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第四节 一 对面积的曲面积分的概念与性质 二 对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 第十一章 一 对面积的曲面积分的概念与性质 引例 设曲面形构件具有连续面密度 x y z 求质量M 类似求平面薄板质量的思想 其中 表示n小块曲面的直径的最大值 曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者 采用 分割 求和 取极限 的方法 可得 1 定义 设 为光滑曲面 f x y z 是定义在 上的一个有界函数 乘积和式极限 都存在 其中f x y z 叫做被积函数 叫做积分曲面 据此定义 曲面形构件的质量为 曲面面积为 或第一类曲面积分 若对 做任意分割和局部区域任意取点 则称此极限为函数f x y z 在曲面 上对面积的曲面积分 则对面积的曲面积分存在 对积分域的可加性 线性性质 若f x y z 在光滑曲面 上连续 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似 积分的存在性 若 是分片光滑的 例如分成两片光滑曲面 1 2 则有 2 性质 设k1 k2为常数 则 定理 设有光滑曲面 z z x y x y Dxy f x y z 在 上连续 则曲面积分 存在 且有 二 对面积的曲面积分的计算法 而 证明 由定义知 说明 可有类似的公式 1 如果曲面方程为 或 2 若曲面为参数方程 只要求出在参数意义下dS的表达式 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分 例1 计算曲面积分 其中 是球面x2 y2 z2 a2被平面z h 0 h a 截出的顶部 解 思考 若 是球面x2 y2 z2 a2 被平行平面z h截出的上下两部分 则 例2 计算 其中 是由平面x y z 1与坐标面所围成的四面体的表面 解 设 1 2 3 4分别表示 在平面 上的部分 则 原式 例3 设 x2 y2 z2 a2 计算 解 锥面与上半球面 交线为 设 1为上半球面夹于锥面间的部分 它在xoy面上的投影域为 则 例4 求半径为R的均匀半球壳 的重心 解 设 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 而 用球坐标 例5 计算 解 取球面坐标系 则 例6 计算 其中 是球面 利用对称性可知 解 显然球心为 1 1 1 半径为 利用重心公式 例7 计算 其中 是介于平面z 0 z H之间的圆柱面x2 y2 R2 分析 若将曲面分为前后 或左右 两片 则计算较繁 则 解 取曲面面积元素 例8 求椭圆柱面位于xoy面上方 及平面z y下方那部分柱面 的侧面积S 解 取 例9 设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面高度h 36000km 运行的角速度与地球自转角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比 地球半径R 6400km 解 建立坐标系如图 覆盖曲面 的半顶角为 利用球坐标系 则 卫星覆盖面积为 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为 由以上结果可知
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