有旋流动和无旋流动-授.ppt

第5章 有旋流动和无旋流动 在许多工程实际问题中 流动参数不仅在流动方向上发生变化 而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化 要研究此类问题 就要用多维流的分析方法 本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律 为解决工程实际中类似的问题提供理论依据 也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础 流体由于具有易变形的特性 易流动性 因此流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多 在流体运动中 有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型 由流体微团运动分析可知 有旋流动是指流体微团旋转角速度的流动 无旋流动是指的流动 实际上 黏性流体的流动大多数是有旋流动 而且有时是以明显的旋涡形式出现的 如桥墩背流面的旋涡区 船只运动时船尾后形成的旋涡 大气中形成的龙卷风等等 但在更多的情况下 流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的 如当流体绕流物体时 在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内 每一点都有旋涡 而这些旋涡肉眼却是观察不到的 至于工程中大量存在着的紊流运动 更是充满着尺度不同的大小旋涡 流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少 但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多 因此 对二维平面势流在理论研究方面较成熟 对工程中的某些问题 在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理 用势流理论去研究其运动规律 特别是绕流物体的流动规律 对工程实践具有指导意义和应用价值 因此 本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质 然后再介绍二维平面势流理论 基本要求了解有旋流动和无旋流动的定义 理解速度环量和旋涡强度的概念 掌握速度势函数 流函数及两者关系 掌握几种基本的平面有势流动和有势流动的叠加原理及其应用 三 重点和难点重点 速度环量和旋涡强度的概念 速度势函数 流函数 有势流动的叠加难点 有势流动的叠加 第一节有旋流动 一 涡线 涡管 涡束 在有旋流动流场的全部或局部区域中连续地充满着绕自身轴线旋转的流体微团 于是形成了一个用角速度表示的涡量场 或称角速度场 自然界中流体的流动绝大多数是有旋的大气中的旋风 龙卷风 桥墩后的涡旋区 行进中的船舶后的尾涡区 充满微小涡旋的紊流流动 物体表面充满微小涡旋的边界层流动 叶轮机械内流体的涡旋运动 流体微团旋转角速度的矢量表示更普遍地用涡量来描述流体微团的旋转运动涡量的定义充满涡量的流场称为涡量场 有旋运动的基本特征 存在涡量场 其涡量为 涡线是一条曲线 在给定瞬时t 这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合 所以涡线也就是沿曲线各流体微团的瞬时转动轴线 根据涡通量矢量与涡线相切的条件 涡线的微分方程为 1 涡线 Vortexline 任一时刻 涡线上每一点的切向量都与该点的涡向量相切 积分时时间变量t作常数处理 2 涡管涡束 在给定瞬时 在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线 通过封闭曲线上每一点作涡线 这些涡线形成一个管状表面 称为涡管 涡管中充满着作旋转运动的流体 称为涡束 涡管 涡管 vortextube 某一时刻 由涡线组成的管状曲面 截面积无限小的涡管称为涡束 涡线 旋涡强度 涡通量 在涡量场中取一微元面积dA 其上流体微团的涡量为 为dA的外法线方向 定义 为任意微元面积dA上的旋涡强度 也称涡通量 任意面积A上的旋涡强度为 如果面积A是涡束的某一横截面积 就称为涡束旋涡强度 它也是旋转角速度矢量的通量 旋涡强度不仅取决于w 而且取决于面积A 涡通量 3 旋涡强度 涡通量 vortexflowrate 涡量场的通量 涡强 二 速度环量 velocitycirculation 涡通量和流体微团的角速度不能直接测得 实际观察发现 在有旋流动中流体环绕某一核心旋转 涡通量越大 旋转速度越快 旋转范围越扩大 可以推测 涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密切关系 速度环量 速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的线积分 速度环量是一代数量 它的正负与速度的方向和线积分的绕行方向有关 对非定常流动 速度环量是一个瞬时的概念 应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算 积分时为参变量 规定 沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向 即封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧 被包围面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统 速度环量 当速度方向与线积分方向同向时取正 反向时取负 若是封闭周线 逆时针为正 顺时针为负 例 不可压缩流体平面流动的速度分布为 求绕圆的速度环量 解 积分路径在圆上 有 1 速度环量定理 Stokes定理 沿任意封闭周线的速度环量等于该周线所包围的面积的涡通量 即 涡通量和速度环量都是反映旋涡作用的强弱 三 Stokes定理 从A点起逆时针方向积分 可以得到微分形式的速度环量为 2 Stokes定理推导 将各点速度代入 并忽略高阶小量 得到 1 单连通区域 区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界 这种区域称为单连通区域 否则 称为多连通区域 2 对多连通域 通过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速度环量总和之差 例2 一个以角速度按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动 如图所示 试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量 并证明它是有旋流动 解 在流场中对应于任意两个半径r1和r2的圆周速度各为和 沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量 解 在流场中对应于任意两个半径和的圆周速度各为和 沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量可见 在这个区域内是有旋流动 又由于扇形面积于是上式正是斯托克斯定理的一个例证 以上结论可推广适用于圆内任意区域内 例3 一个流体绕O点作同心圆的平面流动 流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比 即 其中C为常数 如图所示 试求在流场中沿封闭曲线的速度环量 并分析它的流动情况 解 解 沿扇形面积周界的速度环量可见 在这区域内是无旋流动 这结论可推广适用于任何不包围圆心O的区域内 例如 若包有圆心 该处速度等于无限大 应作例外来处理 现在求沿半径的圆周封闭曲线的速度环量上式说明 绕任何一个圆周的流场中 速度环量都不等于零 并保持一个常数 所以是有旋流动 但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零 故在圆心O点处必有旋涡存在 圆心是一个孤立涡点 称为奇点 返回例题 第二节汤姆孙定理亥姆霍兹旋涡定理 一 汤姆孙 W Thomson 定理 开尔文定理 对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体 在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行产生 也是不能自行消灭的 正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化 正压流体内部任一点的压力只是密度的函数的流体 斜压流体若流体压力不仅是密度的函数 而且还和其他热力学参量 例如温度等 有关 则称为斜压流体 广义地说 正压流体是其力学特性与热学特性无关的流体 证明流体力学中一些重要定理 见开尔文定理 亥姆霍兹定理 伯努利定理 时 常需假设流体满足正压条件 例如可以证明 若流体是理想 正压且所受力是有势的 则流体中的涡旋既不能产生 也不能消灭 由此可知 正压条件是判别流体中是否有涡旋的一个重要依 流体一般可以看作是一个平衡的热力学系统 它可以用包含热力学状态参量的状态方程p T 来描述 理想气体的状态方程是p RT 式中p为压力 为密度 T为热力学温度 R为气体常数 在一些特定条件下 状态方程可简化为p 形式 