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问题意识 数学课堂有效教学的关键 燕学敏 中央教育科学研究所 100088 经过沸沸扬扬的数学课程改革 数学课堂中 填鸭式 教学方式有所改观 教师与学生的角色 也发生了变化 教师从单纯的知识传授者转变为 学生学习的促进者 课程的开发者和研究者 学生 也从学习上的接受者转化为教学活动的参与者 问题的研究者和学习者 就这些角色的转变而言 任何一种角色都要求师生具备较高的问题素养 但在多次听课活动中我们发现 教师最为缺乏的 是生成问题的能力 因此在数学课堂上就出现了 很多假性问题 即教师没有经过认真仔细的思考 而张口就问的不是问题的问题 而造成这些假性 问题的成长的原因乃是教师问题意识的缺失 许 多教师成了没有问题 不会提深刻问题的教书匠 试想 面对教师提出的不假思索就能回答的问题 的课堂 是真正在有效地进行教学吗 1 从数学学科发展和数学教育的角度剖析问题 意识的重要性 在数学思想方法发展过程中 数学家们发明 了许多重要的定理 性质甚或一门新的数学分支 尽管数学家所用的方法千变万化 思考方式与思 维过程也不尽相同 但他们拥有一个共同的特点 是他们的问题意识非常强烈 目标非常明确 他们 根据时代发展的需要 用他们的智慧 解决当时困 扰整个数学界的疑难问题 比如 最初在物理学 中 用既有方向又有大小的线段表示力的方向和 大小是一种无意识的行为 但是 却引起了后人的 不断质疑 为什么用有方向和大小的线段也可以 计算 于是激起更深一层的思考 认为既然欧氏 几何能够用点 线 面来表示各种几何体 为什么 不可以用带有方向和大小的线段表示一些量呢 于是数学家格拉斯曼及其父亲发明了数学中的向 量 而概率的发明则与当时的赌博相关 数学家兼 赌徒身份的梅耶向赫赫有名的大数学家帕斯卡提 问 如果赌博中途停止 该如何分配赌资 带着这 个问题 数学家帕斯卡与费马展开了激烈的讨论 和深入的探究 这个问题同时也吸引了数学家惠 更斯 伯努利的注意 并在此基础上 发展和壮大 了概率的理论基础 而微积分的发明更是与问题 的解决密切相关 为了解决当时困扰数学家们的 四个主要的实际问题 几代数学家前仆后继 不辞 辛劳地进行研究 并最终由牛顿和莱布尼茨博采 众长 广纳意见 提出具有划时代意义的微积分思 想 数学发展史中对欧几里得第五公设的质疑 引 发了几何学的革命 三大几何作图不能问题的提 出 导致了二千年后超越数的发现 扩张域的出 现 以此为契机 发现了许多数学的新成果 有人 戏称 三大几何作图不能问题 是数学中又一只会 下金蛋的鹅 哥尼斯堡七桥问题 引致拓扑学的发 明 四色定理的发现 费马问题的解决 四元数的 出现 都清楚地表明了提出数学问题的巨大价值 即解决数学问题的重要作用 正是由于 1900 年的 国际数学家大会上 希尔伯特根据 19 世纪数学研 究的成果和发展趋势提出了 23个数学问题 这些 问题涉及现代数学的许多重要领域 激发了数学 家们浓厚的研究兴趣 大大地推动了数理逻辑 几 何基础 李群论 数学物理方程 概率论 数论 函 数论 代数几何 常微分方程 偏微分方程 黎曼曲 面论 变分法等一系列数学分支的发展 因此从数 学的历史发展中 可以看出问题意识的重要 中国古代的大教育家孔子要求自己的学生多 闻阔疑 不耻下问 认为 疑是思之始 学之端 宋 代学者朱熹说 读书无疑 须教有疑 小疑则小 进 大疑则大进 疑者 觉悟之机也 一番觉悟 一 番长进 近代教育家陶行知颇风趣 生动地说 发明千千万 起点是一问 禽兽不如人 过在不会 问 