中考数学一轮复习 第40课 探索型问题课件 浙教版.ppt

第40课探索型问题 1 条件探索型问题 给出问题的结论 让解题者分析探索使结论成立应具备的条件 而满足结论的条件往往不唯一 需要采用证明 推断去探索发现并补充完善 使结论成立 它要求解题者善于从问题的结论出发 逆向追索 多途寻因 2 结论探索型问题 给定明确条件但未明确结论或结论不唯一 要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想 然后对猜想的结论进行证明 这类题主要考查解题者的发散思维和所学基本知识的应用能力 要点梳理 3 存在探索型问题 指在一定条件下需探索发现某种数学关系是否存在的问题 解题时一般是先对结论作肯定存在的假设 然后由此肯定的假设出发 结合已知条件进行推理论证 若导出矛盾 则否定先前假设 若推出合理的结论 则说明假设正确 由此得出问题的结论 1 按探索对象分类按探索对象的不同 探索题可分为条件探索题和结论探索题 即执果索因和执因导果 2 按探索方法分类 1 直观探索法 对所学的新知识的思维迁移 进行发现 这种方法多用于图形性质的发现 2 归纳探索法 让读者对某些单个的 特殊的事物进行分析比较 从中总结出规律性的东西 从而进行发现 3 类比探索法 把所要解决的新问题和与之有关的问题进行分类比较 发现它们之间的共同特点和规律 难点正本疑点清源 1 2010 湛江 观察下列算式 31 3 32 9 33 27 34 81 35 243 36 729 37 2187 38 6561 通过观察 用你所发现的规律确定32010的个位数字是 a 3b 9c 7d 1解析 通过观察可知规律 幂的个位数字是3 9 7 1 3 9 7 1 所以2010除以4 得余数是2 幂的个位数字是9 基础自测 b 2 2011 綦江 如下表 从左到右在每个小格子中都填入一个整数 使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等 则第2011个格子中的数为 a 3b 2c 0d 1解析 由题意得3 a b a b c b c 1 得a 1 c 3 2011 670 3 1 第2011个格子中的数为3 a 3 2011 嘉兴 一个纸环链 纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列 截去其中的一部分 剩下部分如图所示 则被截去部分纸环的个数可能是 a 2011b 2011c 2012d 2013解析 设这个纸环链共有5x个纸环 只有当5x 12 2013 5x 2025 x 405 是整数 故选d d 4 2011 安顺 一只跳蚤在第一象限及x轴 y轴上跳动 在第一秒钟 它从原点跳动到 0 1 然后接着按图中箭头所示方向跳动 即 0 0 0 1 1 1 1 0 且每秒跳动一个单位 那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是 a 4 0 b 5 0 c 0 5 d 5 5 b 解析 当跳蚤所在位置在第一象限的角平分线上 点 1 1 2 2 3 3 4 4 所对应的时间分别为第2秒 第6秒 第12秒 第20秒 2 4 6 8 10 30 在第30秒 跳蚤所住位置是 5 5 则第35秒的位置是 5 0 5 2011 镇江 在平面直角坐标系中 正方形abcd的顶点坐标分别为a 1 1 b 1 1 c 1 1 d 1 1 y轴上有一点p 0 2 作点p关于点a的对称点p1 作点p1关于点b的对称点p2 作点p2关于点c的对称点p3 作点p3关于点d的对称点p4 作点p4关于点a的对称点p5 作点p5关于点b的对称点p6 按此操作下去 则点p2011的坐标为 a 0 2 b 2 0 c 0 2 d 2 0 解析 易求点p1 2 0 p2 0 2 p3 2 0 p4 0 2 p5 2 0 p6 0 2 而2011 4 502 3 故点p2011的坐标同点p3 2 0 所以选d d 题型一规律探索型问题 例1 如图 在直角坐标系中 已知点p0的坐标为 1 0 将线段op0按逆时针方向旋转45 再将其长度伸长为op0的2倍 得到线段op1 又将线段op1按逆时针方向旋转45 