系统的状态空间法.ppt

绪论 一 现代控制理论的性质及发展 控制理论研究的问题 如何改进系统的动态性能 达到所需的性能指标 控制系统中两个重要的概念 1 反馈的概念2 最优控制的概念 控制理论发展的三个时期 1 经典控制理论时期 二十世纪30 50年代 研究对象主要是线性系统 以拉氏变换为数学工具 较好的解决了单输入单输出反馈控制问题 2 现代控制理论时期 二十世纪50 70年代 研究对象为多变量 非线性 时变 离散系统 以线性代数和微分方程为主要的数学工具 以状态空间法为基础 分析和设计控制系统 3 大系统理论和智能控制理论时期 二十世纪70年代至今 二 现代控制理论基础主要内容 1 线性系统理论 2 系统辨识 3 最优控制 4 最优估计 5 自适应控制 1 线性系统理论 建立系统的状态方程 系统的响应特性 系统的稳定性 能控性 能观测性 状态反馈 状态观测器 2 系统辨识 包括结构辨识和参数辨识 3 最优控制 通过观测一个系统的输入输出关系来确定其数学模型的方法 在已知系统状态方程 初始条件及某些约束条件下 寻找一个最优控制量 使系统的状态或输出在控制向量作用下 使某一指标达到最优值 4 最优估计 在通讯工程中 接受到的信号为 Y t S t t 有用信号 干扰躁声 5 自适应控制 自适应控制一般分为两类 模型参考自适应控制 自校正自适应控制 当控制对象的结构或参数随环境条件的变化而有大的变化时 为了保证控制系统在整个控制过程中都满足某一最优准则 则最优控制器的参数就要随之加以调节 这类控制为自适应控制 四 本课程主要内容 1 状态空间法 2 动态分析 3 能控性与能观测性 三 控制理论的应用 航天与航空 电机械 化工 冶金 交通 医疗 4 结构分解与实现 5 稳定性分析 6 状态反馈 7 最优控制 8 最小值原理 五 参考书 1 现代控制理论基础 机械工业出版社常春馨编 2 现代控制理论基础 北京工业大学出版社谢克明编 3 现代控制理论 机械工业出版社刘豹编 4 现代控制理论基础 电子工业出版社尤昌德编 第1章控制系统的状态空间表达式 1 1概述 1 2控制系统的状态空间表达式 1 3状态空间表达式的建立 1 4状态方程的线性变换 1 5系统的传递函数阵 1 6离散系统的状态空间表达式 1 7时变系统和非线性系统的状态空间表达式 1 1概述 古典控制理论是基于传递函数来分析与设计系统 现代控制理论是建立在状态空间法基础上 1 2控制系统的状态空间表达式 1 2 1基本概念 1 系统的状态 系统运动信息的集合 表示系统过去 现在 将来的运动状况 2 系统的状态变量 唯一确定系统状态的一组独立变量 能够完全描述系统时域行为的最小变量组 状态变量的选取不唯一 1 2 1基本概念 3 状态矢量 以n个状态变量为分量 构成一个n维矢量 4 状态空间 以n个状态变量为坐标轴所构成的空间 称为n维状态空间 5 状态方程 状态变量的一阶导数与输入变量及状态变量的关系式 一阶微分方程 6 输出方程 输出变量与输入变量及状态变量的关系式 1 2 1基本概念 代数方程 7 状态空间表达式 状态方程和输出方程 1 2 2控制系统状态空间表达式 例 某机械运动系统的物理模型 它是一个弹簧 质量 阻尼系统 试建立输入的外力u t 输出为位移y t 的状态空间表达式 y1 f1 x1x2u1u2 K 弹性系数 f 阻尼系数 1 2 2控制系统状态空间表达式 解 系统的运动方程 系统的状态变量 x1 y u y 系统的状态方程 系统的输出方程 y x1 1 2 2控制系统状态空间表达式 u y 矩阵形式 y x1 简写为 1 2 2控制系统状态空间表达式 多输入多输出线性定常系统 1 2 2控制系统状态空间表达式 1 2 3控制系统状态空间的一般表达式 1 2 4线性系统状态空间表达式的模拟结构图和信号流图 B D C A U t Y t DU AX CX 比例器 加法器 积分器 1 结构图 BU X 1 2 4线性系统状态空间表达式的模拟结构图和信号流图 例 线性系统的状态空间表达式为 解 这是一个三阶系统 需3个积分器 例 线性系统的状态方程为 解 这是一个三阶系统 需3个积分器 x1 2 信号流图 将上例中的结构图用信号流图表示 2 信号流图 将上例中的结构图用信号流图表示 1 3状态空间表达式的建立 1 3 1由系统方框图建立状态空间表达式 例 试建立系统的状态空间表达式 解 将惯性环节变为积分环节 1 3 1由系统方框图建立状态空间表达式 解 将惯性环节变为积分环节 1 3 1由系统方框图建立状态空间表达式 1 3 1由系统方框图建立状态空间表达式 y x1 1 3 1由系统方框图建立状态空间表达式 例 含有零点 1 3 