系统的数学模型.ppt

1 60 第2章控制系统的数学模型 2 1系统的微分方程2 2Laplace变换及其性质基本概念2 3系统的传递函数2 4系统的传递函数方框图及其简化2 5闭环系统的传递函数2 6控制系统的信号流图2 7相似原理 2 60 2 1系统的微分方程 一建立数学模型的意义 1 可定性地了解系统的工作原理及其特性 2 更能定量地描述系统的动态性能 3 揭示系统的内部结构 参数与动态性能之间的关系 3 60 二系统数学模型的形式 1 最基本形式是微分方程 在时域中描述系统 或元件 动态特性 2 传递函数形式 极有利于对系统在复数域及频域进行深入的研究 分析与综合 4 60 三数学模型的建立方法 1 分析法 根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式 从而建立数学模型 2 实验法 对于复杂系统 需要通过实验 并根据实验数据 拟合出比较接近实际系统的数学模型 5 60 2 1 1线性系统与非线性系统 6 60 若系数中有依赖于或其导函数 或者 在微分方程中出现t的其他函数形式 则该方程就是非线性的 相应的系统也称为非线性系统 注意 线性及非线性这一特性并不随系统的表示方法而改变 它是系统本身的固有特性 线性系统与非线性系统的根本区别在于 线性系统满足叠加原理 而非线性系统则不满足叠加原理 7 60 线性化 为了分析研究非线性系统 在一定范围内将一些非线性因素忽略 近似地用线性数学模型来代替 这便是所谓数学模型的线性化 本质非线性系统 例如电气系统中某些元件存在继电特性 饱和 死区和磁滞等现象 只能采取非线性方法进行分析与设计 这方面内容 本课程不作要求 叠加原理 总输出等于各个输入单独作用而产生的输出之和 8 60 2 1 2 系统的微分方程 1 用分析法 解析法 列写微分方程的一般方法 1 确定系统或各元件的输入 输出变量 系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量 而被控制量则是输出量 2 进行适当的简化 忽略次要因素 9 60 3 从系统的输入端开始 按照信号的传递顺序 根据各变量所遵循的物理定理 列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程 4 消除中间变量 写出只含有输入 输出变量的微分方程 5 标准化 整理所得微分方程 输出量降幂排列 输入量降幂排列 幂指导数的阶次 10 60 2 典型元件的微分方程 11 60 12 60 13 60 14 60 15 60 16 60 解 列写系统微分方程 1 输入 电压输出 电压中间变量 2 简化 3 根据克希荷夫定律 可写出下列原始方程式 例1图示为两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络 试写出以输出电压和输入电压为变量的滤波网络的微分方程 17 60 电路分析的基本方法 克希荷夫定律 1 克希荷夫第一定律 克希荷夫电流定律KCL 在电路任何时刻 对任一结点 所有支路电流的代数和恒等于零 即流出结点的取 号 流入结点的取 号 N为支路数 2 克希荷夫第二定律 克希荷夫电压定律KVL 在电路任何时刻 沿任一回路 所有支路电压的代数和恒等于零 即电压的参考方向与指定的绕行方向一致的取 号 相反的取 号 N为支路数 也称为基尔霍夫定律 18 60 4 消去中间变量 19 60 注意 虽然电路又两个RC电路所组成 但不能把它看作两个独立的RC电路的连接 因为第二级电路的i2要影响第一级电路的u1 列写方程式应考虑这个影响 这种后一级对前一级的影响叫做负载效应 存在负载效应时 必须把全部元件作为整体加以考虑 本例如果不考虑负载效应时显然与前面得到的结果不同 20 60 例2图示为电枢控制式直流电机原理图 设为电枢两端的控制电压 为电机旋转角速度 为折合到电机轴上的总的负载力矩 当激磁不变时 用电枢控制的情况下 为给定输入 为干扰输入 为输出 系统中ed为电动机旋转时电枢两端的反电势 为电动机的电枢电流 为电动机的电磁力矩 21 60 1 输入变量为电压 输出变量为电机旋转角速度 中间变量 2 根据克希荷夫定律 电机电枢回路的方程为当磁通固定不变时 与转速成正比 即 2 1 5 式中 为反电势常数 22 60 这样 2 1 5 式为根据刚体的转动定律 电动机转子的运动方程为 2 1 6 2 1 7 当激磁磁通固定不变时 电动机的电磁力矩与电枢电流成正比 即式中 km为电动机电磁力矩常数 2 1 8 23 60 3 消除中间变量将 2 1 8 式代入 2 1 7 式得应用 2 1 6 式和 2 1 9 式消去中间变量ia 可得 2 1 9 2 1 10 24 60 令 则上式为 即为电枢控制式直流电动机的数学模型 由式可见 转速 既由ua控制 又受ML影响 2 1 11 25 60 1 微分方程的增量化表示 前面从数学角度讨论了系统的模型 下面是考虑工程实际进一步讨论模型 