高等数学竞赛试题1答案.doc

高等数学竞赛试题1一、 填空： 1若是上的连续函数，则a = 1 。2函数在区间上的最大值为 。3 。4由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为 。5设函数由方程所确定，则 。二、选择题： 1 设函数f (x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（ A ）（A）等价无穷小； （B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小； （D）低阶无穷小。2 设函数f (x)在点x = a处可导，则在点x = a处不可导的充要条件是（ C ）（A）f (a) = 0，且； （B）f (a)0，但；（C）f (a) = 0，且； （D）f (a)0，且。3 曲线（ B ）（A）没有渐近线； （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线； （D）有两条水平渐近线。4设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）（A）若，则； （B）若，则；（C）若，则； （D）若，则。5设曲面的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ B ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、设函数f (x)具有连续的二阶导数，且，求。解：由题设可推知f (0) = 0，于是有。故 。四、设函数由参数方程所确定，求。解：由，得到，所以。而当x = 9时，由及t 1，得t = 2，故。五、设n为自然数，计算积分。解：注意到：对于每个固定的n，总有，所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又，于是有，上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有。所以。六、设f (x)是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。证明：因为x = 0是f (x)的第一类跳跃间断点，所以存在，设为A，则A0；又因f (x)为奇函数，所以。命：则在x = 0点处连续，从而在上处处连续，且是奇函数：当x 0，则x 0，；当x 0，,即是连续的奇函数，于是是连续的偶函数，且在x = 0点处可导。又，即 ，所以是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。七、设f (u, v)有一阶连续偏导数，证明：。解： 设：，则类似可得，代入原式左边，得到八、设函数f (u)连续，在点u = 0处可导，且f(0)= 0，求：。解：记，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，有于是有。九、计算，其中L为正向一周。解：因为L为，故其中D为L所围区域，故为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。当时，；当时，；当时，；当时，故D的面积为21=2。从而。十、 证明：当充分小时，不等式成立。 设，求。证明： 因为，又注意到当充分小时，所以成立不等式。 由知，当n充分大时有，故，而，于是，由夹逼定理知。十一、设常数，证明：当x 0且x 1时，。证明：设函数，故要证，只需证：当；当。显然：。命：，则。当x = 2时，x = 2为唯一驻点。又，所以x = 2为的唯一极小值点，故为的最小值(x 0)，即当x 0时，从而严格单调递增。又因，所以当；当。十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a R ，求此半球壳对棒的引力。解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上，则由于对称性，所求引力在x轴与y轴上的投影及均为零。设k为引力常数，则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为：记。在球坐标下计算，得到若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则。高等数学竞赛试题2答案一、选择题1. 下列命题中正确的命题有几个？（ A ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 2. 设 ， 则是间断点的函数是（ B ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .3. 设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 （ C ）(A) 1； (B) ； (C) ； (D) .4. 设连续，当时，与为等价无穷小，令，, 则当时，的 （ D ）(A) 高阶无穷小；(B) 低阶无穷小；(C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小.5. 设在点的某邻域内连续，且满足 则在点处 （ A ）(A) 取极大值；(B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值.6. 设在连续，且导函数的图形如图所示，则有 （ D ）(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点；(C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点；(D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.7. 设有连续的一阶导数，则 （ B ）(A) ；(B) ； (C) ； (D) 0 .8. 设任意项级数 条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为，则与（ B ） (A) 两者都收敛； (B) 两者都发散；(C)一个收敛一个发散；(D) 以上三种情况都可能发生.二、设在区间连续，, 试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；（4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：. 解（1）（2）（3）（4）三、求曲线 所围成的平面图形的面积.解1去掉绝对值曲线为：解2令.四、设曲面为曲线 () 绕轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分 解1S的方程为补两平面 ；解2五、设幂级数 , 当时，且;（1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值.解（1）令，求得（2）由.六、设函数可微，, 且满足 求 . 解 ，对y积分得代入，七、如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数 ，河流中水的流速为常数 ，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点.解 如图所示，设为船在要时刻的位置 此时两个分速度为，消去t得 ，又,代入得，则有讨论：当高等数学竞赛试题3答案一、选择题1.