长度伸长为op1的2倍 得到线段op2 如此下去 得到线段op3 op4 opn n为正整数 1 求点p6的坐标 2 求 p5op6的面积 题型分类深度剖析 3 我们规定 把点pn xn yn n 0 1 2 3 的横坐标xn 纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标 xn yn 称之为点pn的 绝对坐标 根据图中点pn的分布规律 请你猜想点pn的 绝对坐标 并写出来 解 1 p6 0 64 2 s p5op6 64 16 512 3 点pn的坐标可分三类情况 当n 8k或n 8k 4时 其中k为自然数 点pn落在x轴上 此时 点pn的绝对坐标为 2n 0 当n 8k 1或8k 3或8k 5或8k 7时 其中k为自然数 点pn落在各象限的平分线上 此时 点pn的绝对坐标为 2n 2n 即 2n 1 2n 1 当n 8k 2或8k 6时 其中k为自然数 点pn落在y轴上 此时 点pn的绝对坐标为 0 2n 探究提高本题属于规律探索型问题 数学对象所具备的状态或关系不明确时 需对其本质属性进行探索 从而寻求 发现其所服从的某一特定规律或具有的不变性 解题方法一般是利用特殊值 特殊点 特殊数量 特殊线段 特殊位置等 进行归纳 概括 从特殊到一般 从而得出规律 知能迁移1已知下列n n为正整数 个关于x的一元二次方程 x2 1 0 x2 x 2 0 x2 2x 3 0 x2 n 1 x n 0 1 请解上述一元二次方程 2 请你指出这n个方程的根具有什么共同特点 写出一条即可 解 1 方程 x2 1 0的解是x1 1 x2 1 方程 x2 x 2 0的解是x1 1 x2 2 方程 x2 2x 3 0的解是x1 1 x2 3 方程x2 n 1 x n 0的解是x1 1 x2 n 2 这n个方程都有一个根是x 1 题型二存在探索型问题 例2 已知 如图 abc是边长为3cm的等边三角形 动点p q同时从a b两点出发 分别沿ab bc方向匀速移动 它们的速度都是1cm s 当点p到达点b时 p q两点停止运动 设点p的运动时间为t s 解答下列问题 1 当t为何值时 pbq是直角三角形 2 设四边形apqc的面积为y cm2 求y与t的关系式 是否存在某一时刻t 使四边形apqc的面积是 abc面积的 如果存在 求出相应的t值 若不存在 说明理由 解 1 当 bpq 90 时 在rt bpq中 b 60 bp 3 t bq t cosb bp bq cosb 即3 t t 解之 得t 2 当 bqp 90 时 在rt bpq中 b 60 bp 3 t bq t cosb bq bp cosb 即t 3 t 解之 得t 1 综上 t 1或t 2时 pbq是直角三角形 2 s四边形apqc s abc s pbq y 3 3 sin60 3 t t sin60 t2 t 又 s四边形apqc s abc t2 3 3 sin60 整理得 t2 3t 3 0 3 2 4 1 3 0 方程无实根 无论t取何值时 四边形apqc的面积都不可能是 abc面积的 探究提高存在探索题是指在一定条件下 需探索发现某种数学关系是否存在的问题 解题方法一般是先对结论作肯定存在的假设 然后由此肯定的假设出发 结合已知条件进行推理论证 若导出矛盾 则否定先前假设 若推出合理的结论 则说明假设正确 引出问题的结论 知能迁移2 2011 常德 如图 已知抛物线过点a 0 6 b 2 0 c 7 1 求抛物线的解析式 2 若d是抛物线的顶点 e是抛物线的对称轴与直线ac的交点 f与e关于d对称 求证 cfe afe 3 在y轴上是否存在这样的点p 使 afp与 fdc相似 若存在 请求出所有符合条件的点p的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 设经过点a 0 6 b 2 0 c 7 的抛物线的解析式为y ax2 bx c 则有解得a b 4 c 6 此抛物线的解析式为y x2 4x 6 2 如图 过点a作am x轴 交fc于点m 交对称轴于点n 抛物线的解析式y x2 4x 6可变形为y x 4 2 2 抛物线对称轴是直线x 4 