1 电动机处于平衡状态 变量各阶导数为零 微分方程变为代数方程 此时 对应输入输出量可表示为 则有这就是系统的稳态 2 1 12 2 1 13 2 1 3 非线性微分方程的线性化 26 60 2 系统的稳态并不能长期稳定 闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态 当输入量发生变化时 输出量相应变化 输入输出量可以记为 则式 2 1 11 可记为 27 60 考虑到 上式可变为 对于定值控制系统 总是工作在设定值即稳态或平衡点附近 将变量的坐标原点设在该平衡点 则微分方程转换为增量方程 它同样描述了系统的动态特性 但它由于不考虑初始条件 求解及分析时方便了许多 2 1 14 28 60 2 非线性微分方程的线性化 29 60 30 60 31 60 图2 1 3是一个液压伺服系统 下面通过它讨论线性化问题 32 60 33 60 1 输入变量为阀心位移x 输出变量为活塞位移y 中间变量 2 按照液压原理建立动力学方程负载动力学方程为流量连续性方程为q与p一般为非线性关系 2 1 15 2 1 16 2 1 17 34 60 3 线性化处理将 2 17 在工作点领域做泰勒展开 当偏差很小时 可略去展开式的高阶项 保留一次项 并取增量关系 有 式中则 2 18 可以写成当系统在预定工作条件 下工作即分别为q x p 故 2 1 19 可以写为 2 1 18 2 1 19 2 1 20 为2 1 17在工作点 x0 p0 的线性化方程 35 60 则 2 18 可以写成当系统在预定工作条件 下工作即分别为q x p 故 2 1 19 可以写为 2 1 19 2 1 20 为2 1 17在工作点 x0 p0 的线性化方程 36 60 图2 1 4q p x三者线性关系 37 60 4 消除中间变量由 2 20 可得整理后可得线性化后的动力学方程为 2 1 21 2 1 22 38 60 小偏差线性化时要注意以下几点 1 必须明确系统工作点 因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同 通常是零初态 2 非线性模型线性化是有条件的 即变量偏离预定工作点很小 如果变量在较大范围内变化 则用这种线性化方法建立的数学模型 在除工作点外的其它工况势必有较大的误差 3 要求非线性函数连续 即非线性特性是连续的 否则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数 这时就不能线性化 4 线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程 39 60 2 2Laplace变换及其性质 Laplace 拉普拉斯 变换是描述 分析连续 线性 时不变系统的重要工具 可理解为广义单边傅立叶变换 傅立叶变换建立了时域和频域的联系 而拉氏变换建立了时域和复频域的联系 40 60 2 2 1Laplace变换的定义2 2 2典型函数的Laplace变换2 2 3Laplace变换的性质2 2 4Laplace逆变换2 2 5用Laplace变换求解常系数线性微分方程 41 60 2 1 1Laplace变换的定义 设函数x t 满足 其中x t 为时间t的函数 在每个有限区间内连续或分段连续 则x t 的Laplace变换定义为 式中s 复变数 1 2 42 60 2 1 2典型函数的Laplace变换 1 单位阶跃函数1 t 则 43 60 2 指数函数 44 60 3 脉冲函数 t 45 60 4 正弦和余弦函数 46 60 2 1 3Laplace变换的的性质 1 线性 47 60 2 叠加性 若 则 48 60 3 微分性常用 原函数f t 的导数的Laplace变换 f t 的n阶导数的Laplace变换 若f t 及各阶导数的初值均为0 即 则 49 60 4 积分定理 原函数f t 的积分的Laplace变换 式中 初始条件为零时 50 60 5 位移定理常用 6 延迟定理常用 51 60 7 初值定理 若函数f t 的Laplace变换为F s 且 存在 则时间函数f t 的初始值 8 终值定理 若函数f t 的Laplace变换为F s 且 存在 则原函数f t 的稳态值 52 60 9 比例尺的改变 10 时间乘函数的Laplace变换 53 60 11 卷积性质 如t 0时 f t g t 0 则 54 60 常用拉氏变换表小结 55 60 2 1 4Laplace逆变换 Laplace逆变换公式为 简写 直接通过积分求Laplace逆变换通常很繁锁 对于一般问题都可以避免这样的积分 利用Laplace变换表 查表求原函数 56 60 2 1 5利用Laplace变换求解微分方程解的步骤1 对微分方程进行Laplace变换 并代入初始条件 2 求解因变量Laplace变换的代数方程 3 求解因变量Laplace逆变换 得到所求的微分方程的解 变微积分计算为代数计算