浙江省普通高中课程数学必修一函数单调性.ppt

函数的单调性 问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯 对人类的记忆牢固程度进行了有关研究 他经过测试 得到了以下一些数据 思考1 当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势 通过这个试验 你打算以后如何对待刚学过的知识 思考2 艾宾浩斯遗忘曲线 从左至右是逐渐下降的 对此 我们如何用数学观点进行解释 问题 观察上面函数的图象 并指出在定义域内的上升与下降情况 y 3x 2 y x2 y x 1 新课 一 函数单调性的概念 1 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数f x 在区间D上是增函数 increasingfunction 这一区间叫做f x 的单调增区间 一般地 设函数f x 的定义域为I 2 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么就说函数f x 在区间D上是减函数 decreasingfunction 这一区间叫做f x 的单调减区间 注 增 减函数是相对于定义域内某个区间而言的 f x 在这一区间具有单调性 如果函数y f x 在区间D上是增函数或减函数 则称函数f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间D叫做函数f x 的单调区间 思考 那么二次函数在R上具有单调性吗 函数y x 1 2的单调区间如何 2 函数的单调性是对某个区间而言的 1 函数单调区间所表示的集合是函数定义域的子集 理论迁移 例1如图是定义在闭区间 5 6 上的函数的图象 根据图象说出的单调区间 以及在每一单调区间上 函数是增函数还是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 答 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 图象法 例2 证明函数f x 3x 2在R上是增函数 f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 由x1 x2 得x1 x2 0 即f x1 f x2 证明 设x1 x2是R上的任意两个实数 且x1 x2 则 3 x1 x2 于是f x1 f x2 0 所以 函数f x 3x 2在R上是增函数 设元 判号 变形 作差 定论 定义法 利用定义判定 证明 函数的增 减性 设元 作差 变形 判号 定论 定义法 利用定义判定 证明 函数的增 减性 设元 作差 变形 判号 定论 思考1 画出函数y 1 x的图象 小结 通过观察图象 先对函数是否具有某性质做出猜想 然后通过逻辑推理 证明这种猜想的正确性 是研究函数性质的一种常用方法 1 这个函数的定义域I是什么 2 它在定义域I上的单调性是怎样 证明你的结论 由图象知 函数在定义域上不具有单调性 归纳已学函数的单调性 1 一次函数y kx b2 反比例函数y k x3 二次函数y ax2 bx c 例4已知函数在区间 0 4 上是增函数 求实数的取值范围 思考2 若函数f x 在区间D上为增函数 a 0为常数 则函数a f x af X 的单调性如何 思考3 若函数f x g x 在区间D上都是增函数 则函数f x g x f x g x 在区间D上的单调性能否确定 思考4 若函数f x 在区间D上是恒正的增函数 则在区间D上是增函数吗 函数在区间D上是减函数 1 函数单调性的定义 1 图象法 2 定义法 小结 2 函数单调性的判定 一般步骤 1 任取这个区间上的两个自变量x1 x2 且x1