测度与可测函数.ppt

第一章实变函数初步 第一节直线上点集的勒贝格测度与可测函数 勒贝格测度与勒贝格可测集 可测函数 测度 欧氏空间中长度 面积和体积概念的推广 可测函数列的极限问题 一 点集的勒贝格测度与可测集 1 几个特殊点集的测度 设E为直线R上的有限区间 a b 或 a b 或 a b 或 a b 则其测度定义为 m E m a b b a 2 设E为平面上有界闭区域D 则其测度定义为 m E SD 4 若E 则定义m E m 0 3 设E为空间上有界闭区域 则其测度定义为 m E V 6 若E为一随机事件 则定义m E P E 古典概率 5 若E x 是单点集 则定义m E 0 2 直线上非空有界开集与有界闭集的测度 定义1设E R非空点集 a R 1 设 0 称开区间 a a O a 为a的 邻域 直线上包含a的任一开区间 均可称为点a的邻域 2 设a E 若存在a的一个邻域 使得 E 则称a是E的内点 定义2设E R非空点集 如果E中的所有点都是内点 则称E是开集 定义3设G是直线R上的一个有界开集 如果开区间 满足条件 1 G2 G G 则称 为开集G的一个构成区间 定义4设G为直线R上的有界开集 即 a b G ai bi i I 为G的构成区间 则定义m G bi ai 0 m G b a 定义5设F a b R为有界闭集 G a b F 则定义 m F b a m G 注 m F 0 且m F 的值与区间 a b 的选取无关 定理1 开集的构造定理 设G R为有界开集 1 对 a G 必有G的一个构成区间 使得a 2 G可以表示为至多可数个互不相交的构成区间的并 即G k k 其中 k k i i k k 为G的构成区间 现在我们可以定义开集和闭集的测度 定义6 确界 设A R使非空数集 1 如果存在一个实数 满足 1 x A 有x 2 0 x0 则称 为A的上确界 记作 2 如果存在一个实数 满足 1 x A 有x 2 0 x0 则称 为A的下确界 记作 定理2 确界存在公理 任何有上 下 界的数集必有上 下 确界 3 直线上一般有界点集的勒贝格 Lebesgue 测度 3 直线上一般有界点集的勒贝格 Lebesgue 测度 定义7设E R为任一有界集 称一切包含E的有界开集的测度的下确界为E的L外测度 记为m E 即 m E inf m G G为有界开集 E G 2 称一切包含于E的有界集的测度的上确界为E的L内测度 记为m E 即 m E sup m F F为有界闭集 F E 3 如果m E m E 则称E的内测度与外测度的共同值为E的L测度 记为m E 即 这时 也称E是勒贝格可测集 简称L可测集 m E m E m E 注 1 对于有界开集G 有m G m G 2 对于有界闭集F 有m F m F 3 对于任一非空有界集E 有m E m E 根据定义 定理3设X a b 是基本集 有界 E Ei X i 1 2 均为有界可测集 则有EC X E E1 E2 E1 E2 E1 E2 Ei Ei均可测 且 1 m E 0 且E 时 m E 0 非负性 3 m E1 E2 m E1 m E2 次可加性 若E1 E2 则m E1 m E2 单调性 m E2 E1 m E2 m E1 4 可测集的性质 4 若E1 E2 则m E1 E2 m E1 m E2 有限可加性 5 若Ei Ej i j i j 1 2 则m Ei m Ei 可列可加性 1 若E1 E2 Ek 则E Ek可测 m E limm Ek 定理4设X a b 是基本集 Ek 是X上的可测集列 2 若E1 E2 Ek 则E Ek可测 m E limm Ek 定理5设E R有界 则E可测 存在开集G和闭集F 使F E G 且m G F 证 E可测 m E m E m E 0 开集G和闭集F 使F E G 且m G F 0 开集G E和闭集F E 使 m E m E m G m F m E m E 由 的任意性 例1有限集是有界闭集 其测度为零 例2任何有界的可数点集是L可测集 且其测度为零 注 1 有理点集合无力点集都是非开非闭集 证 应用 可列可加性 3 0 1 中的无理点集虽然是不可列集 但它是L可测集 且其测度为1 证 应用 有限可加性 或 闭记的定义 2 0 1 中的有理点集是可列集 因而是L可测集 且其测度为零 5 几个值得注意的问题 1 关于无界集的测度问题 定义4设E R为任一无界点集 如果对 x 0 有界集 x x E可测 则称E是可测的 并记 注 1 无界点集的测度可能是有限值 也可能是无穷大 例如 有理数集Q是无界的零测集 E 0 是测度为 的可测集 2 对于无界集 上述定理3的结论也成立 2 L可测集类与波赖尔 Borel 集 定义5 1 R中所有L可测集构成的集合称为L可测集类 2 对R中的开集和并集进行至多可列次的交 并 差运算所得到的集合称为波赖尔 Borel 集 所有波赖尔 Borel 集都是L可测集 注 大多数集合都是L可测集 但L不可测集确实存在 二 点集上的勒贝格可测函数 1 可测函数的定义 定义6设E R为任一可测集 