例如 不可压缩流体 p 常数 等温的运动过程p C 等熵的运动过程p C 式中C为常数 为比热比 在这些情况下 流体压力都只和密度有关 而和温度无关 因此它们是正压流体 证明 在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线K 它随流体的运动而移动变形 但组成该线的流体质点不变 沿该线的速度环量可表示为式 它随时间的变化率为 由于质点线K始终由同样的流体质点组成 将其代入上式等号右端第一项积分式 由理想流体的欧拉运动微分方程 等号右端第二项积分式可表示为 将上面的结果代入积分式 并考虑到都是单值连续函数 得 斯托克斯定理和汤姆孙定理表明 理想正压性流体在有势的质量力作用下 涡旋不会自行产生 也不会自行消失 小结 汤姆孙定理正压的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间变化 正压的理想流体在有势的质量力作用下 速度环量和涡旋不能自行产生 也不能自行消失 汤姆孙定理解释 理想流体无粘性 不存在切应力 不能传递旋转运动 既不能使不旋转的流体微团旋转 也不能使旋转的流体微团停止旋转 流场中原来有涡旋和速度环量的 将保持有涡旋和速度环量 原来没有涡旋和速度环量的 就永远没有涡旋和速度环量 流场中也会出现没有速度环量但有涡旋的情况 此时涡旋是成对出现的 每对涡旋的强度相等而旋转方向相反 1 亥姆霍兹第一定理在同一瞬时涡管各截面上的涡通量相同 涡管在流体中既不能开始 也不能终止 只能是自成封闭的管圈 或在边界上开始 终止 二 旋涡的基本性质 同一涡管上的两截面 在同一涡管上任取两截面A1 A2 在A1 A2之间的涡管表面上取两条无限靠近的线段a1a2和b1b2 由于封闭周线a1a2b1b2a1所围成的涡管表面无涡线通过 旋涡强度为零 根据斯托克斯定理 沿封闭周线的速度环量等于零 即 由于而 该定理说明 在理想正压性流体中 涡管既不能开始 也不能终止 但可以自成封闭的环形涡管 或开始于边界 终止于边界 涡管的存在 自成封闭的管圈 起于边界 终于边界 涡管不可能在流体中开始或终止 它只能自成封闭形 或开始 终止于边界面或伸展到无穷远 龙卷风开始和终止于地面与云层 烟圈呈环形 问题 沿封闭周线L的环量 为零 是否在所围面积内流体各处都处于无旋状态 答 否只有在区域内任一条封闭曲线上的速度环量皆为零 则区域内的旋涡强度必为零 流动为无旋运动 亥姆霍兹第二定理 涡管守恒定理 理想正压性流体在有势的质量力作用下 流场中的涡管始终由相同的流体质点组成 K为涡管表面上的封闭周线 其包围的面积内涡通量等于零 由斯托克斯定理知 周线K上的速度环量应等于零 又由汤姆孙定理 K上的速度环量将永远为零 即周线K上的流体质点将永远在涡管表面上 换言之 涡管上流体质点将永远在涡管上 即涡管是由相同的流体质点组成的 但其形状可能随时变化 涡管上的封闭轴线 亥姆霍兹第三定理 涡管强度守恒定理 理想正压性流体在有势的质量力作用下 任一涡管强度不随时间变化 若周线K为包围涡管任意的截面A的边界线 由汤姆孙定理知 该周线上的速度环量为常数 根据斯托克斯定理截面A上的旋涡强度为常数 因为A为任意截面 所以整个涡管各个截面旋涡强度都不瞬时间发生变化 即涡管的旋涡强度不随时间变化 由亥姆霍兹三定理可知 粘性流体的剪切应力将消耗能量 使涡管强度逐渐减弱 亥姆霍兹第一定理 在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同 亥姆霍兹第二定理 涡管守恒定理 正压性的理想流体在有势的质量力作用下 涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管 亥姆霍兹第三定理 涡管强度守恒定理 在有势的质量力作用下 正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化 永远保持定值 第三节平面涡流 龙卷风和深水旋涡流动特征 一 二维涡流设在重力作用下的不可压缩理想流体中 有一无限长的涡通量为J的垂直涡束 像刚体一样以等角速度 绕自身轴旋转 涡束周围的流体受涡束的诱导将绕涡束轴作对应的等速圆周运动 根据斯托克斯定理 J 由于直线涡束无限长 与涡束轴垂直的所有平面上的流动情况都一样 可只研究其中一个平面的流动 涡束内的流动区域 称为涡核区 有旋流动 其半径为rb 涡束外的流动区域称为环流区 由于沿区内任意封闭曲线的速度环量都为零 故为无旋流动 二 速度分布 漩涡内部 流体像刚体一样绕定轴旋转 所以 漩涡内部流体的速度呈线性分布 漩涡外部 环流区 根据斯托克斯定理 三 压力分布 1 漩涡外部 环流区 流体定常且无旋压强分布由伯努利方程式导出 式中的即为 为无穷远处的压强 