高中数学 第二章 解析几何初步 圆与圆的方程及综合应用课件 北师大版必修2.ppt

习题课 圆与圆的方程及综合应用 1 圆的标准方程与一般方程的比较 2 直线与圆 圆与圆位置关系的解决方法 1 几何法 侧重点在于利用圆的几何性质 并利用半径与距离的量来刻画位置关系 解法简捷 直观 2 代数法 侧重点在于利用联立方程的思路 通过方程解的组数来刻画位置关系 解法比较抽象 但很严谨 3 重要结论 1 过圆x2 y2 r2上一点p x0 y0 的切线方程为x0 x y0y r2 2 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点p x0 y0 的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 3 过圆x2 y2 r2外一点p a b 作圆的切线pa pb 其中a b为切点 则直线ab的方程为ax by r2 4 a x1 y1 b x2 y2 以ab为直径的圆的方程为 x x1 x x2 y y1 y y2 0 5 过两圆交点的直线方程 设圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0 圆c2 x2 y2 d2x e2y f2 0 得 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 若圆c1与圆c2相交 则 为过两圆交点的弦所在直线的方程 6 过直线与圆的交点的圆系方程 若直线l ax by c 0与圆c x2 y2 dx ey f 0相交 则方程x2 y2 dx ey f ax by c 0表示过直线l与圆c的两个交点的圆系方程 7 过圆与圆的交点的圆系方程 若圆c1 x2 y2 dx ey f 0与圆c2 x2 y2 d x e y f 0相交 则过这两个圆交点的圆系方程可设为x2 y2 dx ey f x2 y2 d x e y f 0 1 8 圆的常用几何性质 圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上 圆上异于直径端点的点与直径的两端点连线垂直 过切点且垂直于该切线的直线必过圆心 做一做1如果x2 y2 2x y k 0是圆的方程 则实数k的取值范围是 解析 令d2 e2 4f 2 2 12 4k 0 得k 答案 b 解析 本题可转化为直线x y 1 0与圆 x 1 2 y 1 2 r2 r 0 相切 求r 答案 b 解析 如图所示 由题意知圆的圆心坐标为 0 0 半径r 2 答案 b 做一做4如果直线x my 2 0与圆x2 y 1 2 1有两个不同的交点 则 答案 b 做一做5若圆 x 2 2 y2 9与圆 x 1 2 y a 2 64内切 则实数a 答案 4 做一做6求过直线2x y 4 0和圆x2 y2 2x 4y 1 0的交点 且满足下列条件的圆的方程 1 过原点 2 面积最小 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一求圆的方程 例1 已知圆c关于y轴对称 经过点a 1 0 且被x轴分成两段弧长之比为1 2 求圆c的方程 分析 先设出圆的标准方程 然后利用点在圆上及弧长之比列出方程组求解即可 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练1已知圆c与y轴相切 圆心c在直线l1 x 3y 0上 且圆c在直线l2 x y 0上截得的弦长为 求圆c的方程 解 因为圆心c在直线l1 x 3y 0上 所以可设圆心坐标为 3t t 又圆c与y轴相切 所以圆的半径为r 3t 再由弦心距 半径 弦长的一半组成的直角三角形可得 所以圆心坐标为 3 1 或 3 1 半径为3 故所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二直线与圆 圆与圆位置关系的应用 例2 1 设直线kx y 1 0被圆o x2 y2 4所截弦的中点的轨迹为c 则曲线c与直线x y 1 0的位置关系为 a 相交b 相切c 相离d 不确定 2 已知圆c1 x2 y2 m与圆c2 x2 y2 6x 8y 11 0相切 则实数m的值为 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 2 由于圆c1的圆心在圆c2内部 所以两圆只能内切 圆c2的方程可化为 x 3 2 y 4 2 36 由于两圆内切 所以有 解得 m 1或m 121 答案 1 a 2 1或121 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练2 1 若直线x y 1 0与圆 x a 2 y2 2有公共点 则实数a的取值范围是 a 3 1 b 1 3 c 3 1 d 3 1 2 圆x2 y2 4x 4y 7 0与圆x2 y2 4x 10y 13 0的公切线的条数是 a 1b 2c 3d 4 答案 1 c 2 d 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三与圆有关的最值问题 例3 若实数x y满足 x 2 2 y2 3 则 的最大值 为 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练3若直线l ax by 1 0始终平分圆m x2 y2 4x 2y 1 0的周长 则 a 2 2 b 2 2的最小值为 答案 b 