顶点d的坐标为 4 2 an 4 设直线ac的解析式为y k1x b1 则有解得k1 b1 6 直线ac的解析式为y x 6 当x 4时 y 4 6 4 点e的坐标为 4 4 点f与e关于点d对称 点f的坐标为 4 8 设直线fc的解析式为y k2x b2 则有解得k2 b2 22 直线fc的解析式为y x 22 am与x轴平行 点m的纵坐标为6 当y 6时 则有x 22 6 解得x 8 am 8 mn am mn 4 an mn fn am anf mnf 又 nf nf anf mnf cfe afe 3 c的坐标为 7 f坐标为 4 8 cf 又 a的坐标为 0 6 fa 2 d的坐标为 4 2 f的坐标为 4 8 df 6 ef ao paf afe 又由 2 可知 dfc afe paf dfc 若 afp1 fcd 则 即 解得p1a 8 op1 8 6 2 p1的坐标为 0 2 若 afp2 fdc 则 即 解得p2a op2 6 p2的坐标为 0 符合条件的点p的坐标有两个 分别是p1 0 2 p2 0 题型三结论探索型问题 例3 已知点p在线段ab上 点o在线段ab延长线上 以点o为圆心 op为半径作圆 点c是圆o上的一点 1 如图 如果ap 2pb pb bo 求证 cao bco 2 如果ap m m是常数 且m 1 bp 1 op是oa ob的比例中项 当点c在圆o上运动时 求ac bc的值 结果用含m的式子表示 3 在 2 的条件下 讨论以bc为半径的圆b和以ca为半径的圆c的位置关系 并写出相应m的取值范围 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 解 1 证明 ap 2pb pb bo po ao 2po 2 po co coa boc cao bco 4分 2 解 设op x 则ob x 1 oa x m op是oa ob的比例中项 x2 x 1 x m 得x 即op ob op是oa ob的比例中项 即 又 op oc 6分 设圆o与线段ab的延长线相交于点q 当点c与点p 点q不重合时 aoc cob cao bco m 8分 3 由 2 得 ac bc 且ac bc m 1 bc m 1 ac bc m 1 bc 圆b和圆c的圆心距d bc 显然bc1 12 14分 探究提高本题给定条件但无明确结论 或结论不唯一 而需探索发现与之相应的结论 知能迁移3 2011 绵阳 已知 abc是等腰直角三角形 a 90 d是腰ac上的一个动点 过c作ce垂直于bd或bd的延长线 垂足为e 如图1 1 若bd是ac的中线 如图2 求的值 2 若bd是 abc的角平分线 如图3 求的值 3 结合 1 2 请你推断的值的取值范围 直接写出结论 不必证明 并探究的值能小于吗 若能 求出满足条件的d点的位置 若不能 请说明理由 解 1 设ad x 则ab 2x 根据勾股定理 可得bd x a e adb edc abd ecd 可得ce x 所以 2 设ad x 根据角平分线定理 可知dc x ab x x 由勾股定理可知bd 由 abd ecd 得 由勾股定理知ec2 cd2 de2 ec 2 3 由前面两步的结论可以看出 1 所以这样的点是存在的 d在ac边的五等分点和点a之间 题型四条件探索型问题 例4 已知 如图 在rt acb中 c 90 ac 4cm bc 3cm 点p由b出发沿ba方向向点a匀速运动 速度为1cm s 点q由a出发沿ac方向向点c匀速运动 速度为2cm s 连接pq 若设运动的时间为t s 0 t 2 解答下列问题 1 当t为何值时 pq bc 2 设 aqp的面积为y cm2 求y与t之间的函数关系式 3 是否存在某一时刻t 使线段pq恰好把rt acb的周长和面积同时平分 若存在 求出此时t的值 若不存在 说明理由 4 如图 连接pc 并把 pqc沿qc翻折 得到四边形pqp c 那么是否存在某一时刻t 使四边形pqp c为菱形 若存在 求出此时菱形的边长 若不存在 说明理由 解 1 由题意 bp tcm aq 2tcm 则cq 4 2t cm c 90 ac 4cm bc 3cm ab 5cm ap 5 t cm pq bc