等差数列与等比数列复习.ppt

等差数列的性质 知识回顾 等差数列 说明 AAA 数列 an 为等差数列 an 1 an d 或an 1 an d d an 1 an 公差是唯一的常数 an a1 n 1 d 一 判定题 下列数列是否是等差数列 9 7 5 3 2n 11 1 11 23 35 12n 13 1 2 1 2 1 2 4 6 8 10 a a a a a 复习巩固 1 等差数列8 5 2 的第5项是AAAAAAAAA 2 等差数列 5 9 13 的第n项是A 4 an 5 n 1 4 10 说明 在等差数列 an 的通项公式中a1 d an n任知三个 可求出另外一个 二 填空题 简言之 知三求四 3 已知 an 为等差数列 a1 3 d 2 an 21 则n 上面的命题中的等式两边有相同数目的项 如a1 a2 a3成立吗 说明 3 更一般的情形 an d 等差数列的性质 1 an 为等差数列 2 a b c成等差数列 an 1 an d an 1 an d an a1 n 1 d an kn b k b为常数 am n m d b为a c的等差中项AA 2b a c 4 在等差数列 an 中 由m n p q am an ap aq 注意 上面的命题的逆命题是不一定成立的 研究性问题 2 已知 an 为等差数列 若a10 20 d 1 求a3 1 若a12 23 a42 143 an 263 求n d 4 n 72 a10 a3 10 3 d a3 27 例1 在 1与7之间插入三个数 使它们与这两个数成等差数列 求这三个数 例题分析 例2 在等差数列 an 中 1 已知a6 a9 a12 a15 20 求a1 a20 例题分析 2 已知a3 a11 10 求a6 a7 a8 分析 由a1 a20 a6 a15 a9 a12及a6 a9 a12 a15 20 可得a1 a20 10 分析 a3 a11 a6 a8 2a7 又已知a3 a11 10 a6 a7 a8 a3 a11 15 课堂练习 1 等差数列 an 的前三项依次为a 6 2a 5 3a 2 则a等于 A 1B 1C 2D 2 B 2 在数列 an 中a1 1 an an 1 4 则a10 2 2a 5 3a 2 a 6 提示1 提示 d an 1 an 4 35 3 在等差数列 an 中若a59 70 a80 112 求a101 d 2 a101 154 5 已知 an 为等差数列 若a10 20 d 1 求a3 4 若a12 23 a42 143 an 263 求n d 4 n 72 a10 a3 10 3 d a3 27 等差数列的前n项和 若 an 是公差为d的等差数列 则其前n项和 2 如果已知等差数列的首项为a1 公差为d 项数为n 把an a1 n 1 d代入可得到等差数列前n项和的另一个公式 二 学习新课 等差数列前n项和Sn an2 bn a b为常数 Sn a1 a2 a3 an 2 an 1 an 1 Sn an an 1 an 2 a3 a2 a1 2 1 2 得 2Sn n a1 an 说明 推导等差数列的前n项和公式的方法叫 等差数列的前n项和公式类同于 an 为等差数列 这是一个关于的没有的 倒序相加法 梯形的面积公式 Sn an2 bn n 常数项 二次函数 1 前100个自然数的和 1 2 3 100 2 前n个奇数的和 1 3 5 2n 1 3 前n个偶数的和 2 4 6 2n 思考题 如何求下列和 n2 n n 1 4 根据下列各题中的条件 求相应的等差数列 an 的sn 1 a 5 an 95 n 10 2 a1 100 d 2 n 50 3 a1 14 5 d 0 7 an 32 前15项 5 等差数列4 8 12 16 的前多少项和是480 解 则由公式得到 故等差数列4 8 12 16 前15项的和是480 解得 6 若等差数列4 60的各项的和是480 则公差d 4 解 7 如图 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔 往上每一层都比它下面一层多放一支 最上面一层放120支 这个V形架上共放着多少支铅笔 等比数列的通项公式 等比数列的有关概念 观察数列 1 2 4 8 16 32 64 2 1 3 9 27 81 243 3 4 5 5 5 5 5 5 5 6 1 1 1 1 1 定义 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 指与n无关的数 这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q表示 以上6个数列的公比分别为 公比q 2递增数列 公比q 3递增数列 公比d x 公比q 1非零常数列 公比q 1摆动数列 因为x的正负性不确定 所以该数列的增减性等尚不能确定 公比q 递减数列 等比数列的通项公式 如果一个数列 是等比数列 它的公比是q 那么 由此可知 等比数列的通项公式为 当q 1时 这是一个常函数 例1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18 求它的第1项与第2项 例2如果成等比数列的三个数和为7 积为8 求这三个数 常数 减 除 加 乘 加 乘 乘 乘方 迭加法 迭乘法 等比数列用 比 代替了等差数列中的 差 定义 数学表达式 通项公式证明 通项公式 an an 1 d n 2 上面的命题中的等式两边有相同数目的项 如a1a2 a3成立吗 说明 3 更一般的情形 an 等比数列的性质 1 an 为等比数列 2 a b c成等比数列 an 1 an q an 1 anq an a1qn 1 amqn m b为a c的等比中项 4 在等比数列 an 中 由mn pq aman apaq 注意 上面的命题的逆命题是不一定成立的 练习 在等比数列 an 中 a2 2 a5 54 a8 在等比数列 an 中 且an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 36 那么a3 a5 在等比数列 an 中 a15 10 a45 90 则a60 在等比数列 an 中 a1 a2 30 a3 a4 120 则a5 a6 1458 6 270 480 或 270 三个数成等比数列 它们的和等于14 它们的积等于64 求这三个数 等比数列的前n项和 Sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 qSn a1q a1q2 a1qn 1 a1qn 相减 1 q Sn a1 a1qn a1 1 qn 当1 q 0 即q 1时 当q 1时 Sn na1 错位相减法 等比数列 an 前n项和公式为 当q 1时 当q 1时 Sn na1 264 1 4或3 5 等比数列 an