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文档简介
五年高考真题分类汇编:不等式、推理与证明一. 填空题1.(2013福建高考理)当xR,|x|1时,有如下表达式:1xx2xn.两边同时积分得:01dx0xdx0x2dx0xndx0dx,从而得到如下等式:123n1ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:CC2C3Cn1_.【解析】本题考查定积分、二项式定理、类比推理等基础知识,意在考查考生的转化和归能力、类比推理能力和运算求解能力法一:设f(x)CxCx2Cx3Cxn1,所以f(x)CCxCx2Cxn(1x)n,所以f0f(x)dx0(1x)ndx(1x)n10n1(10)n1.法二:CC2C3Cn11n23n1(n1)23n1.【答案】2.(2013浙江高考理)设zkxy,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k_.【解析】本题考查用平面区域表示二元一次不等式组、直线方程中参数的几何意义以及分析问题、解决问题的能力画出可行域,根据线性规划知识,目标函数取最大值12时,最优解一定为(4,4),这时124k4,k2.【答案】23(2013陕西高考理)若点(x,y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域,则2xy的最小值为_【解析】本题考查分段函数的图象和线性规划的应用,考查考生的数形结合能力由题意知y作出曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域,如图中阴影部分所示,即得过点A(1,2)时,2xy取最小值4.【答案】44.(2013陕西高考理)观察下列等式1211222312223261222324210照此规律,第n个等式可为_【解析】本题考查考生的观察、归纳、推理能力观察规律可知,第n个式子为12223242(1)n1n2(1)n1.【答案】12223242(1)n1n2(1)n15(2013广东高考理)不等式x2x20的解集为_【解析】本题考查一元二次不等式的解集,考查考生的运算能力及数形结合思想的领悟能力令f(x)x2x2(x2)(x1),画出函数图象可知,当2x1时,f(x)0,从而不等式x2x20的解集为x|2x1【答案】x|2x0,则当a_时,取得最小值. 【解析】本题考查基本不等式的应用,意在考查考生分析问题、解决问题的能力因为211,当且仅当,a0,即a2,b4时取等号,故取最小值时,a2.【答案】266(2013北京高考文)设D为不等式组所表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_【解析】本题主要考查线性规划的简单应用,意在考查考生的运算能力、作图能力以及数形结合思想和转化思想作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点B(1,0)到直线2xy0的距离最小,d,故最小距离为.【答案】67(2013北京高考文)已知点A(1,1),B(3,0),C(2,1)若平面区域D由所有满足APABAC (12,01)的点P组成,则D的面积为_【解析】本题主要考查平面向量、线性规划以及考生利用函数方程的思想解答问题的能力,是一道综合性较强的题目,意在考查考生分析问题、解决问题的能力设点P(x,y),由APABAC,得(x1,y1)(2,1)(1,2),故得由12,01得,即画出可行域如图中阴影部分所示,点B(3,0)到直线x2y0的距离d,点B,N之间的距离|BN|,故阴影部分的面积为3.【答案】368(2013江苏高考文)抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界) .若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x2y的取值范围是_【解析】本题考查导数的几何意义,线性规划等知识,意在考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力因为y2x,所以当x1时,y1,y2,则过点(1,1)的切线方程为y12(x1),即y2x1,所以切线与两坐标轴围成的三角形区域端点为(0,0),(0,1),所以x2y在点处取得最大值,在点(0,1)处取得最小值2,即x2y的取值范围为2,.【答案】2, 69(2013江苏高考文)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时,f(x)x24x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为_【解析】本题考查奇函数的性质及一元二次不等式的解法,意在考查学生的化归能力及运算能力由于f(x)为R上的奇函数,所以当x0时,f(0)0;当x0,所以f(x)x24xf(x),即f(x)x24x,所以f(x)由f(x)x,可得或解得x5或5x0,所以原不等式的解集为(5,0)(5,)【答案】(5,0)(5,)70(2013安徽高考文)若非负变量x,y满足约束条件则xy的最大值为_【解析】本题主要考查线性规划的有关知识和数形结合思想法一:画出可行域是如图所示的四边形OABC的边界及内部,令zxy,易知当直线yxz经过点C(4,0)时,直线在y轴上截距最大,目标函数z取得最大值,即zmax4.法二:令zxy.界点定值,则先画出可行域,这时把边界点O(0,0),A(0,1),B,C(4,0)代入目标函数zxy可得zA1,zB,zC4,比较可得zmax4.【答案】471(2013山东高考文)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是_【解析】本题主要考查线性规划下的最值求法,考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,因此|OM|的最小值为点O到直线xy20的距离,所以|OM|min.【答案】72(2013大纲卷高考文)若x,y满足约束条件则zxy的最小值为_【解析】本题主要考查线性规划的最值问题首先作出约束条件下的平面区域,由图可知当目标函数zxy经过点C(1,1)时取得最小值,即为110.