智者问得巧 愚者问得笨 人工胜天工 只在每 事问 国外诸多学者也极力倡导培养人的问题意 20数学通报 2010 年 第 49 卷 第 3 期 识 亚里士多德说 思维是从疑问和惊奇开始 的 苏格拉底则说 问题是接生婆 它能帮助新 思维诞生 爱因斯坦也强调 发现问题和系统 阐述问题可能要比得到解答更为重要 解答可能 仅仅是数学或实验技能问题 而提出新问题 新的 可能性 从新的角度去考虑问题 则要求创造性的 想象 而且标志着科学的真正进步 著名的数学 教育家波利亚也十分重视对数学问题解决的研 究 并对如何实施数学问题解决及其教学做出了 巨大的贡献 美国在 20世纪 80 年代 就明确规定 了数学问题解决为学校数学教学的中心 我国在 近几年的课程改革中 也一改过去的 去问题教 学 大力提倡在学科教学中 让学生带着问题 走进教室 带着更多的问题走出教室 积极开展培 养学生的问题意识 提高学生提出问题的能力和 解决问题的能力 把提出数学问题和解决数学问 题的学习活动融为一体 展示数学发生 发展与创 造的新局面 2 在数学课堂教学中 重视培养学生的问题意识 浩瀚无垠的宇宙 扑朔迷离的社会 带给人们 无穷无尽的疑 疑 是人类打开宇宙大门的金钥 匙 这些 疑 的不断产生和破解 推动人类社会阔 步前进 同样 在数学教学中 如何设置疑问 如何 激起疑问 是教师的教学艺术所在 学生在学习某 一新的理论知识时 由于旧有的知识和认知结构 的存在 对相应的理论知识会进行不完整的简单 推理和外延 从而得出与所学理论知识相悖的错 误结论 于是便产生了旧有知识和认知结构与新 知识之间的矛盾 在这种矛盾面前 学生既有解决 矛盾的冲动 又存在着准确全面地解释这种矛盾 的困难 这时 教师可以将此问题的矛盾激化 让 学生通过查阅资料 互相交流 小组合作等方式进 一步进行探讨和研究 以证实或证伪自己的观点 比如 在高中极限知识的学习中 初学者对极限的 语言理解很吃力 不明白为什么要用这样的 语言和形式 平地起高楼 显得很突兀 学生别无 他法 只能强行记忆 机械的模仿和训练 却不会 应用 但是如果教师从中国刘徽的 圆的分割 讲 起 就能够激起学生的兴趣 同时也能够引起他们 积极的思考 于是激起他们的认知冲突 产生浓厚 的兴趣去弄明白 为什么 从而理解 极限 概念 的真正内涵 利用学生的已有知识和未有知识之间的认知 空白来设疑 在符合 最近发展区 理论的前提下 教师完全可以根据学生掌握的知识设置一个高于 目前认知能力的问题 制造学生的认知冲突 使之 处于一种 心理失衡 的状态 从而促使学生为了 达到新的 知识结构平衡 不得不去寻找新的理 论和知识点 以弥补这种不稳定的状态 因此 要 唤起学生的问题意识 培养问题能力 教师自己也 要有强烈的问题意识和较高的问题能力 这就需 要教师熟悉教学内容 熟悉数学内容所隐含的数 学思想方法以及这种思想方法的来龙去脉 只有 熟悉它最初产生的矛盾在哪里 才能真正地在现 实世界中或在虚拟的背景中创设问题情境 引发 学生深入思考 比如在学习导数时 学生对于导数 概念是模糊的 但如果在教学中 将导数概念的引 入回放到历史环境中 利用历史上的 原初问题 来引发学生的认知冲突 使他们不自觉地便进入 了探究过程 正如牛顿所做的那样 理解导数本质 的最好方法是考虑速度 因为 学生已经从物理学 得知自由落体是匀加速直线运动 其位移是 s t 1 2 gt 2 瞬时速度为v t gt 那么物体下落2 秒时的瞬时速度为 2g 换个角度从平均速度进行 逼近也可获得此结论 教师让学生观察不同时间 间隔上的 平均速 度 1 2 上的平 均速 度是 