设，且，则（ C ）(A) 存在且等于零;(B) 存在但不一定等于零；(C) 不一定存在；(D) 一定不存在.2.设是连续函数，的原函数，则（ A ）(A) 当为奇函数时,必为偶函数；(B) 当为偶函数时,必为奇函数；(C) 当为周期函数时,必为周期函数；(D) 当为单调增函数时,必为单调增函数.3.设，在内恒有，记，则有（ B ）(A) ;(B) ;(C) ;(D) 不确定.4.设有连续导数，且，当时，是同阶无穷小，则（ B ）(A) 4；(B) 3；(C) 2；(D) 1.5.设，则在点（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微；(D) 连续且偏导数存在但不可微.6.设，则以向量、为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) ；(B) 3, 11；(C) ；(D) .7.设是包含原点在内的两条同向闭曲线，的内部，若已知（k为常数），则有（ D ）(A) 等于k； (B) 等于； (C) 大于k；(D) 不一定等于k，与L2的形状有关.8.设在处收敛，则在处（ D ）二、设，试确定、的值，使都存在.解：当时，故；当时，。三、设的一个原函数，且，求.解：，由知，四、设，S为的边界曲面外侧，计算解：（下侧），（上侧）， 五、已知，.求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根.解一：（1），； 又收敛，收敛，收敛，又因，故收敛。（2）令，且，即a是的根，令，故根唯一。解二：由已知，由此可见， （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。设，。， 由知、收敛，令，；由，知，。对两边取极限得， 对两边取极限得， 由得，解得由知收敛，且为方程的根（再证唯一性）。六、设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证： , 其中D为圆环域：解一：令，。由已知当时，故解二：令，令为（逆时针），为（顺时针） ，。七、有一圆锥形的塔，底半径为R，高为，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于平面的直线的夹角为，楼梯入口在点, 试求楼梯曲线的方程.解：设曲线上任一点为，曲线参数方程为（*），在点的切向量为，垂线方向向量为。，化简得，由实际问题应，解得，由，得，故，将此式代入参数方程（*）即得楼梯曲线。高等数学竞赛试题4答案一、计算题1求解 原积分= =2求解 由洛比塔法则，原极限=而 3求p的值，使解：当取满足即时 积分4设，且，求的表达式解：由条件单调增。且易知，若不然，不妨设 则当时 矛盾 同理可让5计算，其中S为圆柱面，（0z1）解：S圆柱面关于y对称，且y是奇函数 原积分=二、设 求（1） （2）解： （1） （2）ACBDE三、有一张边长为的正方形纸（如图），、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合， 与重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点重合，D落在轴正向上，此时，求：（1）通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、xoy平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积。解：圆柱面为 D点坐标为（0，4，0），E点坐标可取为（2，2，0） （1）C点坐标为（0，4，4） 过C，E两点的直线方程为 放转曲面方程（2）旋转曲面在xoz的投影曲线方程为四、求函数在的最大值、最小值。解：在D的最大、最小值即为在 的最大、最小值 ，而，即最大值为1，而即最小值为五、 求解： k0，b0）解：原积分= =2. 设幂级数的系数满足，n=1，2，3，求此幂级数的和函数。解：则 即，且解方程 由3. 已知二阶可导，且，（1）证明 ， （2）若，证明证明：（1）记 则 即 即4求由洛比塔法则原极限=5设 ，求解： 6 ，（）解：记原积分为I则 7.设函数满足方程，求的极值。 解：由条件， 有解方程得 含 得可能极值点 k整数 当时有极大值 时极小值 8.证明当时， 证明:令，则，要证不等式为，即要证，而且0，得证9求 解：原极限=10设，求a，b的值。解：当（时）即而11.设 ，求解： n212.某水库的泄洪口为圆形，半径为1米，现有一半径为2米的闸门悬于泄洪口的正上方（如图）问闸门下降多少米时，泄洪口被盖住一半？解：取小圆的圆心为原点、水平线为x 轴，垂线为y轴。则泄洪口圆周方程为，闸门（原始位置）为,下降后为两圆交点为：2米1米其中 或盖住的面积为13. 已知是0，1上二阶可导函数，且， ，证明：使得。证明：1高等数学竞赛试题6答案一选择1函数在点处连续是它在该点偏导数存在的：A、必要而非充分条件； B、充分而非必要条件；C、充分必要条件； D、既非充分又非必要条件。2设，则=A、 B、 C、 D、 3曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系：A、 B、C、 D、4设其中D是由x=0,y=0, ,x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序是A、I1I2I3; B、I3I2I1; C、I1I3I2; D、I3I1I2.答案：1. D 2. A 3.B 4.C二、填空题 5设，则= _ 。6函数在点(0，)处沿轴负向的方向导数是 _ 。7设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分_ 。8设，则I=_。答案: 5. 6. 0 7. 0 8. 24 三、计算 9求极限 。 解： =8 10函数由方程所确定，求。解：当时, ； ； 11求函数的极大值点或极小值点。解：由，得驻点 点非极值点。函数无极大值点，在点处取极小值。12设闭区域为D上的连续函数，且求 解 设，在已知等式两边求区域D上的二重积分，有 从而所以 故 于是 13计算二重积分，其中D是由抛物线及直线y=x+4所围成的区域。解：原式14计算I=2yzdv,其中是由x2+z2=1,y=0,y=1所围的位于z0部分的立体。解15已知L是由所确定的平面域的边界线，求。解：16计算曲线积分，式中L是正向圆周 解：四、证明题17试证曲面的切平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数。证明：曲面上点处的切平面法向量 切平面方程为 即 切平面与三个坐标平面所围四面体的体积为常数 高等数学竞赛试题7答案一、求由方程所确定的函数在内的极值，并判断是极大值还是极小值. 解：对两边求导得，令得，代入原方程解得.故当时，取极大值.二、设，求, .解：=, =三、计算曲线积分，其中是以点（1，0）为中心，为半径的圆周,取逆时针方向.解：, , 当时, ， 当时,由格林公式知,. 当时, ,作足够小的椭圆曲线,从到. 当充分小时,取逆时针方向,使,于是由格林公式得， 因此 = = 四、设函数在内具有连续的导数，且满足，其中是由所围成的闭区域，求当时的表达式.解： =, 两边对求导得，且， 这是一个一阶线性微分方程，解得 五、设，求级数的和. 解：令, 则 =. . . = =, 六、设在上连续且单调增加，试证：对任意正数，恒有.解：令， 则, = =,于是. 七、设具有连续偏导数，由方程=0确定隐函数，求. 解：两边对求偏导得, 两边对求偏导得, ，, =1. 八、设，判别数列的敛散性. 解：定义，