初三《圆》章节知识点复习专题.doc

圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 ；外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边形是内接四边形 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端 是的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径， （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点 垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 =（2）圆柱的体积：（2）圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：十六、圆与三角形的关系1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。例1 如图，在半径为5cm的O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+（）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个答案C例2、如图，A、B、C、D是O上的三点，BAC=30，则BOC的大小是( )A、60 B、45 C、30 D、15解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A例3、如图，四边形ABCD内接于O，若BOD，则BCD（）（A）（B）（C）（D）例4、如图，已知圆心角BOC，则圆周角BAC的度数是（）（A）（B）（C）（D）例5、半径为5厘米的圆中，有一条长为6厘米的弦，则圆心到此弦的距离为（）（A）3厘米（B）4厘米 （C）5厘米（D）6厘米例6、如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧的三等分点， ，则的度数为 图8例7、如图8，两个同心圆的半径分别为2和1，则阴影部分的面积为 例8、如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，积S。（图中阴影部分） 分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。 解： 分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为A+B+C=180， 原题可在上一题基础上进一步变形：A1、A2、A3An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3An，求n个扇形的面积之和。 解题思路同上。 解：例9、（易错题）在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且ABCD，求AB与CD之间距离 解：如图所示，过O作OMAB， ABCD，ONCD 在RtBMO中，BO=25cm 由垂径定理得BM=AB=40=20cm， OM=15cm 同理可求ON=7cm， 所以MN=OM-ON=15-7=8cm同步练习题：1如图所示，AB是O的弦，OCAB于C，若AB=2cm，OC=1cm，则O的半径长为_cm2一个已知O点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为_3cm或2cm _3如图所示O的半径为5，弦AB长为8，点M在线段AB（包括端点A、B）上移动，则OM的取值范围是（ A ） A3OM5 B3OM5C4OM5 D4OM54如图所示，矩形ABCD与O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（ ）A2 B4 C6 D8答案：C（点拨：过O作OHCD并延长，交AB于P，易得DH=5，而AM=2，MP=3，MN=2MP=23=6）5（教材变式题）如图所示，O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，COD=100，求COE，D的度数解：AB是直径，ABCD，又C=D，COE=DOE，又COD=100，COE=100=50，D=C=90-COE=90-50=406.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.图24-1-2-9(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)思路分析：（1）作AB、AC的中垂线即得圆片圆心O；（2）已知BC和AB的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R；（3）根据半径的值确定m、n的值.（1）作法：作AB、AC的垂直平分线，标出圆心O.（2）解:连结AO交BC于E，再连结BO.AB=AC，AB=AC.AEBC.BE=BC=5.在RtABE中，AE=.在RtOBE中，R2=52（R-）2，解得R=（cm）.7.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则O的半径R=_ cm.思路解析：连结AO，得RtAOC，然后由勾股定理得出.答案：138.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.图24-1-2-4思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦.由OMAB可得OM平分AB，即AM=AB.连结半径OA后可构造Rt，利用勾股定理求解.解：连结OA.OMAB，AM=AB.OA=10=5，OM=4，AM=3.AB=2AM=6(cm).9.O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OMAB，求得OM即可.