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1 第四章随机信号的功率谱估计 2020年2月10日 主要内容 经典谱估计与现代谱估计参数模型法概述基于AR模型的谱估计法MA模型谱估计ARMA模型谱估计最小方差谱估计基于矩阵特征分解的谱估计高阶谱估计空间谱估计 3 一 经典谱估计与现代谱估计 经典谱估计现代谱估计 4 二 参数模型法概述 基本概念信号模型 5 三 基于AR模型的谱估计法 谱分解定理AR模型法Levision Durbin算法AR模型的稳定性及其阶的确定AR谱估计的性质格形滤波器AR模型参数提取方法AR谱估计的异常现象及其补救措施 6 四 MA模型谱估计 7 五 ARMA模型谱估计 8 六 最小方差谱估计 基本原理MV谱与ME谱或AR谱的关系 9 七 基于矩阵特征分解的谱估计 自相关矩阵的特征分解基于子空间的频率估计与信号估计 基于信号子空间的频率估计与功率估计基于噪声子空间的频率估计与功率估计 PHD方法MUSIC方法 10 八 高阶谱估计 研究的必要性高阶统计量高阶累积量和多谱的性质三阶相关和双谱及其性质基于高阶谱的相位谱估计基于高阶谱的模型参数估计多谱的应用 11 研究高阶谱的必要性 关于模型参数估计问题所谓模型参数估计 就是根据有限长的数据序列 如模型输出端所观测到的信号y n 来估计图中随机信号模型的参数 与前面所述不同之处在于 这里考虑了观测过程所引入的噪声v n 12 研究高阶谱的必要性 基于二阶统计量的模型参数估计方法的缺陷 前述模型参数估计方法中 估计得到的模型参数仅与信号的自相关函数或功率谱包络相匹配 其功率谱不含信号的相位特性 亦称盲相 即 这种模型只适合于高斯随机信号 因为高斯信号仅用二阶统计量 均值和方差 就能加以描述 13 研究高阶谱的必要性 二阶统计量方法的基本限制前面讨论的方法中 一般都假设 信号模型中的系统H z 是最小相位的 激励信号u n 是均值为零 方差为的高斯白噪声 测量引入的噪声信号v n 是均值为零 方差为的高斯白噪声 且v n 与信号x n 统计无关 即v n 不影响信号的谱形状故有 14 研究高阶谱的必要性 二阶统计量方法存在的问题 在许多实际应用 如地震勘探 水声信号处理 远程通信 中 往往不能满足上述假设 甚至系统是非线性的 对于非高斯信号的模型参数 如仅仅考虑与自相关函数匹配 就不可能充分获取隐含在数据中的信息 若信号不仅是非高斯的 而且是非最小相位的 采用基于自相关函数的估计方法所得到的模型参数 就不能反映原信号的非最小相位特点 当测量噪声较大 尤其当测量噪声有色时 基于自相关函数的估计方法所得到的模型参数有较大的估计误差 15 研究高阶谱的必要性 解决问题的方法 从观测数据中提取相位信息信号分析必须具有抗有色噪声干扰的能力因此 必须用高阶谱 高阶统计量 来分析信号 16 高阶统计量 特征函数与高阶矩 特征函数 随机变量x的特征函数定义为 或 其中f x 是随机变量x的概率密度函数 高阶矩 对 1b 求k阶导数 得 则随机变量x的k阶矩定义为 即特征函数的k阶导数在原点的值 17 高阶统计量 累积量生成函数与高阶累积量 cumulant 累积量生成函数 或 称为累积量生成函数 又叫第二特征函数 高阶累积量 随机变量x的k阶累积量定义为 即累积量生成函数的k阶导数在原点的值 18 高阶统计量 累积量生成函数与高阶累积量 cumulant 高阶矩与高阶累积量的关系 关系 结论 二 三阶累积量分别是二 三阶中心矩 均值为零时 就是二 三阶相关 矩 四阶以上的累积量不等于相应的中心矩 19 高阶统计量 高阶矩谱 定义 k阶矩的k 1维付氏变换称为k阶矩谱 高阶累积量谱 最常用的高阶谱是三阶谱 双谱 和四阶谱 三谱 定义 设x n 为平稳随机过程 则其k阶累积量谱定义为k阶累积量的k 1维付氏变换 即 通常将的累积量谱称为高阶谱或多谱 