求代数方程组及网格生成.ppt

计算流体力学讲义第十一讲代数方程的求解及网格生成李新亮lixl 力学所主楼219 82543801 知识点 1 讲义 课件上传至 流体中文网 流体论坛 CFD基础理论 讲课录像及讲义上传至网盘http cid CopyrightbyLiXinliang 代数方程组的求解网格生成 CopyrightbyLiXinliang 2 知识回顾 有限体积法 在以某节点为中心的控制体上积分 i j k 非结构网格的控制体 i 1 j i 1 j i j 1 i j 1 k3 k1 k2 k4 k5 结构网格的控制体 x y n 体积平均 控制体边界垂直于节点连线 也可选其他方式 垂直平分线 n 1 建立控制体 2 在控制体上积分 离散方程 重构 由节点上平均值给出函数分布 最终给出通量 表示第m个界面上的值 1 有限体积法的离散过程 重构 1 重构 两种不同的重构方案 向左偏及向右偏 给出两种结果 及 CopyrightbyLiXinliang 3 例如 0阶重构 线性重构 2 迎风型有限体积法 注 有激波的情况 需使用限制器 即激波捕捉格式 j 1 j j 1 2 如不使用限制器 很可能 寸步难行 第1步就发散 例 Sod问题 压力出现负值 计算发散 例如 NND格式 在二阶中心 二阶迎风 1阶迎风三个方案中选取最合适的 1阶迎风 修正项 线性插值 得到二阶迎风格式 两个修正方案 二阶迎风及二阶中心 给出趋势相同时 选修正量最小的 趋势相反时 不修正 CopyrightbyLiXinliang 4 i j i 1 j i 1 j i j 1 i j 1 n 左重构 右重构 2 由左右重构得到的自变量 和给出通量方案A FVS方案B 解Riemann问题 常用 x y 看似二维Riemann问题 其实是一维的 坐标旋转一下就行了 精确Riemann解Roe 近似Riemann解 求解常系数线性化的Euler方程 HLL型近似解 双激波近似 积分平均解HLLC型近似解 三波近似 3 粘性通量的计算 中心型 CopyrightbyLiXinliang 5 Part1代数方程组的求解 微分方程 组 代数方程组 数值解 离散解 差分有限体积 大部分计算量 11 1 1Gauss消去法 消元 为了计算稳定 通常使用主元消去法列主元消去法 全主元消去法计算量 乘法 加法 11 1代数方程组求解的直接法 优点 简单精确 缺点 计算量大 上三角矩阵 CopyrightbyLiXinliang 6 11 1 2LU分解法 0 0 Step1 Step2 Stepk 对角线上不能有0 计算之前先交换矩阵A的元素 将主值交换到对角线上 CopyrightbyLiXinliang 7 回代过程 计算量 分解O n3 3 回代O n2 优点 1 重复求解 时 仅需一次LU分解 计算量小 2 LU分解不破坏带状稀疏矩阵的性质 可大幅减小计算量 L带宽的带状矩阵 LU分解 O nL 回代 O nL CopyrightbyLiXinliang 8 11 1 3带状矩阵求解的追赶法 追赶法 等价于带状矩阵的LU分解 例 三对角矩阵 一般项 边界项 追赶法 令 Step1 Step2 Step3 Step4 计算量 9n次 乘法 A为固定值时 3n次 乘法 简单易用 计算量小 CopyrightbyLiXinliang 9 11 2代数方程组求解的迭代法 11 2 1Jocabi及Gauss Seidel迭代 解出对角元素 Jocabi迭代 Gauss Seidel迭代 对角占优 CopyrightbyLiXinliang 10 11 2 2松弛迭代 超松弛 SOR 亚松弛 Step1 采用Jocabian或Gauss Seidel迭代产生新的值 Step2 进行松弛 含义 改变步长 超松弛 精确解 步子迈大一些 加快收敛 亚松弛 步子迈小一些 稳定性好 收敛性 对角占优矩阵 Jocabian及Gauss Seidel迭代可收敛 CopyrightbyLiXinliang 11 举例 Laplace方程的求解 五点格式 Jacobi迭代 Gauss Seidel迭代 缺点 每迭代一步 信息只传递到周围网格点 n很大时收敛较慢 n 1 n n n n n 1 n n 1 n 1 CopyrightbyLiXinliang 12 对称Gauss Seidel迭代 SGS n 1 n n 1 n 1 n 1 n n n n 1 n 1 Step1 Step2 特点 两次扫描 反复迭代 CopyrightbyLiXinliang 13 11 2 3交替方向迭代 ADI 方法 例 Step1 认为已知 使用上一步的值 求解三对角方程 得到中间步的值 