2由系统的工作机理建立状态空间表达式 例 由RLC组成的系统如图 u为输入变量 y为输出变量 试建立它的状态空间表达式 解 u uR uL uC 1 3 2由系统的工作机理建立状态空间表达式 例 试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表达式 设转动惯量为J B K T B 粘性阻尼系数 K 扭转轴的刚性系数 T 施加于扭转轴上的力矩 转动的角度 解 设扭转轴的转动角度 及其角速度 为状态变量 u T 根据牛顿定律 1 3 2由系统的工作机理建立状态空间表达式 例 试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表达式 设转动惯量为J B K T B 粘性阻尼系数 K 扭转轴的刚性系数 T 施加于扭转轴上的力矩 转动的角度 解 设扭转轴的转动角度 及其角速度 为状态变量 1 3 3由系统的微分方程建立状态空间表达式 1 输入函数不包含导数项时 设系统的微分方程 变换为 令 x1 y xn 1 y n 2 xn y n 1 系统状态方程 1 3 3由系统的微分方程建立状态空间表达式 1 输入函数不包含导数项时 系统状态方程 y x1 y x1 1 3 3由系统的微分方程建立状态空间表达式 2 输入函数包含导数项时 设系统的微分方程 状态空间表达式 选择待定系数c1 c2 c3使状态方程中不含导数项 2 输入函数包含导数项时 将上式展开 求c1 c2 c3 2 输入函数包含导数项时 令 y x1 c0u 1 a1 3 a2 2 a3 1 4 即 2 输入函数包含导数项时 比较系数得 c0 b0 c1 b1 a1c0 c2 b2 a1c1 a2c0 c3 b3 a1c2 a2c1 a3c0 对于n阶系统 cn bn a1cn 1 a2cn 2 aicn i anc0 2 输入函数包含导数项时 求系统的状态变量 y x1 c0u 1 x1 y c0u 1 因为 所以 状态变量是由y u及它的各价导数组成 解 c0 0 b0 0 c1 b1 a1c0 1 4 0 1 c2 b2 a1c1 a2c0 1 4 1 3 c3 b3 a1c2 a2c1 a3c0 3 4 3 2 1 13 y x1 作业 1 1试求系统的模拟结构图 并建立状态空间表达式 u y 1T2S 1 1 2将y 2y 4y 6y 2u变换为状态空间表达式 1 3将 变换为状态空间表达式 1 3试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表达式 设转动惯量为J B K T B 粘性阻尼系数 K 扭转轴的刚性系数 T 施加于扭转轴上的力矩 转动的角度 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 已知系统的传递函数 G S d 化为真分式 输出与输入之间的直接传递关系 首先讨论G S 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 G S 1 G S 特征方程的n个极点互异 用部分分式法 S1 S2 Sn 特征方程的极点 k1 k2 kn 待定系数 因为ki 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 设第i个状态变量的拉氏变换为 S Si xi S U S Sxi S Sixi S U S 由拉氏反变换得状态方程 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 求输出方程 k1x1 S k2x2 S knxn S y t k1x1 t k2x2 t knxn t y t k1x1 t k2x2 t knxn t du 计入d的影响 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 矩阵形式 y t k1x1 t k2x2 t knxn t du 对角线标准形 du 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 信号流图 y t k1x1 t k2x2 t knxn t du u 1 1 1 1 1 1 y d 例 已知系统传递函数为 G S 试用部分分式法写出状态空间表达式 解 由S3 7S2 14S 8 0 求得 S1 1 S2 2 S3 4 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 2 G S 特征方程有相重极点 设系统有5个特征根 S1 S1 S1 S4 S5 重极点系数 