对巧算钢管根数的真正理解.doc

明白了才算学会了探究“钢管堆放与梯形面积公式”的原理无锡市港下实验小学 陈红霞在五年级数学课本中，学习完梯形的面积后，教材在整理与复习的探索与实践中安排了这样一题：“小明参观钢铁厂时看到许多钢管堆成如右图的形状。最上层有9根，最下层有16根，有8层。可以用什么方法算出这堆钢管一共有多少根？它和梯形面积的计算方法有联系吗？”计算钢管根数的本质是求一个等差数列的和，而不是计算这个钢管堆的横截面面积。教学中，学生通过观察直观示意图，当学生明确了这堆钢管排列的规律后，我让学生尝试用不同方法计算后，组织交流时，我发现，大部分学生只是把每层的根数相加，即：9+10+11+12+13+14+15+16=100（根）。在讨论“它和梯形面积的计算方法有联系吗”这个问题时，全班鸦雀无声。学生冥思苦想，也得不出答案。怎么回事呢？是啊，钢管的根数怎么会和梯形的面积计算有联系呢？小孩子根本不可能把这两个毫不相干的知识联系起来的。我进一步让学生借助想象，帮助学生体会求和方法的思考过程与梯形面积计算公式的推导过程之间存在的相似性。这时有几个学生很快地就回答出计算方法：(916)82=100(根)。老师接着问：“你是怎么想的?”学生毫不犹豫地说：“因为钢管堆成的横截面近似梯形，所以可以直接用梯形的面积公式计算。”（老师觉得这本来就是一道不太难解决的习题，尤其是有后面括号里的提示，学生是很容易想到的。有一位学生提出，反对意见：“老师，我不同意，用面积公式算出的是面积大小，怎么会是钢管的根数呢?这题得数虽然对了，但可能是巧合。”想到“穷举法”，列举了许多例子，都证明了这种方法是可以的；此时，老师感到同学们再也没有疑义了。指着图二阐述道：“这堆钢管堆成的横截面近似三角形，如果用三角形的面积计算，应该是662=18(根)，但是，实际是21根。所以，我还是不同意用面积公式直接计算钢管的根数。”是啊，相差的3根钢管哪儿去了?陈老师一下子兴奋起来，为出现的奇怪现象而兴奋，也为有这样追根究底的学生而兴奋!同时，也渐渐感受到这一“探索与实践题”的教学意义。就“计算钢管根数的方法和面积计算方法之间的联系”这一问题，和学生们一起展开了一场“追根究底问面积”的探索与实践活动。通过师生的共同努力，终于柳暗花明。如果用求面积的方法算，就必须找到面积与钢管数量(根数)的关系。什么是平面图形的面积?应该是含单位面积的多少。如果每根钢管的横截面面积为一个“单位面积”，那么，钢管堆成的横截面有多少个单位面积，钢管就有多少根。这就是这两种数量的相等关系!我们可以用“化圆为方”的方法，将图一转化为图三：每个正方形的面积=每个圆的面积=一个单位面积。我们用割补法将横截面转化力规则的梯形，这个梯形的上底为2个单位长度，下底为6个单位长度，高为5个单位长度。自然，梯形的面积=(26)52=20(单位面积)，即这堆钢管共有20根。而图二用“化圆为方，的方法，它的横截面就不是近似的三角形，而是近似的梯形，如图四。计算根数的方法不是三角形的662=18（根），而是梯形的（16）62=21（根）。因此丢了的3根，不是不能用面积公式计算，而是用错了公式。想法一：如果有两堆这样的钢管，像两个完全一样的梯形把他们拼起来就成了平行四边形，请你想象一下合在一起后，每层有几根？有几层？总根数可以怎样简便地计算出来？进而使学生领悟出可以用“（最上层根数+最下层根数）层数2”来计算。想法二：我想到了在多边形面积计算这单元中，学生已经练习过很多有方格图中的题，有根据方格图中的图形计算面积的，有根据方格图中的图形画出和它面积相等的图形的，方格图在学生的头脑中已经很清晰了，于是我就这样告诉学生：我们可以把一根钢管所占的位置看成是一个方格，现在在你的头脑中有一个怎样的图形了？学生一下子就得到了一个上底9个方格，下底16个方格，高8个方格的梯形。钢管的总根数就是方格的总个数，算方格的总个数就是算梯形的面积，即（9+16）82=100。此时，学生很自然地把这一方法与梯形面积公式的推导过程联系起来，讨论教材中提出的问题也就水到渠成了。其算理如同梯形面积的推导过程。两堆一样的钢管，一堆颠倒后拼在一起，这样每排根数就一样多，即上排根数下排根数。其余就不用再说了吧一堆叠放成梯形的木头共有几根？”用计算梯形面积公式算的。但是怎样通过数学的方法来证明这个公式的正确性呢？即通