6 20 高阶统计量 累积量的物理意义 高斯随机变量的高阶矩与累积量 高斯随机变量可用二阶矩完全描述 实际上 零均值高斯随机变量的k阶矩 或零均值的k阶中心矩 为 高斯随机变量只有一阶和二阶累积量 其二阶以上的累积量为零 它不提供新的信息 即 可见 其高阶矩仍然取决于二阶矩 若任一随机变量与高斯随机变量有相同的二阶矩 则累积量就是它们高阶矩的差 从而 有如下累积量的物理意义 21 高阶统计量 累积量的物理意义 一阶累积量 数学期望 描述了概率分布的中心 二阶累积量 方差 描述了概率分布的离散程度 三阶累积量 三阶矩 描述了概率分布的不对称程度 累积量衡量任意随机变量偏离正态 高斯 分布的程度 物理意义 偏态与峰态 将三阶矩除以均方差的三次方 得偏态系数或偏态 将四阶累积量除以均方差的四次方 得峰态 设随机变量为零均值 22 高阶累积量和多谱的性质 主要性质最重要的性质如下 累积量具有对称性 相互独立的两随机序列的组合序列的累积量等于零 和的累积量等于累积量之和 累积量因此得名 随机信号通过线性系统后的累积量等于该随机信号的累积量与线性系统冲激响应累积量的卷积信号的高阶累积量能够决定信号模型的冲激响应h n 即用信号模型的输出信号 即观测到的信号 y n 的高阶累积量就能决定h n 23 高阶累积量和多谱的性质 主要性质 续 确定性序列的多谱 确定性序列 h 1 h k 的k阶累量 其k阶谱为 式中 24 高阶累积量和多谱的性质 用高阶累积量作为时间序列分析工具的原因用高阶累量而不是高阶矩作为时间序列分析工具的原因 理论上 使用高阶累积量可避免高斯有色噪声的影响 高阶矩不能做到这一点 高阶白噪声的高阶累积量是多维冲激函数 其谱是多维平坦的 但高阶白噪声的高阶矩及其谱无此特性和优点 累积量问题的解具有唯一性 因特征函数唯一地确定概率密度函数 但矩问题不具有唯一性 两个统计独立的随机过程的累积量等于各随机过程累积量之和 这一结论对高阶矩不成立 25 三阶相关与双谱及其性质 定义 三阶相关 设x n 为零均值的实平稳序列 其三阶相关函数为 双谱Rx m1 m2 的二维傅立叶变换就是双谱 其表达式为 性质 三阶相关函数的对称性双谱的对称性 周期性和共轭性 26 三阶相关与双谱及其性质 确定性序列的双谱设h n 表示有限长确定性序列 其双谱可表示为 双谱中的相位信息 其中 这表明双谱包含信号模型的相位信息 而功率谱不含相位信息 设 则有 且有 27 基于高阶谱的相位谱估计 自相关函数丢失了信号的相位特性 而累积量可以得到信号的相位谱 实际应用中 基于三阶累积量的双谱和基于四阶累积量的三谱已经够用 28 基于高阶谱的模型参数估计 基本原理 与AR功率谱估计 即单谱估计 相类似 AR过程的多谱估计与已知的多谱相匹配的程度 也可用线性预测的多谱来衡量 亦也可以用多谱的平坦度来衡量 说明如下 设用p个值x n 作线性预测 即 则预测误差 其多谱为 式中 29 基于高阶谱的模型参数估计 基本原理 续 如果选择系数ak 使得 式中为一常量 则有 上式表明 x n 是由 的非正态白噪声激励参数为 ak k 1 p 的AR过程产生的 结论 预测误差的多谱的平坦度可用作AR过程多谱与实际多谱接近程度的一种度量 30 基于高阶谱的模型参数估计 不稳定问题及其解决方法 不稳定问题 用单谱 功率谱 和多谱估计AR模型参数时 都存在稳定性问题 解决办法 当用单谱估计AR模型时 只要把不稳定极点替换为其倒数极点 反演技术 即可 这是因为 当用多谱估计AR模型时 不能作这种替换 以双谱为例 而 故 31 基于高阶谱的模型参数估计 解决办法 必须用合适的方法把非稳定极点变换成非因果AR过程 实际上 非因果AR模型在一些特殊情况下 例如 在天文信号 空间信号 地质信号以及被污染了的图像信号的处理中大量得到应用 非因果AR模型估计方法通常有三种 全搜索法 优化计算法和转换为MA模型法 不