单极点系数 m 重极点的个数 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 2 G S 特征方程有相重极点 设状态变量的拉氏变换为 则 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 2 G S 特征方程有相重极点 整理后得 Sx1 S S1x1 S x2 S Sx2 S S1x2 S x3 S Sx3 S S1x3 S U S Sx4 S S4x4 S U S Sx5 S S5x5 S U S 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 2 G S 特征方程有相重极点 取拉氏反变换 得系统状态方程 Sx1 S S1x1 S x2 S Sx2 S S1x2 S x3 S Sx3 S S1x3 S U S Sx4 S S4x4 S U S Sx5 S S5x5 S U S 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 2 G S 特征方程有相重极点 系统状态方程 约当标准形 2 G S 特征方程有相重极点 k11x1 S k12x2 S k13x3 S k4x4 S k5x5 S 求输出方程 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 2 G S 特征方程有相重极点 Y S k11x1 S k12x2 S k13x3 S k4x4 S k5x5 S y t k11x1 t k12x2 t k13x3 t k4x4 t k5x5 t 系统输出方程 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 y t k11x1 t k12x2 t k13x2 t k4x4 t k5x5 t 信号流图 例 已知系统传递函数为 G S 试用部分分式法写出状态空间表达式 解 由S3 7S2 16S 12 0 求得 S1 2 S2 2 S3 3 S 2 2 S 3 0 S 2 信号流图或结构图 作业 1 4已知系统传递函数为 试用部分分式法写出状态空间表达式 画出系统的模拟结构图或信号流图 1 3 1由系统方框图建立状态空间表达式 1 3 2由系统的工作机理建立状态空间表达式 1 3 3由系统的微分方程建立状态空间表达式 1 3 4由系统传递函数建立状态空间表达式 1 4状态方程的线性变换 特征矢量线性变换法 把状态方程化为对角线标准形或约当标准形 1 4 1系统状态的线性变换 设 X x1x2x3 xn T 它们之间的线性变换 P n n非奇异变换阵 1 4 1系统状态的线性变换 1 4 2系统的特征值 1 特征值及特征矢量 AP P A的特征值 P AP 0 I A P 0 有非零解的必要条件 I A 0 A的特征方程 1 4 2系统的特征值 I A n a1 n 1 an 1 an 求得A的特征值 1 2 n Api ipi 对应于 i的一个特征矢量 由全部 所对应的特征矢量 P p1p2 pi pn 线性变换阵 2 特征值不变性 特征多项式 经线性变换后 其特征值不变 I A 2 特征值不变性 对于 对于 1 4 3化状态方程为对角线标准形 设 若A的特征值 1 2 n互异 则必存在非奇异变换阵P 使其进行X PX的变换后 其 状态方程 将为对角线标准形 即 且 P p1p2 pi pn A的特征值 1 2 n 特征矢量 p1p2 pi pn 证明 证明 若Pi是对应于 i的一个特征矢量 则必满足 iI A pi 0 Ap2 2p2 Api ipi Ap1 1p1 证明 Ap2 2p2 Api ipi Ap1 1p1 Api ipi Apn npn 写成矩阵形式 Ap1Ap2 Api Apn 1p1 2p2 ipi npn A p1p2 pi pn 1p1 2p2 ipi npn AP p1p2 pi pn 1 4 3化状态方程为对角线标准形 证毕 例 试将状态方程 变换为对角线标准形 解 1 求系统特征值 I A I A 3 6 2 11 6 0 1 2 3 0 2 求特征矢量 对应于 1 1的特征矢量为p1 Ap1 1p1 可以看出 p21 0 p11 p31 令p11 1p31 1 求得 1 1 2 2 3 3 同理 将 2 2 3 3分别代入 Ap2 2p2 Ap3 3p3 求得 变换阵P p1p2p3 1 4 4化状态方程为约当标准形 当A有相重特征值时 1 A的线性独立特征矢量数等于它的阶数n 这时A仍可以化为对角线标准形 2 A的线性独立特征矢量数小于它的阶数n 