运用超级画板开展中学数学实验.pdf

4 4 数学通报 2 0 0 8 年第4 7 卷第6 期 运用超级画板开展中学数学实验 彭翕成 华中师范大学教育信息技术工程研究中心4 3 0 0 7 9 1 开展中学数学实验的必要性 我们知道 实验课在物理 化学 生物等学科 中占有十分重要的作用 它既能帮助学习者理解 所学内容 掌握其本质 又能培养学习者的观察能 力和动手操作能力 可是很少有人提起数学实验 难道数学不需要实验 是不是像有些人所说 靠 一支笔 几张稿纸 几本资料书就可以 其实 数 学实验从数学诞生就存在 只是长期以来没有被 人们所重视 数学源于直观和实践 无论怎样地变 化 数学实验总是学习数学和研究数学的重要方 法 它与物理实验 化学实验 生物实验一样 旨在 通过实验 验证结果 揭示事物内在的规律 提高 解决问题的能力 传统教学中 学生体验到的基本上是 数学成 品 总是从公理出发 沿着定义 公理 定理 推论 的道路进行的 很少有机会尝试 实验或探究 找 寻各种不同的答案 结果使充满美感和乐趣的数 学变成了枯燥无味的公理 定理 公式和习题的堆 积 即使偶尔遇到几个开明的数学老师 会指导学 生利用纸张 剪刀 小木棍 三角板 量角器等工具 进行一些简单的数学实验 但终究由于所用工具 的局限性 数学实验不可能广泛展开 随着信息时代的到来 计算机技术已经很大 程度地改变了我们的学习和生活 使人们学数学 和利用数学解决问题的方法发生了显著的变化 计算机最明显的功能就是高速进行大量计算 这 使得过去无法求解的问胚成为可能 人们可以将 所要研究的问题的数学模型转换为让计算机进行 运算的形式 由计算机进行计算 推导 甚至证明 得出某种新的结论或新的发现 本文所谓的数学 实验 就是利用超级画板这一计算机软件对数学 现象或命题进行检验的过程 是让学生通过自己 动手操作 进行探究 发现 思考 分析 归纳等思 维活动 最后获得概念 理解或解决问题的一种实 践过程 数学实验是数学教学的崭新手段 虽然目 前很多大学的数学系已经开设了数学实验课程 但在中学进行数学实验的 还不是很多 笔者认为 很有必要对中学开展数学实验进行研究 2 超级画板简介 2 1 超级画板开发者的理念 自2 0 0 1 年 张景中院士和其弟子李传中教授 提出智能教育平台的思想 2 3 以后 一些专家就认 为这样的平台只能等国外开发出来后 我们来引 进 但张景中院士却不这么认为 虽然从美国引进 的几何画板 在我国教育信息化进程中起到了积 极的作用 智能教育平台 思想的产生 也部分地 受到几何画板的启发 但是 我们不能等待人家的 软件根据我们的需求来升级 几何画板已经出来 十几年了 版本到了4 0 数学教学中十分需要的 立体构图 符号计算和智能推理的功能仍未能实 现 笔者注 几何画板的最新版本为V 4 0 7 但立 体构图 符号计算和智能推理的功能仍没有实 现 借助我们在数学机械化领域的学术优势 自 己组织力量 未必不能成功 当今教育的侧重点必须随着计算机在数学中 应用的方式而有所改变 一些原来引以自豪的能 力 例如很强的符号运算能力可能变得不再那么 有价值了 而人们的工作将主要是建立解决问题 的模式 进而操纵 指挥计算机工作 这样人们就 有可能摆脱机械性的工作细节 而把注意力集中 到更有价值的创造性的问题上 我们的数学教学 应该顺应这一发展趋势 鼓励学生去探索数学问 题以及用数学去解决问题 不仅要培养学生的逻 辑能力 空间想象能力和运算能力 还要培养数学 建模能力 数据处理能力和探究学习能力 加强在 万方数据 2 0 0 8 年第4 7 卷第6 期数学通报 4 5 用数学 方面的教育 而超级画板正是为实现这 一目标提供了一个非常好的操作平台 2 2 超级画板的功能简介 动态几何 我国主要使用几何画板 对教育的 积极影响 已经成为国际教育界的共识 但数学教 育不仅有几何 还有算术 代数和分析 几何也不 仅仅是作图看图 还有推理和计算 为了满足数学 教育的需求 人们希望动态几何软件能够集成更 多的功能 并且希望使用起来更加容易和快捷 主要为中学的数学教学和数学实验而设计的 动态几何软件 超级画板 对于上面的这些要 求都作了考虑并尽可能地予以落实 超级画板的 全名是 Z Z 智能教育平台一超级画板 