代数结构与初等数论2014下试卷A.doc

制卷人签名： 制卷日期： 审核人签名： 审核日期： 装 订线 湘潭大学20 年 学期级代数结构与初等数论试卷（A卷） 适用年级专业 考试方式闭卷 考试时间 120 分钟学院 信息工程学院 专业 计算机科学与技术 班级 学号 姓名 题号一二三四五六七八总分阅卷教师得分得分一、单项选择题（共20分，每小题2分）1、设都是整数。于是，若 则（ ）。A ； B； C； D。2、质数和整数互质当且仅当（ ）。A ； B； C； D。3、6阶群的子群不可能是（ ）群。A 2阶； B5阶； C3阶； D6阶。4、下列运算中在自然数集合N上可结合的是（ ）A ； B； C； D。5、设Q为有理数集，在Q上定义运算*为。于是，的幺元是（ ）。A ； B0； C； D1。6、设H和K都是G的子群。于是，（ ）也是G的子群。 AHK； B； CH-K D. 。7、设G是非空有限集合，若定义在G上的乘法运算是封闭的且满足结合律和消去律，则G（ ）。A不一定是群； B一定不是群； C一定是群。 8、对于任意一个环R，在R中（ ）。A有零元并且有幺元； B有零元但不一定有幺元； C有零元无幺元；9、设S=1,2,100，x, y S，下面定义的运算关于集合S封闭的是（ ）。Axy=x+y； Bxy=x除y的余数； Cxy=maxx, y； D. xy=x,y的最小公倍数。10、设L，和L，是两个等价的格，x，yL。于是xy=y当且仅当xy=x当且仅当（ ）。Axy； Bxy； Cy x； D. yx。得分二、填空题（共20分，每个空格1分） 1、设S是非空有限集，代数系统中，关于运算的幺元为 ,零元为 。2、当有限群的阶为 时，它无非平凡子群。3、设Z是整数集，则循环群的生成元为 和 ，周期均为 。4、无限循环群共有 个生成元，若一个生成元为, 则另一个为 。5、任何质数阶的群必是 群，并且其子群必是 。6、设R是一个环，若R除自己和(0)外没有别的理想，则R称为 环。7、设H是群G的子群，a，bG。于是，任意两个左陪集aH和bH或者 ，或者 。8、若R是一个环，则R对它的乘法不可能作成一个群。因为 。9、设L，是一个代数格，于是，运算和满足结合律、 和 。10、设L，是有界格，a，bL，若a和b互为余元素，则有ab= 和ab= 。11、循环群的生成元为 和 。得分三、判断题（共20分，每小题2分。你认为正确的请在题后的括号内打“”，否则打“”）1. 若和互质，而，则必有。 （ ）2. 若和都互质，则和不一定互质。 （ ）3 设、是整数，且，于是， （ ）4. 设、是整数。若且，则 （ ）5 域必是整环，但整环不一定是域。 （ ）6 无限循环群的所有子群都是无限循环群。 （ ）7 设H是G的正规子群，于是，对任意的aG，hH，有ah=ha成立。 （ ）8 设R是实数集，“”是数值间的小于等于关系，S=xR|0 x 1，于是，S，是一个格。（ ）9 设L，是任意一个有限格，于是，L的任意非空子集S都有一个最大下界和最小上界。 （ ）10 设L，是一个有余格，于是，L中的每一个元素恰有一个余元素。 （ ）得分四、简答题（共20分）1、解同余方程（4分）根据2、设Q为有理数集，在Q上定义运算为：，其中，“+”和“-”为普通数的加、减运算。请回答以下问题（6分，每小题2分）：(1) 求代数系统中的幺元，即对任意，满足的。(2) 求中元素的逆元（若存在），即满足（幺元）的。(3) 试计算。3、设和为域上的多项式。试列出被除的竖式并给出商式和余式。（4分）4、设G是非零实数集合，在G上定义的运算为数的普通乘法。请指出下述映射哪些是G到G的同态映射，并给出其同态核ker()。（6分，每小题1分） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 得分五、 证明题（共20分，每小题5分）1、设N为自然数集合，。试证