2 2 1 2 2 2 1 g 3 2 g 依此类推 3 2 2上的平均 速度是 7 4 g 5 2 2上的 平均 速度 是 11 6 g 7 2 2上的速度是 15 8 g 2 1 n 2上的平 均速度是 2 1 2n g 显然 当时间间隔越来越小 时 平均速度也就越来越接近 2 秒时的瞬时速 度 2g 但是 一般的非匀速运动是不会这么 有规律的 那么它的瞬时速度怎么求出呢 教师 给出学生一个具体的问题情境 一学生百米撞线 时的速度是多少 学生 1 不知道加速度 学生 2 问 是匀加速吗 大家议论的结果 不是 匀加速 在教师的启发鼓励下 学生 3 试探着说 212010 年 第 49 卷 第 3 期 数学通报 去问题教学 学生没有带着问题走进教室 也没有带着 问题走出教室 用第 10 秒的平均速度近似代替 教师认为可以 考虑 并问 怎样更精确呢 数个学生举手 其中 学生 4 答 取的时间间隔越小越精确 至此 教 师将事先具体测得的一系列相关数据提供给学 生 学生经过讨论便得出了这个学生撞线时的瞬 时速度 认同了瞬时速度的具体存在 接下来 教 师又将这一认知过程迁移到平均变化率 再到变 化率 认识导数也就水到渠成了 1 在此教学中 不系统讲授数列的极限 函数的 极限与连续 学生同样也能建立导数的概念 而且 是在相对积极的探究过程中建立起来的导数概 念 是在解决认知冲突的矛盾中逐渐形成的概念 一方面 瞬时速度是一个变量 而且每时每刻都在 变 不能像计算平均速度那样直接用运动时间去 除位移 因为在给定的瞬时移动的距离和所用的 时间都是 0 而 0 0 是无意义的 另一方面 每一个 学生都承认瞬时速度的客观存在 从而在学生最 近发展区内产生认知冲突 普通高中数学课程标 准 的例题 2 选择了运动员在 10 米高的跳台跳水 时 从他开始起跳到落水的这一过程 计算在 2 秒 时运动员的瞬时速度为多少 标准 分别计算了 2 2 01 2 2 001 的平均速度 也计算出了 1 99 2 1 999 2 的平均速度 通过时间的 微小变化 速度也在变化 学生可以观察一系列平 均速度的逼近变化 形成思维嬗变 升华出瞬时速 度的概念 理解变化率思想 可以说 学生在最近 发展区内通过已有的知识框架建构出了新的知 识 导数概念 事实上 这也正是当初微积分产 生时的朴素思想和基本过程 3 将历史上的 原初问题 转化为课堂教学中的 本原性问题 提升问题意识和生成问题能力 在这个过程中 要求教师有意识地 并且也能 够胜任地将历史上的 原初问题 转化为课堂教学 中的 本原性问题 这个过程对教师要求很高 教 师既需要深厚的学科背景知识 扎实的学科基础 知识 同时也要求有高超的问题转化能力和较强 的将历史与现实互相联系的能力 在课堂教学的 问题预设中 教师根据历史事实 结合当今的社会 发展 提出具有厚重感的课前预设问题 并在课堂 当中予以提升和生成涉及数学本质的问题 也即 是思想性的问题 但是在调查中发现 2 我们的教 师最为缺乏的是生成问题的能力的重建 其个人 隐性经验并没有得到扩充与更新 比如 算法教 学 首先教师要对算法这个概念掌握得比较透彻 狭义与广义的定义有什么不同 解法与算法又有 什么不同 在算法教学中上好算法的起始课很重 要 也就是在学生第一次接触算法这个概念时 教 师的问题设置 情境的引入都要恰到好处 让学生 在无意中真正感受到算法的作用 体验算法价值 经历算法的设计过程 以此培养学生逻辑思维能 力 有的教师在引入算法概念时 将农夫 山羊 狼 蔬菜这一趣味问题作为算法开始课 似乎欠缺 周密的考虑 首先 教师给出的问题解法并不具有 