解非线性方程组的平方根迭代法.pdf

第3 2 卷第4 期 1 9 9 2 年 月 大 连理 工 大 学 学 报 J o u r n a l o f Da l i a n Un i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y V0 3 2 No4 J I 1 9 9 2 吁 3 3 7 一 j 7 解非线性方程组的平方根迭代法 罗远 诠 应用教学系 0 7 摘 要 在 非线 性 方 程组 的 牛顿 方 向 上使 用构 造 口次方 根 一 正 列迭 代 法 的方 法 得到了解非线性方程组的一 个迭代解法 它是平方根迭代法从单个方程到方 程组的推广 与牛顿迭代法相 比 收敛速度及收敛区域都有显著的改进 分类号 02 4 1 7 1 方 法 的描述及 定理 本文将解超越方程的平方根迭代法 推广到解非线性方程组 考虑非线性方程组 0 1 其中t向量函数 一 f l 向量 DCR 以下假定 在 D 上至少二 次连 续可微 设 z 是 方程 组 1 的解且 z 存在 是第 次 迭代值 吼 啦 一 f x b l 又设 z 是使 嘶l i n a x l mf 的整数 令矩阵 一 啦 啦 一 嘶皿一1 口1 啦 一1 啦 嘶 1 啦 1 一m 一 m 向量 1 2 作变换 u x 一 2 由 的定义易见 的第 z 个行向量的方向是牛顿方向 而其余的行向量均与它正交 式 2 的 收稿日期 1 9 9 1 0 6 1 9 I 仕订 日期 1 9 9 2 0 1 1 0 维普资讯 大 连 理 工 大 学 学 报 3 2 卷 逆变换为 一 一 眦 3 其中 一 当i j A z 时 一盔 嘶 一1 a s 当f V f 一 时 一 日 q n 因 为 依 赖于 为了 清 楚 有 时 也 写成 按照文 2 的方法 令 0 一 一 0 一 F F 0 F 其中 z f 一 I t f 考虑 方程组 F f 0 4 注意到 f 是 的偶函数 它在 t 0 处展开为泰勒级数时关于 t z 的奇次项均为零 故有 一 妻 2 啪 吉 开 2 5 r p l1 1 胁 客 砉 一 耋 2 R 是 觚 在式 5 中令 f f 则 f 一O 于是有 c一 客 z c 客 吉 蜀 cr 一 0 i z c s 定理 1 设 在 Dc 上 四次连续 可微 D是 方程组 4 的解 非奇异 那末 当 充分接近 1 7 时 式 6 中的 l R f j 0 f1 一 1 2 一 m 证明令 一 一 一 当 充分接近 时 由牛顿选代法的平方收敛 性 存在实数 q o 使 I l 一 口l l 一 又 一 一 f x 一 吼 口 l II f l Y 一 一 l f e l 其 中 是第 z 个分量为 1 其余分量为 0的单位向量 所 以 f 一 一 一v 一 一 一 Y H 由此得 到 l f lf 17 一 lf 1 9 I 1 1 7 一 当 l f l If f Il l If II 17 一 II 也就是说 当 充分接近 1 7 时 向量 f 的所有分量中 除 与 lI 一 lI 同阶之外 其余 均与 lf 1 7 一 同阶 因为 四次连续可微 所以余项可写为 蜀O 一 0 Pa 只 其中 P z t 是不包含 的二次齐次多项式 P f 是不包含 的三次齐次多项式 P 是 维普资讯 4 期 罗远诠 解 非线性方程组 的平方根选代 法 S 7 5 四次齐 次多项式 O 综上述即可得到 l R 0 J o 一 i I 2 证毕 在式 6 中两边除 并舍去余项 R f 得到近似方程 骞 z 耋 v pjtj 百1 圩 o 式 7 是 t l f 及 t 的线性方程组 设其解为 t 代入式 3 得到 一 一 口 8 式 8 邵为本文给出的迭代公式 在计算中如果求导数不方便 也可用差分式代替 即 f 一 胁 一 f A h 9 i1 m F研 O f 一 啦 一 其中 可令 h min 0 一 ll 是取定的小正数 例如 0 0 1 设方程 7 的截断误差为 日 一1 2 即 一 耋 2 耋 吉 自 一 1 z I p 1 f 1 O 定理 2 在定理 1 的条件下 方程 7 的截断误差 日 I 2 当 一 时满足 l l o 1I 一 ll i