将代入上式得 在环流区内随着半径的减小 流速升高而压强降低 在与涡核交界处 流速达到最高值 而压强则是该区的最低值 由于涡束内部为有旋流动 伯努利积分常数随流线变化 故其压强分布可由欧拉运动微分方程导出 对于平面定常流动 欧拉运动微分方程为 2 漩涡内部 将和分别乘以以上二式 相加后得 或 积分得 在与环流区交界处 代入上式 得积分常数 得涡核区的压强分布为 涡核区的压强比环流区的的低 在涡束内部 半径愈小 压强愈低 沿径向存在较大的压强梯度 所以产生向涡核中心的抽吸作用 涡旋越强 抽吸作用越大 自然界中的龙卷风和深水旋涡就具有这种流动特征 具有很大的破坏力 在工程实际中有许多利用涡流流动特性装置 如锅炉中的旋风燃烧室 离心式除尘器 离心式超声波发生器 离心式泵和风机 离心式分选机等 由上式可知涡管中心的压强最低 其大小为 涡核区边缘至涡核中心的压强差为 由以上讨论可知 涡核区和环流区的压强差相等 其数值均为 龙卷风的速度分布为 时 时 当 流体以 象刚体一样转动 称风眼或强迫涡 涡核 在区域 流体绕涡核转动 流体质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转称之为自由涡或势涡 自由涡 结论 龙卷风的风眼是有旋的 风眼外是无旋的 兰肯涡是比较接近实际的平面旋涡模型 其中心部分的流体象刚体一样旋转 需有外力不断推动 中心部分也可用圆柱形刚体的转动来代替 外围部分流体的运动在开始时是由中心部分的转动通过粘性的作用形成的 在流动稳定以后 则无须再加入能量 粘性也就不再起作用 兰肯涡 中心区是强迫涡 外围区是自由涡 中心区是以涡心为圆心的圆 其中的速度与离涡心的距离成正比 涡量为常数 外围部分的流速则与离涡心的距离成反比 流动有势 涡量为零 第四节有势流动 如前所述 在流场中流体微团的旋转角速度在任意时刻处处为零 即满足的流动为无旋流动 无旋流动也称为有势流动 一 速度势函数 一 速度势函数引入 由数学分析可知 是成为某一标量函数全微分的充分必要条件 则函数称为速度势函数 因此 也可以说 存在速度势函数的流动为有势流动 简称势流 根据全微分理论 势函数的全微分可写成 于是得 按矢量分析对于圆柱坐标系 则有于是从以上分析可知 不论是可压缩流体还是不可压缩流体 也不论是定常流动还是非定常流动 只要满足无旋流动条件 必然存在速度势函数 无旋条件是速度有势的充要条件 无旋必然有势 有势必须无旋 所以无旋流场又称为有势流场 速度势的存在与流体是否可压缩 流动是否定常无关 根据无旋条件 速度有势 代入不可压缩连续性条件可得 拉普拉斯方程 拉普拉斯算子 1 对于不可压缩流体 速度势是调和函数 满足拉普拉斯方程 二 速度势函数的性质 从上可见 在不可压流体的有势流动中 拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式 这样把求解无旋流动的问题 就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题 所以在不可压流体的有势流动中 速度势必定满足拉普拉斯方程 而凡是满足拉普拉斯方程的函数 在数学分析中称为调和函数 所以速度势函数是一个调和函数 柱坐标系下 求解不可压缩流体无旋流动问题 便归纳为根据起始条件和边界条件求解拉普拉斯方程问题 2 任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值之差 而与曲线的形状无关 根据速度环量的定义 沿任意曲线AB的线积分这样 将求环量问题 变为求速度势函数值之差的问题 对于任意封闭曲线 若A点和B点重合 速度势函数是单值且连续的 则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零 即 如何根据速度分布求解势函数 3 流速势函数沿流线s方向增大 从而得 由性质1得沿流线方向的速度为 沿流线方向速度 所以 即说明值增大的方向与s方向相同 等 位 势面 取t为一固定时刻 若有此时的几何图像是一个空间曲面 称为等势函数面 等位势面 当取大小不同的常数值时 上式就是等势面族 可知 1 速度矢与等势面垂直 2 等位势面彼此紧密的地方 速度值大 等位势面彼此疏松的地方 速度值小 67 二流函数 在笛卡儿坐标系中 平面 不可压缩流体的连续性方程可写成 此外 平面流动的流线微分方程为 由数学知识可知 此式是成为某个函数全微分的必要且充分条件 一 流函数的引入 若定义某一个函数 流函数 即函数 永远满足连续方程 很显然 在流线上 0或 常数 在每条流线上函数 都有它自己的常数值 所以称函数 为流函数 注意 定义流函数不要求无旋 只需不可压缩条件 即为流线 若给定一组常数值 就可得到流线簇 或者说 只要给定流场中某一固定点的坐标 