普遍意义 也就是不能真正体现算法的数学特征 这个问题如果按严格意义上来说 它是一道智力 测验题 当然 它也含有算法的内涵 但是将它放 在算法的起始课上作为算法的入门课 会给学生 一种误导 误解算法就是这样的形式 其次 这道 智力测验题的解题步骤与算法的定义是背离的 更精确一点说是偏离了算法的准确定义 算法的 狭义定义 算法通常是指按照一定规则解决某 一类问题的明确和有限的步骤 现在 算法通常可 以编成计算机程序 让计算机执行并解决问题 而 广义的定义 算法是一种规则系统 一种循序 渐进解决问题的过程 尤指一种为了在有限步骤 内解决问题而建立的可重复应用的计算过程 在 这两种定义之中 算法的本质应该是机械化的 可 循环的 有限的程序语言 而农夫山羊狼蔬菜问题 的解决不符合上述的本质特点 第一步 农夫带羊 过河 第二步 农夫独自回来 第三步 农夫带狼过 河 第四步 农夫带羊回来 第五步 农夫带蔬菜过 河 第六步 农夫独自回来 第七步 农夫带羊过 河 3 在这些步骤中 有两个基本的假设 羊不能 与蔬菜在一起 狼不能与羊在一起 这种解决方案 不含有循环与机械的成份 与算法的定义相偏离 第三 课程背景的设置脱离实际 尽管比较生动有 趣 但是与实际生活 历史背景脱离得较远 所以 不具有典型性 如果教师在引入概念的时候 参考 历史上算法的最初起源 算法的发展过程等方面 的资料 那么完全可以设计另一堂更有思想内涵 的算法课 比如 学生在小学就学习的四则混合运 算所遵循的先乘除 后加减的规则 括号的处理规 则等 都是学生最初接触到的算法实例 初中学习 22数学通报 2010 年 第 49 卷 第 3 期 的方程组的解法等 也是算法的典型体现 高中学 习的必修 1 中求函数零点的二分法的解题步骤 必修 5 中线性规划的解题规律等 更成了算法的 经典问题 还有数列的求和 质数的判定 最大公 约数与最小公倍数的求法等 都涉及到算法 这些 都应该是在新学算法课程时首先应该予以介绍 的 是算法课程中的背景 在具体介绍算法时 也可以用另一种方式引 起学生的认知冲突 比如 九章算术 中 方田 章 的 约分术 有 今有十八分之十二 问约之得几 何 答曰 三分之二 约分术曰 可半者半之 不可半者 副置分母 子之数 以少减多 更相减损 求其等也 以等数约 之 在约分术中 包含了典型的算法程序语言 第一步 可半者半之 即进行观察 若分子 分母都是偶数 可先取其半 第二步 不可半者 副置分母 子之数 以少 减多 更相减损 求其等也 第三步 以等数约之 其中第二步 以少减多 更相减损 是约分之 关键 又是典型的机械化程序 若用现代语言翻译 其程序即为 设要约简的分数为 b a b a 则依 次从 a 中减去b 若减 q1次 q1 1 后得余数 r1 b r1 a bq1 则再从 b 中依次减去 r1 若减 q2 q2 1 次后余数 r2 r1 r2 b r1q2 则再从 r1中减去 r2 如此更相减损 步步重复按规则 机械化操作 直至 rn 1 rn 得到等数 即为 a b 的最大公约数 将此古代算题作为算法课的例题 还可提问 学生 如果这个计算步骤一直到很多位数都没有 相等 那么又该如何表示这个算法过程呢 如何 通过计算机来演算这个步骤呢 学生以前学习的 知识在此处遇到了断层 这时教师要适时进行点 拨和启发 引导学生去体会 感悟 从而唤醒思维 激发内驱力 使他们在情境中产生困惑 发现问 题 提出问题 并作进一步的探究以解决问题 算 法思想就会逐渐脱颖而出 参考文献 1 宋宝和 郭兆明 房元霞 变化率思想 高中开设微积分课程的 价值 课程