【答案】073(2013浙江高考文)设zkxy,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k_.【解析】本题主要考查二元一次不等式组的平面区域、线性规划的最优解的问题,意在考查考生的数形结合能力已知不等式组可表示成如图的可行域,当0k时,直线ykxz经过点A(4,4)时z最大,所以4k412,解得k2(舍去);当k时,直线ykxz经过点B(2,3)时,z最大,所以2k312,解得k(舍去);当k0, 则的最小值为_【解析】本题主要考查基本不等式的应用,意在考查考生分析问题、解决问题的能力因为211,当且仅当,a0,即a2,b4时取等号,故的最小值是.【答案】 76(2013天津高考文)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中ABC是格点三角形,对应的S1,N0,L4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是_;(2)已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc,其中a,b,c为常数若某格点多边形对应的N71,L18,则S_(用数值作答)【解析】本题属自定义型信息题,考查考生的创新意识(1)由定义知,四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成,其内部格点有1个,边界上格点有6个,S四边形DEFG3.(2)由待定系数法可得,当N71,L18时,S17118179.【答案】3,1,67977(2013陕西高考文)观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律, 第n个等式可为_【解析】本题主要考查归纳推理,考查考生的观察、归纳、猜测能力观察规律可知,左边为n项的积,最小项和最大项依次为(n1),(nn),右边为连续奇数之积乘以2n,则第n个等式为:(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)【答案】(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)78(2013四川高考文)已知函数f(x)4x(x0,a0)在x3时取得最小值,则a_.【解析】本题主要考查基本不等式,意在考查考生对基础知识的掌握f(x)4x24,当且仅当4x,即a4x2时取等号,则由题意知a43236.【答案】3679(2013广东高考文)已知变量x,y满足约束条件则zxy的最大值是_【解析】本题主要考查线性规划知识,考查数形结合的数学思想方法,意在考查考生的运算求解能力画出可行域如图中阴影部分所示,故目标函数在直线xy30与x1的交点(1,4)处取得最大值,所以zmax145.【答案】580(2012广东高考理)不等式|x2|x|1的解集为_【解析】若x0,则x2x1,无解;若2x0,则x2x1,得2x;若x2,则(x2)x1,得x2.综合上述,得不等式|x2|x|1的解集为x|x【答案】x|x81(2012山东高考理)若不等式|kx4|2的解集为x|1x3,则实数k_.【解析】由|kx4|2可得2kx6,所以1x3,所以1,故k2.【答案】211(2012陕西高考理)观察下列不等式111照此规律,第五个不等式为_【解析】观察得出规律,左边为项数个连续自然数平方的倒数和,右边为项数的2倍减1的差除以项数,即1(nN*,n2),所以第五个不等式为1.【答案】183(2012江苏高考理)已知函数f(x)x2axb(a,bR)的值域为0,),若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m6),则实数c的值为_【解析】因为f(x)的值域为0,),所以0,即a24b,所以x2axc0的解集为(m,m6),易得m,m6是方程x2axc0的两根,由一元二次方程根与系数的关系得解得c9.【答案】984(2012江苏高考理)已知正数a,b,c满足:5c3ab4ca,cln bacln c,则的取值范围是_【解析】由条件可得令x,y,则问题转化为约束条件为求目标函数z的取值范围作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分),过原点作yex的切线,切线方程为yex,切点P(1,e)在区域内故当直线yzx过点P(1,e)时,zmine;当直线yzx过点C(,)时,zmax7,故e,7【答案】e,785(2012北京高考理)已知f(x)m(x2m)(xm3),g(x)2x2.若同时满足条件:xR,f(x)0或g(x)0;x(,4),f(x)g(x)0,则m的取值范围是_【解析】当x1时,g(x)0,当x1时,g(x)0,当x1时,g(x)0.m0不符合要求;当m0时,根据函数f(x)和函数g(x)的单调性,一定存在区间a,)使f(x)0且g(x)0,故m0时不符合第条的要求;当m0时,如图所示,如果符合的要求,则函数f(x)的两个零点都得小于1,如果符合第条要求,则函数f(x)至少有一个零点小于4,问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点,其中较大的零点小于1,较小的零点小于4.函数f(x)的两个零点是2m,(m3),故m满足或者解第一个不等式组得4m2,第二个不等式组无解,故所求m的取值范围是(4,2)【答案】(4,2 )86(2012浙江高考理)设aR,若x0时均有(a1)x1(x2ax1)0,则a_.【解析】显然a1不能使原不等式对x0恒成立,故a1且当x1,a1时原不等式成立对于x2ax10,设其两根为x2,x3,且x2x3,易知x20,x30.当x0时,原不等式恒成立,故x1满足方程x2ax10,代入解得a或a0(舍去)【答案】87(2012安徽高考理)若x,y满足约束条件则xy的取值范围是_【解析】记zxy,则yxz,所以z为直线yxz在y轴上的截距的相反数,画出不等式组表示的可行域如图中ABC区域所示结合图形可知,当直线经过点B(1,1)时,xy取得最大值0,当直线经过点C(0,3)时,xy取得最小值3.