这时A不能化为对角线标准形 只能化为约当标准形 1 4 4化状态方程为约当标准形 例 A 对应特征值 1 1 2 1 3 2 对应于 1 1的特征矢量为p1 显然 1I A 的秩是1 p1有两个独立的解 对应两个独立的特征矢量 即 1 4 4化状态方程为约当标准形 对应于 3 3的特征矢量为p3 1 4 4化状态方程为约当标准形 若 A 对应特征值 1 1 2 1 3 2 但rank 1I A 2 独立的特征矢量只有一个 约当标准形 1 4 4化状态方程为约当标准形 设A是5 5的方阵 其特征值为 1 1 1 4和 5 存在一个变换阵Q 使得 J Q 1AQ A的约当标准形J由三个约当块组成 若 1只有一个独立的特征矢量 则 J Q 1AQ 1 4 4化状态方程为约当标准形 J Q 1AQ 若 1有两个独立的特征矢量 则 若 1有三个独立的特征矢量 则 J Q 1AQ 1 4 4化状态方程为约当标准形 设 1有一个独立的特征矢量 求Q J Q 1AQ QJ AQ 令 Q1Q2Q3Q4Q5 Q1Q2Q3Q4Q5 A Q1Q2Q3Q4Q5 1 4 4化状态方程为约当标准形 Q1Q2Q3Q4Q5 A Q1Q2Q3Q4Q5 将上式展开得 1Q1 AQ1 Q1 1Q2 AQ2 Q2 1Q3 AQ3 5Q5 AQ5 4Q4 AQ4 1I A Q1 0 1I A Q2 Q1 1I A Q3 Q2 4I A Q4 0 5I A Q5 0 Q1 Q4 Q5为独立特征矢量 Q2 Q3为非独立特征矢量 1 4 4化状态方程为约当标准形 1I A Q1 0 1I A Q2 Q1 1I A Q3 Q2 4I A Q4 0 5I A Q5 0 解此方程组得变换阵Q 解 1 求系统特征值 I A 1 2 2 1 4 4化状态方程为约当标准形 I A 1 2 2 求得 1 1 2 1 3 2 将 1 1代入 1I A Q1 0中 rank 1I A 2 独立的特征矢量只有一个 任取q11 1 解得q21 3 7 q31 5 7 再将Q1代入 1I A Q2 Q1中 rank 2I A 2 独立的特征矢量只有一个 任取q12 1 解得q22 22 49 q32 46 49 再将Q1代入 1I A Q2 Q1中 要保证Q阵非奇异 将 3 2代入 3I A Q3 0中 rank 2I A 2 独立的特征矢量只有一个 令q13 2 则q23 1 q33 2 作业 1 5已知 试化为标准形并求其传递函数 1 5系统的传递函数阵 1 5 1传递函数阵的概念 当初始条件为零时 Y1 S G11 S U1 S G12 S U2 S Y2 S G21 S U1 S G22 S U2 S 双输入双输出 1 5 1传递函数阵的概念 Y1 S G11 S U1 S G12 S U2 S Y2 S G21 S U1 S G22 S U2 S 简记为 Y S G S U S n个输入n个输出 分离式控制 1 5 2闭环系统的传递函数阵 Y S G0 S E S G0 S U S F S G0 S H S E S F S U S Y S G0 S U S H S Y S I G0 S H S Y S G0 S U S Y S I G0 S H S 1G0 S U S 闭环传递函数阵 G S I G0 S H S 1G0 S 1 5 3由状态空间表达式求传递函数阵 X n维 Y m维 U r维 对上式取拉氏变换 SX S X 0 AX S BU S X 0 0 Y S CX S DU S SX S AX S BU S X S SI A 1BU S Y S C SI A 1B D U S 传递函数阵 G S C SI A 1B D 例 已知系统的状态空间表达式为 x1 x2 u1 x2 x3 2u1 u2 x3 6x1 11x2 6x3 2u2 y1 x1 x2 y2 2x1 x2 x3试求其传递函数阵 解 G S C SI A 1B D 1 5 4传递函数阵的不变性 对状态方程进行线性变换后 其对应的传递函数阵不变 证明 G S 原系统的传递函数阵 G S C SI A 1B D 设P是非奇异变换阵 由于 CP SP 1P P 1AP 1P 1B D CP P 1 SI A P 1P 1B D CPP 1 SI A 1PP 1B D C SI A 1B D 1 5 5组合系统的状态空间表达式与传递函数阵 1 子系统的并联联结 设子系统S1 S2分别为n1 n2维 其组合系统的示意图 Y t 组合系统 Y Y1 Y2 C1X1 D1U C2X2 D2U 传递函数阵 G1 S C1 SI A1 1B1 D1 G2 S C2 SI A2 1B2 D2 G S C SI A 1B D 1 子系统