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第五章平面向量 向量的坐标运算 第讲 3 第二课时 题型4向量的夹角 1 在平面直角坐标系内 已知向量 2 1 1 7 5 1 若z为直线op上一个动点 当取最小值时 求cos azb的值 解 因为z在直线op上 所以与共线 所以又因为 1 2 7 同理 5 2 1 所以 1 2 5 2 7 1 5 2 2 8 所以当 2时 min 8 此时 3 5 1 1 点评 利用坐标向量求向量夹角的有关问题时 运用坐标运算先求其数量积与模的积 其中涉及到参数时 一般是转化为函数问题后 利用函数的性质进行求解 这正体现了知识之间的纵横联系 已知m 1 0 n 1 0 动点p使得求与的夹角 的取值范围 解 因为由已知 2 所以 2 设点p x y 则 1 x y 1 x y 所以 1 x 1 x y2 2 即x2 y2 3 所以 因为0 x2 3 所以4 x2 1 2 从而cos 1 所以 0 题型5向量的坐标运算与三角函数交汇 2 已知x r 向量f x a 0 1 求函数f x 的解析式 并求当a 0时 f x 的单调递增区间 2 当x 0 时 f x 的最大值为5 求a的值 解 当即时 f x 为增函数 即f x 的单调递增区间为 k z 2 由 1 知f x 2asin 2x 当x 0 时 2x 若a 0 当2x 时 f x 的最大值为2a 5 则a 若a 0 当2x 时 f x 的最大值为 a 5 则a 5 点评 向量既是数形结合的一种工具 也是各知识综合的一个平台 向量与三角函数的交汇综合 是近几年高考中的一个亮点 如本题就是利用向量的数量积转换已知条件 综合考查了向量的运算 三角函数的化简 三角函数的性质等知识 设a 1 cos sin b 1 cos sin c 1 0 其中 0 2 记a与c的夹角为 1 b与c的夹角为 2 若 1 2 求 的值 解 由题设 因为所以因为所以所以 1 数量积是向量的核心内容 向量的平行 垂直关系是向量间最基本 最重要的位置关系 而向量的夹角 长度是向量的数量特征 利用数量积可以求以下几类问题 判断两向量是否垂直或共线 计算向量的长度或平面内两点间的距离 求两向量的夹角 用来证明三角形中与边角有关的命题 2 向量的垂直 平行关系要记牢 实质上 平面解析几何中两直线的垂直与平行的关系就类似于向量的垂直 平行关系 要注意区别向量平行与直线平行
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