【答案】3,088(2012新课标高考理)设x,y满足约束条件则zx2y的取值范围为_【解析】依题意,画出可行域,如图所示,可行域为ABOC,显然,当直线yx过点A(1,2)时,z取得最小值为3;当直线过点B(3,0)时,z取得最大值为3,综上可知z的取值范围为3,3【答案】3,389(2012浙江高考文)设zx2y,其中实数x,y满足则z的取值范围是_【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示,作直线l0:x2y0,平移l0,当所得直线过点C(,)时,z取最大值3,当所得直线过点O(0,0)时,z取最小值0.【答案】0,9013(2012大纲卷高考理)若x,y满足约束条件则z3xy的最小值为_【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图所示,由z3xy,得y3xz,由题可知,求z的最小值即为求y3xz在可行域内纵截距的最大值,当过点A时,所求的z最大,即过点A(0,1),即最大值为130z,所以zmin1.【答案】191.(2012湖北高考文)若变量x,y满足约束条件则目标函数z2x3y的最小值是_【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图),再平移目标函数得最小值当目标函数经过点(1,0)时,z取得最小值2.【答案】292(2012四川高考文)设a,b为正实数现有下列命题:若a2b21,则ab1;若1,则ab1;若|1,则|ab|1;若|a3b3|1,则|ab|0,b0,于是有abab1,此时(ab)(ab)1这与“a2b2(ab)(ab)1”相矛盾,因此ab1,因此不正确;对于,取a9,b4,有|1,但此时|ab|51,因此不正确;对于,由|a3b3|1得|ab|(a2abb2)1,|ab|(a2abb2)|ab|(a22abb2)|ab|3,于是有|ab|31,|ab|1,因此正确综上所述,其中的真命题有.【答案】93(2012江苏高考文)已知函数f(x)x2axb(a,bR)的值域为0,),若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m6),则实数c的值为_【解析】因为f(x)的值域为0,),所以0,即a24b,所以x2axc0,2x3,xlog23.故答案为log23.【答案】log2396(2012上海高考文)满足约束条件|x|2|y|2的目标函数zyx的最小值是_【解析】由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域,所以当x2,y0时,目标函数zyx取得最小值2.【答案】297(2012福建高考文)已知关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立,则实数a的取值范围是_【解析】由题意得a28a0,解得a(0,8)【答案】(0,8)98(2012北京高考文)已知f(x)m(x2m)(xm3),g(x)2x2.若xR,f(x)0或g(x)0,则m的取值范围是_【解析】由题易知当x1时,g(x)0,故要使对xR,f(x)0或g(x)0,只需在x1时,f(x)0恒成立即可当m0时,f(x)0等价于00时,f(x)0等价于(x2m)(xm3)0得m3x2m,对x1不可能恒成立,故舍去;当m0时,f(x)0,因为x1,2m0,所以x2m0,于是不等式转化为mx3,又x1时,x34,所以要使mx3在x1时恒成立,只需m4,故4m0.综上,4m0),观察:f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x),f3(x)f(f2(x),f4(x)f(f3(x),根据以上事实,由归纳推理可得:当nN*且n2时,fn(x)f(fn1(x)_.【解析】根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n1,故fn(x).【答案】102(2011广东高考)不等式|x1|x3|0的解集是_【解析】原不等式等价于或或,解得1x3或x3,故原不等式的解集为x|x1【答案】x|x1103(2011浙江高考)设x,y为实数,若4x2y2xy1,则2xy的最大值是_【解析】4x2y2xy1,(2xy)23xy12xy1()21,(2xy)2,(2xy)max.【答案】104(2011陕西高考)观察下列等式11234934567254567891049照此规律,第n个等式为_【解析】每行最左侧数分别为1、2、3、,所以第n行最左侧的数为n;每行数的个数分别为1、3、5、,则第n行的个数为2n1.所以第n行数依次是n、n1、n2、3n2.其和为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.【答案】n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2105(2010安徽高考文)若,则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号); ; ; ;.【解析】令,排除;由,命题正确;,命题正确;,命题正确.【答案】二. 解答题106.(2013湖南高考理)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”,如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(10,0),C(14,0)处现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区“L路径”不能进入保护区请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小解:本小题主要考查考生应用解析几何知识和含绝对值不等式解决实际应用问题的能力和素质,考查考生的阅读理解能力、推理论证能力,考查创新意识和分类讨论思想、数形结合思想设点P的坐标为(x,y)(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x3|y20|,xR,y0,)(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值当y1时,d|x10|x14|x3|2|y|y20|.