Step2 代入中间步的值 求解三对角方程 得到n 1步的值 三对角方程采用追赶法求解 效率较高在每一条线上采用直接法 信息快速传递 有利于收敛 Step3 重复以上两个步骤 直至收敛 因追赶法实际上是LU分解法 因此又称LU ADI方法 n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 n n n CopyrightbyLiXinliang 14 11 2 4近似解法 LU SGS方法 SGS方法信息传递速度仍较慢 需要加速 近似LU分解 Step1 Step2 优点 不含任何迭代过程 两步扫描即可完成 效率很高 缺点 近似LU分解 结果不够准确 OK 不迭代 是LU分解的SGS方法 因此成为LU SGS近似解法 CopyrightbyLiXinliang 15 11 2 5加速收敛的多重网格法 Gauss Seidel迭代 含义 线性系统 误差满足同样的方程 定义误差 1 收敛速度的Fourier分析 增长 收敛 因子 含义 极端高波数情况 迭代一次 误差减小一半 极端低波数情况 收敛速度趋近于0 CopyrightbyLiXinliang 16 策略 多重网格 粗网格加速低波数扰动收敛 细网格加速高波数收敛 细网格 粗网格 使用多重网格法求解方程 迭代方程 以Jacobian迭代为例 修正方程 Step1 在细网格上迭代一定步数 无需收敛 得到中间步的值Step2 将修正项插值到粗网格上 并迭代求解Step3 将求解后的修正项插值到细网格 并计算出细网格上新的值Step4 重复Step1 3直到收敛 修正项 CopyrightbyLiXinliang 17 常用方法 V型及W型迭代 细网格 粗网格 更粗网格 细网格 粗网格 更粗网格 V型迭代W型迭代 CopyrightbyLiXinliang 18 Part2网格生成技术 10 3代数网格生成法 基本思路 通过代数方程计算出网格点的位置优点 灵活 计算量小缺点 光滑性差 过于依赖人工 如图 叶栅通道 已知计算域上边界 红线 及下边界 蓝线 的方程为 和 则网格为 其中可控制法向的疏密分布 均匀分布 在下壁面处密集分布 上下壁面两侧加密 CopyrightbyLiXinliang 19 10 3椭圆形方程网格生成法 A B C D E F A B C D E F 对于如图单联通的计算域 可通过坐标变换 变换到图示矩形计算域 物理空间边界计算空间边界物理空间内点计算空间内点 物理空间 计算空间 通常 给定边界点的对应关系 代数方法 通过求解方程获得内点的对应关系 方程的边值问题 椭圆型方程 边值问题抛物型方程双曲型方程 初边值问题 椭圆型方程 CopyrightbyLiXinliang 20 通常 或 含义 给物理空间的每个点找到计算空间的对应位置 注 由于拓扑的对应性 物理空间必须是单联通域 如果是多联通的 可通过切割 形成单联通域 CopyrightbyLiXinliang 21 求解 1 形式变换 改写成以为自变量 便于进行差分求解 CopyrightbyLiXinliang 22 离散化 中心差分 离散方程 迭代求解 Jacobi Seidel SOR LU ADI LU SGS 多重网格 CopyrightbyLiXinliang 23 Step1 确定边界网格 通常采用代数方法生成 一维网格 容易生成注意 1 边界对应关系容易出错2 考虑网格的疏密分布 翼型尾缘区 激波区 近壁区 Step2 利用上页的离散方程 解出全部网格坐标 不足 内部区域的网格分布不易控制无法做到指定区域网格加密无法保证网格正交 边界网格可控 内部网格只能 听天由命 方案1 源项P Q为0 求解Laplace方程 CopyrightbyLiXinliang 24 方案2 设定源项P Q求解Poison方程 源项P Q对网格的影响数值实验发现 在某点处加入点源P P0使方向网格线发散 点源P P 0 P 0 在某点处加入点源Q 可对方向网格线产生同样效果 1 网格线的汇聚 启发 在某条网格线上加入负的源项 可令网格汇聚 使网格汇聚于 CopyrightbyLiXinliang 25 2 边界网格的正交 并指定边界网格间距 令 源项在边界处 内部衰减 利用边界处网格的正交性及网格间距要求确定系数P和Q 指定值 基本思路 以壁面线处为例 网格线正交 指定法向网格间距 计算第2层网格线上的坐标 通过差分计算边界处的 如需要利用的信息 可用上一迭代步的值 计算出边界处的P Q 根据指数衰减原则给出全场的P Q 具体公式见 傅德薰 计算空气动力学 284 286 CopyrightbyLiXinliang 26 习题11 1网格生成 通过解椭圆型方程生