apq abc ap ab aq ac 即 5 t 5 2t 4 解得t 当t为 s 时 pq bc 2 过点q作qd ab于点d 则易证 aqd abc aq qd ab bc 2t dq 5 3 qd t apq的面积 ap qd 5 t t y与t之间的函数关系为 y 3t t2 3 由题意 当面积被平分时有 3t t2 3 4 解得 t 当周长被平分时有 5 t 2t t 4 2t 3 解得t 1 不存在这样t的值 4 过点p作pe bc于e 易证 pbe abc 当pe qc时 pqc为等腰三角形 此时四边形pqp c为菱形 理由如下 pbe abc pe pb ac ab pe t 4 5 解得 pe t qc 4 2t 2 t 4 2t 解得t 当t 时 四边形pqp c为菱形 此时 pe be ce 在rt cpe中 根据勾股定理可知 pc 此菱形的边长为cm 探究提高本题结论明确 而需探索发现使结论成立的条件 知能迁移4如图 四边形oabc是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片 点a在x轴上 点c在y轴上 将边bc折叠 使点b落在边oa的点d处 已知折痕ce 5 且tan eda 1 判断 ocd与 ade是否相似 请说明理由 2 求直线ce与x轴交点p的坐标 3 是否存在过点d的直线l 使直线l 直线ce与x轴所围成的三角形和直线l 直线ce与y轴所围成的三角形相似 如果存在 请直接写出其解析式并画出相应的直线 如果不存在 请说明理由 解 1 ocd与 ade相似 理由如下 由折叠知 cde b 90 1 2 90 1 3 90 2 3 又 cod dae 90 ocd ade 图1 2 tan eda 设ae 3t 则ad 4t 由勾股定理得de 5t oc ab ae eb ae de 3t 5t 8t 由 1 可知 ocd ade cd 10t 在 dce中 cd2 de2 ce2 10t 2 5t 2 5 2 解得t 1 oc 8 ae 3 点c的坐标为 0 8 点e的坐标为 10 3 设直线ce的解析式为y kx b y x 8 则点p的坐标为 16 0 3 满足条件的直线l有2条 y 2x 12 y 2x 12 如图2中的l1 l2 28 规律探索问题分析不严密试题探索n n的正方形钉子板上 n是钉子板上每边的钉子数 连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数 当n 2时 钉子板上所连不同线段的长度值只有1与 所以不同长度值的线段只有二种 若用s表示不同长度值的线段种数 则s 2 当n 3时 钉子板上所连不同线段的长度值只有1 2 2五种 比n 2时增加了三种 即s 2 3 5 易错警示 1 观察下图 并填写下表 2 写出 n 1 n 1 和n n的两个钉子板上 不同长度值的线段种数之间的关系 用式子或语言表述均可 3 对n n的钉子板 写出用n表示s的代数式 学生答案展示解 1 4 2 3 4 5 2 设 n 1 n 1 和n n两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为sn 1和sn 则sn 1 2 3 4 n 1 sn 2 3 n 3 sn 2 3 4 n 剖析 1 填对了 2 题目要求理解错了 命题要求写出两个钉子板上的两个s值之间关系 而不是每个钉子板上的s值与每边上的钉子数n的关系 显然 sn比sn 1的值大n 3 写对了 但应化成不含省略号的代数式 正解 1 4 2 3 4 5 2 设 n 1 n 1 和n n两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为sn 1和sn 则sn 1 2 3 4 n 1 sn 2 3 n sn sn 1 n 即在 n 1 n 1 和n n的两个钉子板上 不同长度值的线段种数前者比后者少n种 3 sn 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 批阅笔记错在分析不严密 审题不清楚 还有变形不熟练 没有按问题的要求写好答案 在进行规律总结时 考