因为d1(x)|x10|x14|x3|x10|x14|,(*)当且仅当x3时,不等式(*)中的等号成立又因为|x10|x14|24,(*)当且仅当x10,14时,不等式(*)中的等号成立所以d1(x)24,当且仅当x3时,等号成立d2(y)2y|y20|21,当且仅当y1时,等号成立故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.当0y1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d|x10|x14|x3|1|1y|y|y20|.此时,d1(x)|x10|x14|x3|,d2(y)1|1y|y|y20|22y21.由知,d1(x)24,故d1(x)d2(y)45,当且仅当x3,y1时等号成立综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小107(2013辽宁高考理)已知函数f(x)(1x)e2x,g(x)ax12xcos x当x0,1时,(1)求证:1xf(x);(2)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围解:本题考查了导数在求解函数问题中的应用,涉及了应用导数证明不等式问题以及应用导数求解函数的最值问题等同时考查了考生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力(1)证明:要证x0,1时,(1x)e2x1x,只需证明(1x)ex(1x)ex.记h(x)(1x)ex(1x)ex,则h(x)x(exex),当x(0,1)时,h(x)0,因此h(x)在0,1上是增函数,故h(x)h(0)0.所以f(x)1x,x0,1要证x0,1时,(1x)e2x,只需证明exx1.记K(x)exx1,则K(x)ex1,当x(0,1)时,K(x)0,因此K(x)在0,1上是增函数,故K(x)K(0)0.所以f(x),x0,1综上,1xf(x),x0,1(2)法一:f(x)g(x)(1x)e2x1xax12xcos xx.设G(x)2cos x,则G(x)x2sin x.记H(x)x2sin x,则H(x)12cos x,当x(0,1)时,H(x)0,于是G(x)在0,1上是减函数,从而当x(0,1)时,G(x)3时,f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x)1ax2xcos xax2xcos xx,记I(x)a2cos xaG(x),则I(x)G(x),当x(0,1)时,I(x)3时,a30,所以存在x0(0,1),使得I(x0)0,此时f(x0)0,于是G(x)在0,1上是增函数,因此当x(0,1)时,G(x)G(0)0,从而F(x)在0,1上是增函数,因此F(x)F(0)0,所以当x0,1时,1x2cos x.同理可证,当x0,1时,cos x1x2.故x0,1时,1x2cos x1x2.因为当x0,1时,f(x)g(x)(1x)e2xax12xcos x(1x)ax12x(a3)x,所以当a3时,f(x)g(x)在0,1上恒成立下面证明,当a3时,f(x)g(x)在0,1上不恒成立因为f(x)g(x)(1x)e2x1ax2x(a3)xx,所以存在x0(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足f(x0)0,区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注:区间(,)的长度定义为);(2)给定常数k(0,1),当1ka1k时,求I长度的最小值解:本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等,意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10,x2,故f(x)0的解集为x|x1xx2因此区间I,I的长度为.(2)设d(a),则d(a).令d(a)0,得a1.由于0k1,故当1ka0,d(a)单调递增;当1a1k时,d(a)0,d(a)单调递减所以当1ka1k时,d(a)的最小值必定在a1k或 a1k处取得而1,故d(1k)ln 2.解:本题考查函数与导数、不等式的综合应用,考查分类讨论的数学思想,考查考生分析问题、解决问题的能力(1)由已知f(0)0,f(x),f(0)0.若,则当0x0,所以f(x)0.若,则当x0时,f(x)0时,f(x)0时,f(x)ln (1x)取x,则ln .于是a2nann ln 2nln nln 2.所以a2nanln 2.110(2013湖北高考理)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值;(参考数据:若XN(,2),有P(X)0.682 6,P(2X2)0.954 4,P(3X3)0.997 4.)(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?解:本题考查正态分布、简单的线性规划等基础知识,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查运算求解能力、逻辑推理能力,考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502),故有800,50,P(700X900)0.954 4.由正态分布的对称性,可得p0P(X900)P(X800)P(800X900)P(7000,区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注:区间(,)的长度定义为);(2)给定常数k(0,1),当1ka1k时,求I长度的最小值解:本题主要考查二次不等式的求解,以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能,考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10,x2.故f(x)0的解集为x|x1xx2,因此区间I,区间长度为.(2)设d(a),则d(a).令d(a)0,得a1.由于0k1,故当1ka0,d(a)单调递增;当1a1k时,d(a)0,d(a)单调递减因此当1ka1k时,d(a)的最小值必定在a1k或a1k处取得而1,故
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