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2 2 1对数与对数运算 一 对数 1 对数的概念 注 1 对数式可看作一种记号 表示关于的方程的解 2 也可以看作一种运算 即已知底为幂为 求幂指数的运算 3 对数式可看作幂运算的逆运算 练习 1 若 则 2 的底数是 真数是 2 常用对数和自然对数 1 常用对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数 并把记为 2 自然对数 在科学技术中常使用以无理数为底数的对数 以为底的对数称为自然对数 并把记为 练习 与的底数分别是 3 对数与指数的关系 当且时 练习 化为指数式是 4 对数的基本性质 1 负数和零没有对数 练习 1 在中 实数的取值范围是 5 对数恒等式 证明 设 则 由指数函数的单调性知 证明 由 得 将代入得 例1 将下列指数式化为对数式 对数式化为指数式 解 例2 求下列各式中的值 解 又 于是 于是 例3 已知 求的值 解 又且 二 对数的运算 1 由于 设 由对数的定义 得 2 由于 设 由对数的定义 得 由对数的定义 得 3 设 则 即 总结 如果 且 那么 注 1 一般情况下 练习 1 的值为 2 的值为 例4 用表示下列各式 解 例5 求下列各式的值 解 例6 计算下列各式的值 解 三 换底公式 证明 设 由对数定义知道 两边取为底的对数 得 即 注 练习 例8 20世纪30年代 里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度 就是使用测震仪衡量地震能量的等级 地震能量越大 测震仪记录的地震曲线的振幅就越大 这就是我们常说的里氏震级 其计算公式为 其中 是被测地震的最大振幅 是 标准地震 的振幅 使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差 1 假设在一次地震中 一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20 此时标准地震的振幅是0 001 计算这次地震的震级 精确到0 1 解 这是一次约为里氏4 3级的地震 2 5级地震给人的震感已比较明显 计算7 6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍 精确到1 解 由可得 当时 地震的最大振幅为 当时 地震的最大振幅为 两次地震的最大振幅之比为 即7 6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍 例9 生物体内碳14的 半衰期 为5730年 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76 7 试推算马王堆古墓的年代 解 我们先推算生物死亡年后每克组织中的碳14含量 设生物体死亡时 体内每克组织中的碳14的含量为1 1年后的残留量为 由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减 所以生物体的死亡年数与其体内每克组织的碳14含量有如下关系 因此 生物死亡年后体内碳14的含量 由于大约每过5730年 死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半 于是 这样生物死亡年后体内碳14的含量 由对数与指数的关系 指数式可写成对数式 湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳14的残留量约占原始含量的76 7 即 那么 由计算器可得 马王堆古墓是近2200年前的遗址 例10 已知 求
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