Z 矿是 知识 智能 之意 而 超级 则是从 超级 市场 的名称借来的 是说超级画板好比超级市 场 教数学的老师和学数学的同学用起来 想要的 几乎是应有尽有 好像进了超级市场一样 从软件 开发商的角度来讲 功能太齐全 反而不是好事 软件开发商希望是一个软件实现一个功能 这样 既容易把软件设计得相当精致 又可以得到较大 的利益 而对于大多数软件用户而言 他只需要一 些基本功能 却不得不去买好几种软件 既花费钱 又得花费时间来学 以W o r d 为例 一般用户对 w o r d 的功能使用率都不会超过2 0 超级画板 功能相当齐全 集成了几何画板 动态几何 P P T 演示文稿 E X C E L 电子表格 M a t h m a t i c a 符 号运算 V B 算法编程 等多种软件的全部或部 分功能 并且不是简单的堆集 而是有机的组合 在此基础上 超级画板还增加了动态代数 逻辑动 画 自动推理等功能 超级画板功能强大 完全能够满足中学数学 教学和数学实验的需求 而且它的操作方式力求 容易简便 体现了人性化 智能化 可视化 动态化 和程序化 4 5 其基本功能可归纳成8 个字 写画 测变 编演推算 E e l 这些功能都是广泛征集了一 线教师的意见后 充分考虑到为如何有效进行教 学改革而设置的 图l 为超级画板结构图 3 数学实验模式分类 按照教学内容和实验手法的不同 数学实验 可分为观察实验 模拟实验 验证实验 探索实 验 川 3 1 观察实验 观察是思维的人口 感性认识的开端 人们认 识客观事物总是从观察开始 当然学习数学也不 例外 首先要观察数学现象 得到一些感性材料 再经过分析概括 演绎推理等对这些材料进行加 工处理 从而上升到理性认识的高度 很多数学规 律要从大量的数学现象中提炼出来 然而传统的 教学手段对数学现象的呈现方式显得过于单调和 机械 在黑板上动点不动 变换不变 度量不准 参 数静止 观察性实验是利用超级画板动态几何作 图功能 在动态的图形演示中 从直观上理解数学 概念 并通过观察 分析 归纳出数学性质 譬如在 圆的一般方程 这一内容的学习中 我们用3 个 滑动条来控制3 个参数 调整参数就可以很容易 观察出参数对函数图象的影响 譬如我们调整参 国际领先的 一动态数学 I 张景中院士I 技术支持 知识资源库 智能工具箱 l 为首的工作组 一逻辑动I 8 i 一自动推理 一 由f lZ 且 全力打造 多功胃岜集厩 超级画板 l 算法编程 丰富的新学 I 一符号运算 I l 广大一线 经验支撑 主型功能 一统计表格 l 中学数学老师 I 1 演示文稿 图l 万方数据 4 6 数学通报 2 0 0 8 年 第4 7 卷第6 期 数F 就发现生成了很多同心圆 这就说明了参数 F 与圆心位置无关 图2 通过动态演示 数形关 系一目了然 从而培养了学生的观察力 增强学生 对抽象数学概念的感性认识 中学中还有很多内 容适合作观察性实验 譬如圆锥曲线与其离心率 的关系 二次函数与其系数的关系等 俪 跟踪圆 嬲励纺乏爻 幡 Dz 一翌卜 一N 心蔑釜兰至荔彭嬲 一 忒墨芒要三至乏毵矿 一0 7 0 1 三三二 7 卜 斗 一 图2 3 2 验证实验 著名数学家牛顿说过 没有大胆的猜测就没 有伟大的发现 日本数学家小平邦彦认为 数学 中的结论三分之一是证明出来的 三分之一是计 算出来的 还有三分之一是猜出来的 数学中存 在着大量的未经证明的猜想 怎样验证这些猜想 在中学阶段 超级画板无疑是最好的验证猜想的 平台 验证性实验通常是利用超级画板的度量功 能 通过几何图形的动态变化 使人能直观地理解 图形中的几何规律 深刻地领会以前在纸上无法 观测到的几何原理 获得广泛的数学活动经验 譬 如在解析几何中 就经常遇到这样的定值问题 有心圆锥曲线上任一弦的斜率和弦中点与其中 心连线的斜率 均存在且不为0 之积为一定值 一2 2 我们只要设有心圆锥曲线方程为生 卫 1 作 T 好图3 测量相关数据后 任意拖动点A 和点B 都会发现积为定值 当仇 n 为一正一负时 图形 为双曲线 此结论同样成立 中学中很多命题都可 以用超级画板来验证 与数值相关的如圆幂定理 正弦定理 余弦定理等 与定点 定值相关的如三 角形三中线交于一点等 I4 