水力学3.2流体运动的连续性方程.ppt

3流体运动学 本章主要任务 流体多处于运动状态 研究各种水力要素随时间和空间变化的情况 建立其关系式 基本方程 并用其解决工程实际问题 3 2流体运动的连续性方程 3 2 1流体的连续性微分方程 3 2 2元流和总流的连续性微分方程 3 2 1流体的连续性微分方程 推导的原理 流体的运动也遵循质量守恒定律 3 2 1流体的连续性微分方程 如图3 7 在流场中取一个以M点为中心的各边分别与直角坐标系各轴平行的微小六面体 各边长 x y z 其形心M x y z t时刻M点的流速 密度 x y z t 图3 7 3 2 1流体的连续性微分方程 因为六面体很微小 所以其六面上的各点在t时刻的流速和密度 可用泰勒级数展开 并略去二阶以上的微分来表示 于是 abcd a b c d 面上中心点1 2的流速和密度分别为 3 2 1流体的连续性微分方程 质量 流速 1点 2点 密度 t时间内流过单位面积上的流体体积和质量如下 体积 1点 2点 3 2 1流体的连续性微分方程 同理可得另两对平行面的净流入量分别为 因为面积很小 中心点1 2的水力要素可代表平面的平均情况 于是 abcd面流入的液体质量 a b c d 面流出的液体质量 净流入量 流入 流出 3 2 1流体的连续性微分方程 因为是连续介质 即质点间不存在间隙 按质量守恒定律 流经以上三个方向的净流量之和应等于六面体在同一时间内流体质量的增量 由密度增减产生的 于是 即得 3 22 即为可压缩流体的欧拉连续性微分方程 3 2 1流体的连续性微分方程 将上式进行展开 3 22 因为 可压缩流体的欧拉连续性微分方程的另一表达式 3 22 即得 3 2 1流体的连续性微分方程 对于不可压缩流体 常数 3 22 式可简化为 不可压缩流体的欧拉连续性微分方程 对于恒定流和非恒定流均适用 3 23 注 除特别指出外 以后研究的 都是不可压缩的均质流体 3 2 2元流和总流的连续性微分方程 主流流程不一定是直线 多数是曲线 流管形状不随时间而变化 据流线的性质 没有液体从四周出入 A1 A2 主流方向 工程实际中 流体流动多数都是在某些固定界面所限定的空间内沿某一方向的流动 这一方向就是主流方向 左图 取一微小流管 设流动为恒定流 u1 u2 3 2 2元流和总流的连续性微分方程 A较小 u看成均匀分布 所以dt时段 A1 A2 u1dt A1 1 1u1 A1dt 因为是不可压缩的恒定流 所以流管内的质量不随时间变化 1u1 A1 2u2 A2 3 24 从 A1流入的质量 2u2 A2dt 从 A2流出的质量 1u1 A1dt 2u2 A2dt u1 u2 3 2 2元流和总流的连续性微分方程 所以u1 A1 u2 A2 3 25 1u1 A1 2u2 A2 3 24 Q u1 A1 u2 A2 3 26 即为不可压缩流体的元流连续性方程 将式 3 26 写成微分形式 对于不可压缩的均质流体 1 2 因为u A Q 于是得 dQ u1dA1 u2dA2 3 2 2元流和总流的连续性微分方程 因为总流是由无数元流组成的 故对上式进行积分 其中A1 A2是总流的两个过流断面的面积 微分形式 dQ u1dA1 u2dA2 为分析简便 采用总流分析法 即用断面平均流速代替断面上各点不相等的流速 3 28 由此类推 Q A1V1 A2V2 3 29 3 2 2元流和总流的连续性微分方程 3 28 由此类推 Q A1V1 A2V2 3 29 3 29 就是恒定总流的连续性微分方程 注 它既适合理想流体 也适用于实际流体 同时 它也适用于非恒定流中任一瞬时的情况 若出现支流