解：如图，作OMAB于M，连结OB，则BM=AB=8=4.在RtOMB中，OM=3.当P与M重合时，OP为最短；当P与A（或B）重合时，OP为最长.所以OP的取值范围是3OP5.10.如图24-1-2-5,O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交O于B、C,则BC等于( )A.3 B.3 C. D. 图24-1-2-5 图24-1-2-6思路解析：连结AB、BO，由题意知：AB=AO=OB，所以AOB为等边三角形.AO垂直平分BC,所以BC=2=3.答案：B11.如图24-1-2-6，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm思路解析：因为AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，连结OA，在RtODA中，由勾股定理得OD=3 cm.答案：A12.O半径为10，弦AB=12，CD=16，且ABCD.求AB与CD之间的距离.思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦AB与CD在圆心O的两侧时，如图(1)所示.作OGAB，垂足为G，延长GO交CD于H，连结OA、OC.ABCD，GHAB，GHCD.OGAB，AB=12，AG=AB=6.同理,CH=CD=8.RtAOG中，OG=8.RtCOH中，OH=6.GH=OGOH=14.(2)当弦AB与CD位于圆心O的同侧时，如图(2)所示.GH=OG-OH=8-6=2.13.O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OMAB，求得OM即可.解：如图，作OMAB于M，连结OB，则BM=AB=8=4.在RtOMB中，OM=3.当P与M重合时，OP为最短；当P与A（或B）重合时，OP为最长.所以OP的取值范围是3OP5.14.如图24-1-4-3，把一个量角器放在BAC的上面，请你根据量角器的读数判断BAC的度数是( )A.30 B.60 C.15 D.20 图24-1-4-3 图24-1-4-4 图24-1-4-5思路解析：根据圆周角与圆心角的关系解答.答案：C15.如图24-1-4-4，A、B、C是O上的三点,ACB=30,则AOB等于( )A.75 B.60 C.45 D.30思路解析：根据圆周角和圆心角的关系求得.答案：B16.如图24-1-4-5，OB、OC是O的半径，A是O上一点，若已知B=20，C=30，则A=_.思路解析：连结AO，则AO=OB，OA=OC，所以A=B+C=20+30=50.答案：5017.在半径为1的O中，弦AB、AC分别是3和2，则BAC的度数是_.思路解析：如图(1)和图(2)，分两种情况，作直径AD，连结BD，易知BAD=30，CAO=45，BAC=15或75. (1) (2)答案：15或7518.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的.答案：B19.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图24-1-3-1A.32 B.2 C. D.54思路解析：作OECD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在RtODE中，OD=.在RtOEB中，OB=.OBOD=.答案：C20.半径为R的O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OEOF等于( )A.21 B.32 C.23 D.0思路解析：AB为直径，OE=0.OEOF=0.答案：D21.如图24-1-3-4，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，CEA=30，求CD的长.图24-1-3-4思路分析：如何利用CEA=30是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角三角形，问题就容易解决.解：过O作OFCD于F，连结CO.AE=6 cm，EB=2 cm，AB=8 cm.OA=AB=4（cm），OE=AEAO=2（cm）.在RtOEF中，CEA=30，OF=OE=1（cm）.在RtCFO中，OF=1 cm，OC=OA=4(cm)，CF=(cm).又OFCD，DF=CF.CD=2CF=2（ cm）.22.如图24-1-3-10，AB为O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求O的半径.图24-1-3-10思路分析：圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.解：过O作OCAB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在RtOCA和OCP中，OC2=OA2AC2，OC2=OP2CP2，OA2AC2=OP2CP2.AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，CP=ABPABC=1，AC=5.OA252=521.OA=7，即O的半径为7 cm.23.O的直径为50 cm，弦ABCD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.思路分析：（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)解：（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图(1),作OGAB于G，交CD于E，连结OB、OD.ABCD，OGAB，OECD.EG即为AB、CD之间的距离.OECD，OGAB，BG=AB=40=20（cm），DE=CD=48=24（cm）.在RtDEO中，OE=7（cm）.在RtBGO中，OG=15（cm）.EG=OGOE=157=8（cm）.