1 6 4I y 10煮 00 m 1010 0 0 0 0 六足 兰兰叫 一 l O D 工 l 测g 直线的斜率 线段 一o9 1 0 3 I 1 乡A 测量直线的斜率 线段 测昌直线的斜率 线段 0 6 5 3 8 图3 3 3 模拟实验 有些实验人不方便亲自去做 或者是有了改 进的新手段 没有必要再按原来的死办法去操作 于是就有了模拟实验 模拟实验作为信息技术和 学科实验教学整合的产物 是为了弥补常规实验 的不足 在1 7 7 7 年出版的 或然性算术实验 一书中 法国数学家蒲丰最早设计了这一投针实验 并给 r 出了针与平行线相交的概率为P I 一 从而发现 7 可以用概率的方法计算出兀的近似值 在当今的 实验教学中 如果还采用此方法的话 大量时间花 在了单调 重复的投针活动及相关数据的计算中 这是毫无意义的 但若借助于超级画板 图4 就能使原本费时费力的实验过程变得轻而易举 与其它动态几何软件相比 超级画板提供了更多 的数学函数 譬如其中的随机函数就使得此处的 随机动画变成可能 统计表格功能更是为模拟概 蒲丰投针实验 f 一 椭近似值丁2 a n 31 4 1 6 7l 4 一 一 j 图4 下转5 0 页 万方数据 5 0 数学通报 2 0 0 8 年 第4 7 卷第6 期 m 一弛 二 z 等 一 z 笔 x x 2 卜盖 z 1 一z 2 X l X 2 a z 由O x 1 z 2 得 z 1 一z 2 0 1 当z 1 z 2 0 口 时 z l z 2 一n 2 o 即f x f x 2 故函数 驯 x a 一2 在N I B 1 o 口 上为减函数 2 当z l z 2 口 时 z 2 2 2 一口2 0 所 以f x 一f x z O 即f z z z 故函数 2 别 x a 一 在I X I E 口 o 上为增函数 2 综上 函数 z z 在区间 o 口 与 一 a 0 上为减函数 在区间 口 o o 与 一 一口 上为增函数 上接4 6 页 率统计方面的实验提供了方便 借助概率方法计 算耳 学生从中深切体会到了数学方法的神奇与 美妙 实践表明 以超级画板为平台的模拟实验 在培养学生的自主 合作 探究及创新能力等方面 起到了很好的效果 3 4 探索实验 探索性实验的特点是学生在不知道结论的情 况下 以教师所给的一系列启发学生动手 动脑的 问题为指导 进行实验并探索结论 探索性实验不 仅是停留在使学生获得实验的基本操作技能上 更为重要的是学生通过实验得到了科学的思维 方法与技能的培养 在这一点上 传统教学是非常 欠缺的 譬如初中教科书上有这么一个经典例题 探索等腰三角形底边上一点到两腰距离的规 律 而很多老师都是直接告诉学生结论 而不是 提出问题 鼓励学生去探索 我们完全可以让学生 利用超级画板自己来探索此题 作好等腰 A B C 和底边上点向两腰的垂线 并测量垂线段 图5 拖动点D 使之在线段B C 之间时 会发现线段 D E 和线段D F 总是一增一减 那么学生很容易 就会想到 一增一减会不会刚好抵消 总和不变 呢 拖动点D 使之在线段B C 延长线上时 会发 现线段D E 和线段D F 总是同增同减 再联想刚 才是线段和不变 现在会不会是线段差不变呢 学生就这样通过自己的探索 发现了结论 创新意 识得到了激发 动手能力也得到了增强 以前有些 人不大理解为什么超级画板将线段上的点设计成 可以拖出去 其实这就如同解方程 先把z 的取 值范围扩大一些 这样做可能会出现一些意想不 到的结果 譬如产生增根 但假如一开始就把z 的 取值范围控制在某一范围之内 那就有产生丢根 的可能 超级画板这种开放性 为的就是给学生提 供更为广阔的探索空间 图5 参考文献 1 王向东 戎海武 文翰 数学实验E M 北京 高等教育出版杜 2 0 0 4 李传中 张景中 智能知识平台的构想及其实现 世界科技研 究与发展 J 2 0 0 1 年 V 0 1 2 3 张景中 数学机械化与教育技术 信息技术教育 J 2 0 0 3 3 李传中 左传波 超级画板范例教程 M 北京 科学出版社 2 0 0 4 张景中 超级画板自由行 M 北京 科学出版社 2 0 0 6 张景中 超级画板的初步认识和体验 数学通讯 J 巳录用 曹一鸣 数学实验