线性代数向量cha.ppt

回顾 一般线性方程组的求解齐次线性方程组的求解 线性方程组无穷多解时 解与解之间是什么关系 引入n维向量 研究向量间的线性关系 2 2n维向量 定义 数域F上的n个数a1 a2 an组成的一个有序数组称为一个n维向量 第i个数ai称为该向量的第i个分量 分量的个数n称该向量的维数 向量的表示符号 一般用小写希腊字母 表示 向量的表示形式 可分为行向量 列向量两种 矩阵的每一行看作一个行向量 每一列看作一个列向量 向量的约定 2 所有分量都是零的向量称为零向量 定义2 6 向量的加法 形式一致的向量的对应分量相加 定义2 6 向量与数量的乘法 向量的各分量与数相乘 向量的线性运算 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 数乘分配律 数乘结合律 其中是维向量 是维零向量 和为数域中的任意数 向量的运算律 例 解 线性方程组的向量表示形式 简记 其中 线性方程组 向量间的线性关系 向量间的几个重要的线性关系 线性组合线性表示线性相关线性无关这些概念及其相关性质是线性代数中基本的 重要的内容 线性组合与线性表示 定义 对于向量组 1 2 s和向量 如果存在s个数k1 k2 ks 使得 则称向量 是向量组 1 2 s的线性组合 或称向量 可由向量组 1 2 s线性表示 例 n维零向量 0 0 0 是任一n维向量组 1 2 s的线性组合 解 取k1 k2 ks 0 则 线性方程组 线性组合与线性方程组是否有解的关系 基本单位向量组 注 能否线性表示本质在于求解线性方程组是否有解 线性相关与线性无关 定义 对向量组 1 2 s 1 向量组 1 2 s线性相关存在不全为零的数k1 k2 ks 使得k1 1 k2 2 ks s o 2 向量组 1 2 s线性无关当且仅当k1 ks 0时 k1 1 k2 2 ks s o才成立 从线性方程组角度看线性相关 无关本质 齐次方程组x1 1 x2 2 xs s o有非零解 表示向量组线性相关 仅有零解表示向量组线性无关 例 含有零向量的任一向量组都线性相关 证明 设此向量组为o 1 2 s 则对 k 0 有 故该向量组线性相关 例 问 两个非零的维向量线性无关的条件 当且仅当所以单个的非零向量线性无关 例 试证 维基本单位向量组线性无关 证明 设有数使得 单个非零的维向量线性无关 向量的分量不对应成比例 由此可知 当且仅当时 才有 所以向量组线性无关 例 如果向量线性无关 则向量组 也线性无关 证明 设有数使得 即 因为线性无关 所以必有 这是以为未知量的齐次线性方程组 所以该齐次线性方程组仅有零解 从而向量组线性无关 练习 判断以下向量组 是否线性相关 解 对该方程组的增广矩阵进行初等行变换 由最后的阶梯形矩阵可知该齐次线性方程组有非零解 从而向量组线性相关 问 能否找到一组非零解 练习 相关定理 定理3 设r维向量组 r n 线性无关 则在每个向量上再添加n r个分量所得到的 n维向量组 也线性无关 定理4 n个n维向量线性相关的充要条件是由其每个 向量的分量作为一列构成的行列式等于0 定理5 n 1个n维向量必定线性相关 定理6 向量组中部分向量线性相关 则整个组也相关 推论 若向量组线性无关 则其任一部分组也线性无关 用反证法易知 证略 定理2 3 设维向量组 线性无关 则在每个向量上再添加个分量所得到的维向量组 也线性无关 证明 设有数使得 由此可得以为未知量的齐次线性方程组 因为线性无关 所以上面方程组中前个方程组成的方程组仅有零解 因此上面的方程组也仅有零解 所以向量组也线性无关 定理2 4 个维向量 线性相关的充要条件是行列式 证明 设有数使得 以为未知量的齐次线性方程组 因为向量组线性相关的充要条件是 齐次线性方程组仅有非零解方程条数和未知量个数相等 定理2 4的应用1 课本习题10 3 判断下列向量组线性相关 还是线性无关 定理2 4的应用2 课本习题11 已知向量组 a为何值时 向量组 线性相关 线性无关 同步练习 如果向量组 线性无关 证明 必要性 如果向量组线性相关 则 存在不全为零的数使得 不妨设则由上式可得 即向量可以由其余个向量线性表示 定理7 向量组 1 2 s s 2 线性相关其中至少有一个向量可由其余s 1个向量的线性表示 线性相 无 关与线性表示的关系 充分性 不妨设是其余个向量的线性组合 即存在使得 移项得 其中向量的系数为 根据定义 向量组线性相关 推论 向量组 1 2 s s 2 线性无关的充要条件是向量组中每一个向量都不能由其余向量线性表示 证明 定理8 如果向量组 1 2 s线性无关 但向量组 1 2 s 线性相关 则向量 可由向量组 1 2 s线性表示 且表达式唯一 小结 线性表示 线性组合线