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文档简介

1 矩阵的特征值和特征向量 第四章 2 本章介绍矩阵的特征值 特征向量以及矩阵的对角化问题 3 第一节矩阵的特征值与特征向量 定义 一 特征值与特征向量的基本概念 例如 4 一个特征向量只能属于一个特征值 证明如下 说明 1 特征值问题是针对方阵而言的 2 特征向量必须是非零向量 3 特征向量既依赖于矩阵A 又依赖于特征值 5 二 特征值与特征向量的求法 记 称为矩阵A的特征多项式 为矩阵A的特征方程 6 而矩阵A属于特征根的特征向量 计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下 7 例1 解 所以A的特征值为 8 相应齐次线性方程组的基础解系为 9 相应齐次线性方程组的基础解系为 10 相应齐次线性方程组的基础解系为 11 例2 解 所以A的特征值为 12 相应齐次线性方程组的基础解系为 13 相应齐次线性方程组的基础解系为 14 对角阵 上三角阵 下三角阵 它们的特征值即为主对角元 15 三 特征值与特征向量的性质 性质1 证 2 可推广到多个特征向量 16 属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关 性质2 属于不同特征值的特征向量线性无关 只证两个特征向量的情况 证 1 2 推广 17 性质3 证 从而有相同的特征值 注意 18 性质4 证 2 重复这个过程 可得 19 性质4 证 3 20 例3 多项式 证略 例如 矩阵A的有一个特征值为2 则 有一个特征值 7 例4 证 幂等矩阵 21 例3 多项式 证略 例如 矩阵A的有一个特征值为2 则 有一个特征值 7 例4 幂等矩阵 练习 22 例5 解 由性质4 23 四 特征多项式的性质 中出现 故有 而常数项等于 所以 24 比较系数得 性质5 推论方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零 25 例6
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