x y 代入流函数 便可得到一条过该点的确定的流线 因此 借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场 对于极坐标系 可写成 在已知速度分布的情况下 流函数的求法与速度势函数一样 可由曲线积分得出 至此可看到 在不可压缩平面流动中 只要求出了流函数 就可求出速度分布 反之 只要流动满足不可压缩流体的连续性方程 不论流场是否有旋 流动是否定常 流体是理想流体还是黏性流体 必然存在流函数 这里需说明 等流函数线与流线等同 但仅在平面流动时成立 对于三维流动 不存在流函数 也就不存在等流函数线 但流线还是存在的 二 平面不可压缩流体流函数的基本性质 1 等流函数线为流线 当常数时 等流函数线为流线 每条流线有各自的常数值 2 平面流动中 通过两条流线间任一曲线 单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差 流函数的物理意义 在两流线间任一曲线AB 则通过单位厚度的体积流量为 平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差 流函数具有明确的物理意义 平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差 在流函数y的定义中 为保证流函数变化值dy与流量增量值dqv同号 规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正 反之为负 这里的流量qv是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量 由不可压缩流体 平面 无旋流动条件有 将速度和流函数的关系代入上式得 在极坐标系中 故不可压缩流体的平面无旋流动流函数也满足拉普拉斯方程 也是调和函数 3 对于平面不可压缩有势流体有势 流函数是调和函数 满足拉普拉斯方程 注意 只要是不可压缩流体的平面流动 就存在着流函数 如果是不可压缩流体的平面无旋流动 即有势流动 必然同时存在速度势和流函数 三 速度势函数和流函数的关系 对于不可压缩流体的平面无旋流动 速度势函数和流函数都是调和函数 且具有以下关系 该数学关系式称为柯西 黎曼 Cauchy Riemen 条件 由它可得 因此 和互为共轭调和函数 这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题 当势函数和流函数二者知其一时 另一个则可利用柯西 黎曼条件求出 而至多相差一任意常数 上式是等势线簇和流线簇互相垂直的条件 即正交性条件 等流函数线就是流线若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线 则它们必然构成正交网格 称为流网 流线与等势线正交 另由高数可知等势线和流线互相正交的条件是它们斜率的乘积等于1 若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线 则它们必然构成正交网格 称为流网 流线的斜率 等势线的斜率 速度势函数和流函数互相正交的条件 用流函数描述流场 第二节平面无旋运动 四 平面无旋运动的流网 流网是不可压缩流体平面无旋流动中 流线簇与等势线簇构成的正交网格 其存在条件是不可压缩平面势流 第二节平面无旋运动 1 流网的性质 组成流网的流线与等势线互相垂直 即等流函数线与等势线互相垂直 斜率 斜率 等流线 等势线 第二节平面无旋运动 网中每一网格的边长之比等于速度势与流函数的增值之比 如取则网格成正方形 流网内任一点A 的增值方向与方向一致 的增值方向为方向向正y轴旋转90 后所得的方向 流速势函数的增值方向与n的增值方向相同 流函数 的增值方向与m的增值方向相同 儒可夫斯基法则 在平面势流的流速场中 流速势的增值方向与流速的方向一致 将流速方向旋转90 后所得的方向即为流函数的增值方向 第二节平面无旋运动 第二节平面无旋运动 2 流网的绘制 1 固体边界本身就是流线之一 等势线与边界正交 2 自由液面必是流线 3 根据流动的大致方向 按照事先选定的网格比例绘制出流线簇和等势线簇 3 流网的应用 有了流网就可以近似地得出流场中各点的速度分布 从而也可以得出压力分布 即在流场中 流线愈密集的地方 其流速愈大 而压力愈小 它是求解稳定平面势流的近似图解法 第二节平面无旋运动 4 流线与固壁的等价原理 根据理想流体固体表面可滑移条件 设想用一刚性薄片按流线的形状弯成柱面 从垂直于流动平面的方向插入流场 将不会影响薄片两侧的两部分流场的流动 这就是流线与固壁等价原理 91 5 零流线 因和代表同一流场可唯一指定任一条流线的流函数为零 