平方的最值问题 变式训练2已知实数x y满足方程y 求 1 的最大值和最小值 2 x 2y的最大值和最小值 1 求圆的方程时 要选择适当的方程 1 若条件与半径 圆心坐标有关 选标准式 2 若条件与半径 圆心坐标无关选一般式 研究圆的一般式方程要注意其存在的条件 2 研