l 2 m 证明目为 f x 一 且 z 非奇异 所以当 一z 时 一f x o 1l 一 由式 6 1 0 及 I 有 R 由定理 1有 l l l R0 一o 1l 一 lI 证毕 由定理 2知本文方法的截断误差比牛顿法高一阶 因此本文方法应比牛顿法有更 陕的收 敛速度及更大的收敛区域 数值试验证实了这一点 本文方法在一维 的情况下 方程 7 成为 户 一 一 0 式 8 成为 一 4 l l 这就是文 1 给出的平方根法 因此本文方法是平方根法 的推广 采用式 9 计算时 则本文方 法在一维时退化为三点迭代法 维普资讯 2 数值实例 表 1 大 连 理 工 大 学 学 报 3 2 卷 例 1 1 一 l 一5 X l 7 l 2 一3 x 1 2 1 3 一l l l 厂 3 2 砘 3 4 0 l 数值结果见 表 l 侧 l的计算结果 迭代文教 韧值 1 2 3 9 准确值 1 O s o 2 O 19 6 9 l O 2 2 5 4 1 o 1 2 1 牛 顿法 砘 2 5 3 3 2 1 9 7 3 0 3 51 3 8 1 9 o 9 5 0 0 4 9 5 工3 4 2 7 0 0 8 6孔 4 1 5 2 3 3 05 4 B 一 4 0 0 4 5 4 z L 1 1 1 26 2 1 0 11 4 1 00 3 0 1 z2 2 5 6 1 1 9 1 5 0 28 7 5 0 0 0 O 5 本 文方 法 z 3 4 3 76 0 0 4 0 22 4 4 B O B 0 4 误 差 1 1 1 91 0 0 2 8 7 8 7 5 1 0 一 饲 2 1 e i 一2 l 霹一1 一 e i 2 1 一1 l 0 2 一l是一个解 用数值试验求出了此解的收敛区域 牛顿法的收敛 区域为 仃 1 本文方法的收敛区域为 见图 l 仃 2 比 有显著扩大 考虑到 一0 一1 也是解 并且本例关于 轴是对称 的 因此收敛域 至少 向下 方 已不能再扩大 了 由上述可见 本文方法在收敛速度及收敛区域 方面都 比牛顿法有显著改进 但本文方法每次遗代 工作量比牛顿法多两次向量函数求值 一次消去法 及一些附加工作量 因此较好的做法是在开始阶段 1 4 1 J 田 饲 2的收敛IZ域 即前若干次迭代 使用本文方法 待进入牛顿法的收敛域后改用牛顿法进行 参考 文 献 1 棘利 治 朱 自强 若于一类具有大范围收敛性的迭代法 计算数学 1 9 7 9 1 1 1 3 1 1 4 2 2 罗远诠 一类解超越方程的大范围收敛迭代法 计算数学 1 9 8 7 9 1 8 2 9 0 3 谢如 彪 姜培 庆 非 线性 数值分 析 上 海 上 海 交 通大 学 出版 社 1 9 8 4 2 8 维普资讯 4 期 罗远诠 解非线性方程组的平方根迭代墙 S qua r e r o ot i t e r a t i v e me t h o d f o r s ol v i ng s y s t e ms o f no n l i ne a r e q ua t i o ns 1 1 0 Yu a n qu a n De p t o f Ap p l i e d M a t he ma t i c s DUT Ab s t r 鱼c t T h i s p a p e r g i v e a n i t e r a t lv e me t h o d f o r s o l v i n g s y s t e ms o f n o n li n e a r e q u a t i o n s wh i c h i s r e g a r d e d a s g e n e r a l i z a t i o n o f t h e s q u a r e r o o t i t e r a t i on f o r B 0 v mg t r a n s c e n d e n t a l e q u a ti o n The m e t h od g i v e n i n t h i s p a p e r h a s a f a s t e r c on v e r g e n c e r a t e a n d a l a r g e r c o n v e r g e