有界或无界 f x 为定义在E上的实值函数 若 R E的子集E f x f x x E 都是L有限可测集 则称f x 是E上的L可测函数 E f x1 x2 x3 b E f x4 x5 2 函数可测的充分必要条件 定理4f x 在可测集E上的可测函数 即E f 可测 R E f x f x x E 可测 R E f x f x x E 可测 R E f x f x x E 可测 R E f x f x x E 可测 R E f x f x x E 可测 证 1 E f E f E f 可测E f E f n 5 E f E f E f 4 E f E E f 3 E f E E f f 1 n 2 E f E f 1 n E f E f 1 n 例5定义在R上连续函数都是L可测函数 f x 连续 x0 E f R f x f x0 x x0 O x0 使 x O x0 有f x 即x E f 极限保号性 证 x0 E f f x0 只要证明 R 集E f 是开集 则它一定是可测集 f x 是可测函数 O x0 E f x0是E f 的内点 E f 是开集 E f 是可测集 例6区间 0 1 上的狄里克来函数D x 是L可测函数 证 当 1时 E D 是可测集 当 0时 E D 0 1 是可测集 因此 D x 是L可测函数 当0 x x为 0 1 中的有理数 是可测集 例7定义在零测集E上的任何函数f x 都是L可测函数 证 R E f x f x x E E f x 是可测函数 m E f 0 m E f m E 0 E f 也是零测集 例8集E的特征函数 E x 是R上的可测函数 证 定理6f x g x 是E上的可测函数 kf x f x g x f x g x f x g x g x 0 及 f x 都E上的可测函数 当 1时 E E 是可测集 当 0时 E E R是可测集 当0 1时 E E E是可测集 x 是L可测函数 三 函数列的收敛性问题 1函数列的处处收敛性与一致收敛性概念 定义7设 fn x 是定义在点集上的一个函数列 f x 是定义在上的一个函数 fn x 在点集E上处处收敛于f x 2 fn x 在点集E上一致收敛于f x 0 x E N N 当n N时 有 fn x f x 记作fn x f x n 0 x E N N x 当n N时 有 fn x f x 1 在处处收敛的定义中 N N x 不但与 有关 而且与x点有关 即便对于同一个 当x不同时 求出的N也不相同 注 2 在一致收敛的定义中 N N 只与 有关 而与x点位置无关 一致收敛的几何意义如下 在几何上表示 当n N时 曲线列 fn x 的图形都在曲线f x 的 带形邻域内 x 0 1 时 fn x xn 0 n N既与 有关 又与x有关 要使曲线fn x xn上的对应点落到极限函数f x 0的 带形邻域内 在x1处 只要n 2即可 而在x2处 则要n 10才行 3 fn x 一致收敛于f x fn x 一处处敛于f x 反之不然 例如 在点集E上 函数列 fn x 一致收敛于f x 证 定理6 柯西定理 x E fn x 是基本列 0 x E N N 当m n N时 有 fm x fn x 定理7 连续性 设 fn x 是E上的连续函数列 如果 fn x 在E上一致收敛于f x 则极限函数f x 也在E上连续 2函数列一致收敛的性质 定理8 可积性 设 fn x 是区间 a b 上的连续函数列 如果 fn x 在 a b 上一致收敛于f x 则极限函数f x 在E上区间 a b 上可积 且 推论设 fn x 是区间 a b 上的可积函数列 如果 fn x 在 a b 上一致收敛于f x 则极限函数f x 在区间 a b 上可积 且 3 求极限与求微分 求导 可以交换次序 注 函数序列一致收敛时 有 1 函数序列的连续性 可积性都可以传递给极限函数 2 求极限与求积分可以交换次序 3可测函数列的几乎处处收敛 依测度收敛及近一致收敛 定义8设 fn x 是可测集E上的可测函数列 f x 是定义在E上的函数 则 fn x 在集E上几乎处处收敛于f x 定理9设 fn x 是可测集E上的可测函数列 且limfn x f x a e 则f x 也是E上的可测函数 记作 fn x f x a e n E0 E m E0 0 且当x E E0时 fn x f x n m x limfn x f x x E 0 0 limm E x fn x f x 0 fn x 在集E上依测度收敛于f x 0 0 N 当n N时 有m E fn x f x 定义9设 fn x 是可测集E上的可测函数列 f x 是定义在E上的可测函数 则 定义10设 fn x 是可测集E上的几乎处处有限的可测函数列 如果 0 可测子集E E 使m E E 且fn x 在E 上一致收敛于f x 则称fn x 在E上近一致收敛于f x 定理10设 fn x 是可测集E上的几乎处处有限的可测函数列 f x 是定义在E上的几乎处处有限的可测函数 且limfn x f x a e 则 定理11 Riesz