第一章证明2.doc

第一章 证明（二）三角形有关性质、定理及反证法知识要点三角形的性质与判定：序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1公理三角形全等的判定公理三边对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边对应相等的两个三角形全等SSSSASASA2定理三角形全等的判定定理两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS3公理三角形全等的性质全等三角形的对应边相等、对应角相等4定理等腰三角形的性质的推论等腰三角形的两个底角相等等边对等角5定理等腰三角形的判定定理等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线底边上的高互相重合“三线合一”6 定理等边三角形的判定定理有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形7定理有一个角等于30的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半8定理等边三角形的判定定理三个角都相等的三角形是等边三角形等角对等边9定理勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方符号语言：若C=90，则c2=a2+b210概念互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理11定理勾股定理的逆定理如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形符号语言若，则a2+b2=c2，C=90。12定理直角三角形全等的判定定理斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等HL证明方法：综合法、反证法综合法：审题：找出已知、求证的各量之间的关系；分析解题思路：一般采用逆向思考，即从结论入手，追溯结论成立的理由。书写推理过程，从已知入手，将分析过程倒着写出来反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立的方法称为反证法。（步骤：提假设：假设命题的结论不成立，推矛盾：从假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；得结论：从而肯定命题的结论）几种常见的结论和它的否定形式：“ab” “ab”“a=b” “ab”或“ab，ab”“ab” “a与b相交”“点在直线上” “点在直线外”“至少有一个” “一个都没有”“至少有两个” “至多有一个”互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。（“条件”与“结论”交换）互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理。易错易混点Z021. 如图Z01，AD为ABC的中线，BAD=DAC，求证：AB=AC。2. 如图 Z02所示，在ABC中，AD是它的角平分线，且AB=AC，DE、DF分别是垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证BE=CF。Z01典型例题1. 在ABC中，AB=2，AC=，B=30，则BAC的度数是_。2. 已知：如图Z03所示，ABC中AB=AC，D是AB上一点，过D作DEBC于E，并与CA的延长线相交于F。求证：AD=AF。ZM03ZM063. 如图Z06，在ABC中，CAB=90，C=30，AD是BC边上的高，BE是ABC的平分线，AD与BE交于点F，求证：AEF是等边三角形。学习自评1. ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，若EBC=BAD，则ABC一定是（ ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形2. 一个三角形三边之比为3：4：5，则此三角形三边上的高之比为（ ）A. 3：4：5 B. 5：4：3 C. 20：15：12 D. 9：8：73. 三角形三边长分别为6，8，10，那么它的最短边上的高为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 84. 直角三角形的斜边长为13cm，面积为30cm2，另两边分别为（ ）A. 5cm， 6cm B. 7.5cm，8cm C. 5cm，12cm D. cm，cm5. 两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等，则（ ）若斜边上的高对应相等，那么这两个直角三角形全等； 若直角的平分线对应相等，那么这两个直角三角形全等； 若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等； 两个直角三角形都有一个锐角是30，那么这两个直角三角形全等。其中正确的命题有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 已知直角三角形一锐角是30，斜边长是1，那么这个三角形的周长是（ ）A. B. 3C. D. 7. 已知直角三角形两直角边之和是，斜边长为2，则这个三角形的面积等于（ ）A. B. 1 C. D. 8. 一个等腰三角形的顶角是150，面积是4cm，则它的腰长是_cm。9. 等腰三角形的两条边长分别为6cm和8cm，那么这个三角形的周长是_cm。10. 等腰ABC中，腰AB上的中垂线与AC所在直线相交所得锐角为50，则底角B的大小是_。11. 在RtABC中，C=90，A=30，AB+BC=12cm，则AB=_cm。12. “正方形是矩形”，它的逆命题是_。13. 等腰三角形底边长6cm，腰为5，则它的面积为_。14. 一个三角形的三条边长分别是20，15，25，那么它的最长边上的高是_。15. 命题“一个三角形中至少有一个角大于60”，用反证法证时，应假设“_”。16. 已知a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,则三角形ABC的形状为_。17. 命题“对顶角的平分线成一直线”的题设是_，结论是_。18. 已知直角三角形斜边上的中线为1，周长为，求三角形的面积。19. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角。20. 在ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，c-a=b，c+a=2b，判断ABC的形状。ZM08ZM1021. 如图ZM08，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F。(1) 求证：AD=CE；(2) 求DFC的度数。22. 如图ZM09，AOB是一钢梁，且AOB=10，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH添加的钢管长度都与OE相等，则最多能加多少根？ZM0922. 求证：以m2+n2，m2-n2，2mn为边的三角形为直角三角形。知识要点序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1定理线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等有了中垂线，就有了相等的线段2定理线段垂直平分线的判定到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上联想等腰三角形的“三线合一”3定理三角形的三条边上的垂直平分线的性质三角形的三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等三边中垂线共点提示有线段垂直平分线时，通常把垂直平分线上的点与线段的两端点连接起来，利用等腰三角形的性质来解决问题4定理角平分线的性质角平分线上的点到这个角两边的距离相等图形与符号结合记忆5定理角平分线的判断在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 6定理三角形的三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等三条角平分线共点易错易混点1. 已知：如图ZM12，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，DE=DF，求证：AD垂直平分EF。ZM122. 如图ZM13，P是AOB的平分线上的一点，OC=OD，PC=2cm，求PD的长。ZM133. 现有不在一条直线上的A、B、C三城.（1）在A、B城间建一果品批发市场，使其到A、B两城距离相等，此市场位置惟一么？它们的位置有什么关系？（2）在B、C两城间建一水果仓库，使其到B、C两城距离相等.仓库位置惟一么？它们的位置有什么关系？（3）为减少运费，现将果品批发市场与仓库建在同一位置，并分别到两城距离相等.应如何选址？画图说明.典型例题ZM141. 已知，如图ZM14，在ABC中，B=70，DE是AC的垂直平分线，且BAD：BAC=1：3，则C=_。2. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点C. 三条高线的交点 D. 三条中垂线的交点3. 如图 ZM17所示，在ABC中，B=22.5，C=60，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于F，BD=，AEBC于E，求EC的长。1.3.2 三角形三边中垂线交于一点1.如左下图，点P为ABC三边中垂线交点，则PA_PB_PC.2.如右上图，在锐角三角形ABC中，A=50，AC、BC的垂直平分线交于点O，则1_2，3_4，5_6，2+3=_度，1+4=_度，5+6=_度，BOC=_度.3.如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD_DC，点D在_的垂直平分线上. 4.如右上图，在ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则B_1，C_2；若BAC=126，则EAG=_度.5.如左下图，AD是ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则_(HL)；从而BD=DC，则_(SAS)；ABC是_三角形.6.如右上图，BAC=120，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则ADB=_度.三、作图题（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC （2）观察各图中的点P与ABC的位置关系，并总结规律：当ABC为锐角三角形时，点P在ABC的_；当ABC为直角三角形时，点P在ABC的_；当ABC为钝角三角形时，点P在ABC的_；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.1.4.1 角平分线1.如图（1），AD平分BAC，点P在AD上，若PEAB，PFAC，则PE_PF.2.如图（2），PDAB，PEAC，且PD=PE，连接AP，则BAP_CAP.3.如图（3），BAC=60，AP平分BAC，PDAB，PEAC，若AD=，则PE=_.（1） （2） （3）4.已知，如图（4），AOB=60,CDOA于D，CEOB于E，若CD=CE，则COD+AOB=_度.5.如图（5），已知MPOP于P，MQOQ于Q，SDOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=_cm. （4）（5）三、选择题1.下列各语句中，不是真命题的是A.直角都相等 B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等2.下列命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在ABC中，ACB=90,BE平分ABC，DEAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm 4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则ABEACF BDFCDE D在BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有B.只有C.只有和D.，与四、解答题1.试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.2.如右图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分BAC.1.4.2 三角形三条内角平分线交于一点1.如图（1），点P为ABC三条角平分线交点，PDAB，PEBC，PFAC，则PD_PE_PF.2.如图（2），P是AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系