此即零流线 有时指定固体边界的流线为零流线是方便的 固体表面 固体表面 有压平面势流流网的绘制 等流线 等势线 例 94 对于不可压缩流体的平面无旋流动 速度势函数和流函数都是调和函数 且具有以下关系 该数学关系式称为柯西 黎曼 Cauchy Riemen 条件 由它可得 因此 和互为共轭调和函数 这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题 当势函数和流函数二者知其一时 另一个则可利用柯西 黎曼条件求出 而至多相差一任意常数 五 复位势与复速度 1 构造一个复函数 定义复速度 实部 速度势函数 虚部 流函数 2 当已知共轭复速度 可求得复函数 1 复函数可允许相差一任意常数 而不影响流体的运动 2 w z 常数等价于流函数和速度势分别等于常数 它们分别代表等势线和流线 且二者正交 3 复位势的性质 3 共轭复速度沿封闭回线C的积分 其实数部分为沿该封闭回线的速度环量 而虚数部分则为通过封闭回线C的流量 4 在无源无涡的单连通区域内 w z 是单值函数 5 两个不可压缩流体的平面无旋流动的叠加 仍然为平面无旋流 其复势为原两个复势之和 平面无旋运动 复位势 解析函数 一一对应 基本解析函数的叠加 基本流动的组合 例 试证明不可压缩流体平面流动 能满足连续方程 是一个有势流动 并求出速度势 解 满足连续方程 流动为有势流动 例 有一不可压流体平面流动的速度分布为 该平面流动是否存在流函数和速度势函数 若存在 试求出其表达式 若在流场中A 1m 1m 处的绝对压强为1 4 105Pa 流体的密度1 2kg m3 则B 2m 5m 处的绝对压强是多少 例 有一不可压流体平面流动的速度分布为 该平面流动是否存在流函数和速度势函数 若存在 试求出其表达式 若在流场中A 1m 1m 处的绝对压强为1 4 105Pa 流体的密度1 2kg m3 则B 2m 5m 处的绝对压强是多少 解 1 由不可压流体平面流动的连续性方程该流动满足连续性方程 流动是存在的 存在流函数 由于是平面流动该流动无旋 存在速度势函数 2 由流函数的全微分得 积分由速度势函数的全微分得 积分 3 A和B处的速度分别为由伯努里方程可得 六 理想不可压缩流体恒定无旋运动基本方程 一 不可压缩理想流体无旋运动模型1 理想 粘性力 惯性力的区域 忽略粘性力作用 简化方程例如绕流问题中边界层以外区域的流动 不脱体绕流流动在研究压力场和速度场时可不计边界层 近似看成理想流体绕流物体流动 2 不可压缩 液体 通常情况下 气体 低速绕流运动 流速 声速 例如飞机速度 100m s时 3 无旋运动 在以上近似下 有势体力场中流体涡旋运动性质具有保持性 即初始无旋则永远无旋 在流体从静止开始的运动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等 流动均无旋 此模型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似 二 基本方程组 方程组求解的困难 1 惯性项非线性 2 速度v与压力p相互关联 需要联立求解 初始条件 t 0时 边界条件 若运动无旋 则 存在势函数 满足 代入连续性方程 得 拉普拉斯方程 线性的二阶偏微分方程 若流体是理想不可压缩的 质量力有势 且运动无旋 则运动方程可以积分求解 得到拉格朗日积分方程 三 平面定常运动条件 1 稳定流动 随时间变化可忽略不计 2 所研究的流动区域在一个方向的尺寸比其他两个方向大得多 3 流体参数在小尺寸的方向上变化很小 基本为定值 数学表达1 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行 w 0 2 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变 即 112 113 四 理想不可压流体恒定平面势流常用解法 奇点分布法镜像法保角变换法 复变函数 数值解法 有限元 边界元 有限差分 几何 流网 法实验 如水电比拟等 方法 114 奇点分布法是解无粘性不可压缩流体无旋运动的问题的一个重要方法 奇点分布法的主要思想可简述如下 首先建立简单的 对应于均匀流 源流 汇流 点涡 偶极子流等基本流子的调和函数 而后将这些基本的调和函数 速度势以适当的方式叠加起来 叠加后所得的仍为调和函数 利用这些新得到的调和函数可以解决两类问题 第一类称为正问题 即给定物体求物体绕流问题的解 为此目的 适当地选择基本流子的组合 使得复合后所得调和函数满足给定的边界条件 第二类称为反问题 即给出速度势函数 反过来确定与之对应的无旋运动 利用奇点分布法解决这类问题时只须根据一定的物理考虑 将基本流子叠加起来 而后研究并确定它代表什么样的无旋运动 