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四与圆有关的弦及弦长问题 例4 1 已知圆c x2 y2 8y 12 0 直线l ax y 2a 0 当a为何值时 直线l与圆c相切 当直线l与圆交于a b两点 且 ab 时 求直线l的方程 分析 利用d r列式 利用弦长公式列方程 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 2 已知圆x2 y2 x 6y m 0与直线x 2y 3 0交于p q两点 o为坐标原点 那么是否存在实数m 使得op oq 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 分析 通过原点和点 x y 的直线的斜率为 由直线与圆的方程 构造以 未知数的一元二次方程 由根与系数的关系得出kop koq 的表达式 从而使问题得以解决 解 由直线方程得3 x 2y 将其代入圆的方程x2 y2 x 6y m 0 整理得 12 m x2 4 m 3 xy 4m 27 y2 0 由题意知x 0 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练4 1 已知直线x y a 0与圆心为c的圆x2 y2 2x 4y 4 0相交于a b两点 且ac bc 则实数a的值为 答案 0或6 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 2 已知圆c1 x2 y2 2x 6y 1 0 圆c2 x2 y2 4x 2y 11 0 求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究五 一题多解 探究四 探究五与圆有关的轨迹问题 例5 定长为4的线段ab的两个端点a b分别在x轴和y轴上滑动 求线段ab的中点m的轨迹方程 分析 要设出动点m及a b的坐标 并找出三点坐标之间的关系 最后利用 ab 4化简即得 探究一 探究二 探究三 探究五 一题多解 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 一题多解 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 一题多解 探究四 变式训练5已知点o 0 0 和点b m 0 m 0 动点p到点o和点b的距离之比为2 1 求p点的轨迹 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 与圆有关的切线问题 典例求经过点 1 7 且与圆x2 y2 25相切的直线方程 思路点拨 方法1 采用代数法 根据当 0时直线与圆相切来求斜率k 方法2 采用几何法 若直线与圆相切 则圆心到直线的距离等于半径 方法3 利用过圆上一点 x0 y0 的切线方程为x0 x y0y r2求解 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 解法1 因为12 7 2 50 25 所以点 1 7 是圆外一点 由题易知切线的斜率存在 所以设切线的斜率为k 由点斜式得y 7 k x 1 即y k x 1 7 将上式代入圆的方程x2 y2 25 得x2 k x 1 7 2 25 整理得 k2 1 x2 2k2 14k x k2 14k 24 0 令 2k2 14k 2 4 k2 1 k2 14k 24 0 整理得12k2 7k 12 0 所以切线方程为4x 3y 25 0或3x 4y 25 0 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 解法2 由题易知切线的斜率存在 所以设所求直线的斜率为k 所以所求切线的方程为y 7 k x 1 整理成一般式为kx y k 7 0 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 探究一 探究二 探究三 探究四 一题多解 探究五 123456 1 已知点m x0 y0 是圆x2 y2 a2 a 0 内异于圆心的一点 则直线x0 x y0y a2与该圆的位置关系为 a 相切b 相交c 相离d 相切或相交 答案 c 123456 2 若方程a2x2 a 2 y2 2ax a 0表示圆 则a的值为 a 1b 2c 1或2d 1 答案 a 123456 3已知圆c x2 y2 mx 4 0上存在两点关于直线x y 3 0对称 则实数m的值为 a 8b 4c 6d 无法确定 答案 c 123456 4 已知圆c1 x 2 2 y 3 2 1 圆c2 x 3 2 y 4 2 9 m n分别是圆c1 c2上的动点 p为x轴上的动点 则 pm pn 的最小值为 123456 解析 圆c1 c2如图所示 设p是x轴上任意一点 则 pm 的最小值为 pc1 1 同理 pn 的最小值为 pc2 3 则 pm pn 的最小值为 pc1 pc2 4 作c1关于x轴的对称点c 1 2 3 连接c 1c2 与x轴交于点p 连接pc1 根据三角形两边之和大于第三边可知 pc1 pc2 的最小值为 c 1c2 答案 a 123456 5 已知点p是圆x2 y2 16上的动点 点a为 12 0 m为pa的中点 则点m的轨迹方程是 解析 设m x y a 12 0 m为pa的中点 p 2x 12 2y 点p为圆x2 y2 16上的动点 2x 12 2 4y2 16 即 x 6 2 y2 4 答案 x 6 2 y2 4 123456 6 已知点