(2)（2）当AB、CD在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm，OE=7 cm，GE=OGOE=157=22（cm）.综上所述，弦AB和CD间的距离为22 cm或7 cm.24如图3-3-22，AB是O的直径，AOD是圆心角，BCD是圆周角若BCD=25，则AOD=答案：130 解：BOD=2BCD=225=50，AOD=180BOD=18050=13025如图3-3-23，O直径MNAB于P，BMN=30，则AON=答案：60 解：ONAB，=M=30，的度数为60AON=6026如图3-3-24，AB是O的直径，=，A=25，则BOD=答案：50 解：连COA=25，COB=2A=50=，BOD=COB=50点拨：本题考查等弧所对的圆心角相等及一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半27如图3-3-25，A、B、C是O上三点，BAC的平分线AM交BC于点D，交O于点M若BAC=60，ABC=50，则CBM=，AMB=答案：30；70 点拨：利用ABC内角和定理求得C=70，最后根据同弧所对的圆周角相等得AMB=ACB=70，CBM=CAM=3028O中，若弦AB长2cm，弦心距为cm，则此弦所对的圆周角等于 答案：45或135 点拨：一条弦所对的圆周角相等或互补（两个）29如图3-3-26，O中，两条弦ABBC，AB=6，BC=8，求O的半径答案：解：连接ACABBC，ABC=90AC为O直径在RtABC中，AB2BC2=AC2，AC=10，故O半径是5点拨：根据90的圆周角所对的弦是直径练习题二：1在O中，AOB=84，则弦AB所对的圆周角是_ A42；B138；C84；D42或1382如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有_ A1对；B2对；C3对；D4对3如图，AC是O的直径，AB，CD是O的两条弦，且ABCD如果BAC=32，则AOD=_ A16；B32；C48；D64二、计算题4如图，AD是ABC外接圆的直径，AD=6cm，DAC=ABC求AC的长5已知：DBC和等边ABC都内接于O，BCD=75（如图）求ABD、DBC的度数6如图，圆内接ABC的外角MAB的平分线交圆于E，EC=8cm求BE的长7如图，等腰三角形ABC的顶角为50，AB=AC，以AB为直径的圆交AC、BD与点E、D，连接DE，1、求角EDC的度数 2、证明：BD=BC 8如图，AB是O的直径，AB=2cm，点C在圆周上，且BAC=30，ABD=120，CDBD于D求BD的长9如图，ABC中，B=60，AC=3cm，O为ABC的外接圆求O的半径10已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆半径22如图，ABC中，AD是BAC的平分线，延长AD交ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c求AE的长23如图，ABC中，AD是BAC的平分线，延长AD交ABC的外接圆于E，已知AB=6cm，BD=2cm，BE=24cm求DE的长24如图，梯形ABCD内接于O，ABCD，的度数为60，B=105，O的半径为6cm求BC的长25已知：如图，AB是O的直径，AB=4cm，E为OB的中点，弦CDAB于E求CD的长26如图，AB为O的直径，E为OB的中点，CD为过E点并垂直AB的弦求ACE的度数27已知：如图，在ABC中，C=90，A=38，以C为圆心，BC为半径作圆，交AB于D，求的度数28如图，ABC内接于圆O，AD为BC边上的高若AB=4cm，AC=3cm，AD=25cm，求O的半径29设O的半径为1，直径AB直径CD，E是OB的中点，弦CF过E点（如图），求EF的长30如图，在O中直径AB，CD互相垂直，弦CH交AB于K，且AB=10cm，CH=8cm求BKAK的值31如图，O的半径为40cm，CD是弦，A为的中点，弦AB交CD于F若AF=20cm，BF=40cm，求O点到弦CD的弦心距32如图，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆O，且AD=4cm，AB=CB=1cm，求CD的长参考答案一、选择题1D 2D 3D 4D二、计算题DE直线OB于E，DOE=30，应用勾股定理求出BD的长89 cm或4 cm提示：连接 AC，BC由 AB为直径可知ACB=90又 CDAB于 D，所以 CD2=ADBD，即CD2=AD（ABAD）又 AB=13，CD=6，所以 36=AD（13AD），AD213AD+36=0，解出AD=9（cm）或AD=4（cm）1150提示：延长DF，DG分别交O于C，E，因为CFA=DFB，DGA=EGB，所以CFA=CFA，EGB=EGB因为AB为O的直径，所以根据轴对称图形的性质可知为100，就有FDG=50又因为DAB=ABC=90所以AC和BD为O的直径所以APC与BPD为直角三角形所以 PA2+ PC2= AC2， PB2+PD2=BD2，就有PA2+PB2+PC2+PD2=AC2+BD2=4知BC/AD所以AC=BD又AD为直径，所以ABD=90在RtABD中，AD=2R，AB=a，所以15提示：根据圆周角度量定理有：（A+B）的度数=m，（B+C）的度数=n，（C+A）的度数=p由前面三个等式得：1675提示：由BC，DF分别为O的直径，可得A=DEF=90又AB=AC，所以ABC=45在 RtDEF中，由 EF=是240，DBE=120所以ABD+CBE=12045=751750，50，80提示：连接 AD，则 AD平分A于D，则AD=CD，AOD=DOC由B=60可得OAD=30所解法二 过A作直径AD，连接CD，则ACD=90，ADC=ABC=60；又知AC=3，这就容易求出AD=90，所以BE2=AB2AE2=8222=60又因为BFFC=51，故设BF=5x，FC=x，则BC=6x因为EFBC，所以BE2=BFBC，解法二 连接BE，则BEAC，所以BE2=8222=60在直角