奇点分布法的优点是简便 物理概念清晰 利用它可以解决一批工程实际感兴趣的无粘性不可压缩流体无旋运动问题 115 镜像法用物体或基本流动 如旋涡 偶极子等 的镜像来代替固体边界或射流边界影响的一种处理方法 七 势流叠加原理 由于 函数和 函数都是调和函数 由调和函数的性质可知 调和函数的线性组合仍是调和函数 故可用 来描述一个新的有势流动 即 函数和 函数可叠加 叠加后仍是无旋流 八求解势流流动压强问题的步骤 直接法 1 求拉普拉斯方程 得到势函数 2 通过势函数与速度之间的关系式 得到速度分布 3 通过拉格朗日方程求压强p 一 线性函数 均匀流 a是复数 共轭复速度 流线族 等势线族 第五节几种简单的平面势流 或 均匀平行流速度场 a b为常数 速度势函数等势线流函数流线 u x y o 1 1 2 3 2 3 当流动方向平行于x轴 当流动方向平行于y轴 如用极坐标表示 1 1 2 2 1 1 2 2 二 点源与点汇 a是实数 用极坐标下的复数表达式 流线族 等势线族 a是实数 a是实数 点源 点汇 若点源不在坐标原点而在z0点 则复位势为 或 源流与汇流 用极坐标 1 源流 1 1 2 2 o 3 4 ur 源点o是奇点r 0ur 速度场速度势函数等势线流函数流线直角坐标 2 汇流流量 1 1 2 2 o 3 4 汇点o是奇点r 0ur 三 点涡 b是实数 b是实数 点涡 若点涡不在坐标原点而在z0点 则复位势为 或环流 势涡流 用极坐标 注意 环流是无旋流 速度势函数 流函数 速度场 环流强度 逆时针为正 1 1 2 2 o 3 4 u 也满足同理 对无旋流 势流叠加原理 第六节势流叠加原理 几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动 其速度势函数和流函数分别等于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和 速度分量为原有速度分量的代数和 研究势流叠加原理的意义 将简单的势流叠加起来 得到新的复杂流动的流函数和势函数 可以用来求解复杂流动 一 半无限物体的绕流 用极坐标 模型 水平匀速直线流与源流的叠加 河水流过桥墩 流函数 速度势函数 即视作水平流与源点o的源流叠加 u0 S 几个常见的势流叠加的例子 作流线步骤 找驻点S 将代入 舍去 将代入得驻点 的坐标 u0 S o rs 1 2 由 2 由 1 将驻点坐标代入流函数 得 则通过驻点的流线方程为 给出各 值 即可由上式画出通过驻点的流线 流线以为渐进线 外区 均匀来流区 内区 源的流区 固化 半体 两个强度相等的位于点A a 0 的点源和位于点B a 0 的点汇叠加 如图所示 由于 二源流和汇流叠加的流动 偶极子流 x y o a a r r1 r2 P x y 1 2 q q 点源和点汇叠加 偶极流 组合流动的速度势和流函数为 是AP BP之间的夹角 在流线上 常数 常数 其图像为经过源点和汇点的圆线族 当时 源点和汇点无限接近 流量为无限增大 使得取有限值 称这种流动为偶极流 M为偶极子矩 其方向由源点指向汇点 当为微量时 故可得偶极流的速度势和流函数分别为即即 若令势函数等于常数 则得等势线方程即等势线的图像为圆心在 点上 半径为并与y轴在原点相切的圆族 如图中虚线所示 令式流函数等于常数时 可得流线方程 即流线的图像是圆心为 半径为并与x轴在原点相切的圆族 如图中实线所示 对速度势函数求偏导数 得出的偶极流的速度分布为 第七节平行流绕过圆柱体无环流的平面流动 平行流 均匀等速流 和偶极流叠加 可用来描述流体绕过圆柱体无环流的流动 若均匀等速流的速度为 沿x轴正向流动 偶极流的偶极矩为M 一 平行流与偶极流的叠加1 流网平行流 偶极流 叠加 流线方程为 当常数C取不同的数值时 可得如图7 19所示的流普 当C 0时对应的流线 称为零流线 图8 28流体对圆柱体的无环量绕流 2 零流线 当常数C 0时 即零流线的流线方程 由 得 或 即 可见 零流线为以坐标原点为圆心 为半径的圆和x轴 二 平行绕流圆柱体无环流的流动 1 流函数和速度势 2 流场中的速度分析 1 直角坐标系 因为 所以 b 在 r0 0 和 r0 0 处 a 当 讨论 时 即为平行流 为驻点 即A B为驻点 2 对于极坐标 讨论 a 半径为r的圆形曲线上的速度环量 b 当时 故平行流绕圆柱体的流动为势流 时 当时 即C D点 的速度最大 如图8 29 三 圆柱面上的压强分布 圆柱面上的压强分布可由伯努利方程求得 在无穷远处 速度为 压强为 则 工程上为了处理问题方便起见 引入一个无量纲压强系数 则 由 其中 讨论 1 前 后驻点 2 C D点 3 在和的范围内 圆柱面上的压强作用是对称的 即作用在其上的压力是平衡的 四 对于理想