程多元函数极限与连续.ppt

第十一章Euclid空间上的极限和连续 第一节Euclid空间上的基本定理 一 Eucid空间点集相关概念 1 n维空间 实数x 数轴点 数组 x y 实数全体表示直线 一维空间 平面点 x y 全体表示平面 二维空间 数组 x y z 空间点 x y z 全体表示空间 三维空间 推广 n维数组 x1 x2 xn 全体称为n维空间 记为 3 Euclid空间 在n维空间Rn上定义加法和数乘运算 2 向量空间 则Rn成为向量空间 在n维向量空间Rn上定义内积运算 则Rn成为Euclid空间 其中内积有如下性质 i 正定性 0 而 0当且仅当x 0 ii 对称性 iii 线性性 a b iv Schwarz不等式 2 4 Euclid空间中的距离定义 5 距离有下面的性质 i 正定性 x y 0 x y 0当且仅当x y ii 对称性 x y y x iii 三角不等式 x z x y x z 一 平面点集 R中邻域 1 R2邻域 Rn中的邻域 Rn中点列收敛概念 定义 设 xk 是Rn中的点列 若存在Rn中的点a 使得对于任意的 存在正整数K 成立 则称 xk 收敛于a或者a是 xk 的极限 记为 Limk xk a 定理 Limk xk a的充分必要条件是Limk xik ai 2 区域 例如 即为开集 内点 内点 开集 开集 边界点 边界点 连通 连通的 开区域 连通的开集称为区域或开区域 例如 例如 闭区域 对于点集E 如果存在正数K 使一切点P E与某一点A间的距离 AP 不超过K 即 对于一切点P E成立 则称E为有界点集 否则称为无界点集 有界闭区域 无界开区域 例如 3 聚点 1 内点一定是聚点 说明 2 边界点可能是聚点 也可能不是聚点 例如 0 0 既是边界点也是聚点 3 点集E的聚点可以属于E 也可以不属于E 例如 0 0 是聚点但不属于集合 例如 边界上的点都是聚点也都属于集合 性质定理第一组 1 x是S的聚点的充分必要条件是 存在S的点列 xk xk S xk x 使得Limk xk x 2 S为闭集的充分必要条件为Sc是开集 3 任意组开集的并是开集 4 任意组闭集的交是开集 5 有限个开集的交是开集 6 有限个闭集的并是闭集 性质定理第二组 DeMorgan公式 设 Sa 是 有限或者无限 Rn中的子集合 则 二 Euclid空间基本定理 1 闭区间套定理11 1 6 设 是一列 矩形套 如果 则存在唯一点a 每个 k 2 Cantor闭区域套定理11 1 6 设 是一列 闭区域套 如果 则存在唯一点a 每个Sk 3 一个应用 Bolzano Weierstrass定理 定理 Rn上的有界点列 xn 必有收敛子列 证明 推论 Rn上的有界无限点集至少有一个聚点 Cauchy收敛原理 定义 Rn中的点列 xn 满足 对于任意的 0 存在正整数K 使得对任意的k l K 成立 xl xk 称 xk 为基本列 或者Cauchy列 定理 Rn中的点列 xn 收敛的充分必要条件是 xn 是基本列 Heine Borel定理 定义 设S是Rn的一个子集 如果Rn中的一组开集 Ua a A 满足 a AUa S 称 Ua 是S的一个开覆盖 如果S的每个开覆盖 Ua 中总存在一个有限的子覆盖 称S是紧集 定理 S是紧集的充分必要条件是 S是有界闭集 三个等价结论 定理 设S是Rn的子集合 那么以下三个命题等价 1 S是有界闭集合 2 S是紧集合 3 S的任意无限子集在S中必有聚点 本节涉及数学家 Euclid 古希腊数学家 公元前330年生于雅典 代表作 几何原本 十三卷 公元前275年卒 Cantor 德国数学家 1845年生于德国 集合论的创始人 1918年卒 Weieratrass 19世纪下半叶德国数学家 生于1815年德国 数学分析大师 一是建立了实数理论 二是建立了极限理论 1897年卒 AugustusDeMorgan 1806 1871 生于India 移住英国 主要著作 FormalLogic 首先使用规范数学归纳法 对数学的贡献很多 见http web01 shu edu projects reals history demorgan html ReneDescartes 1596 1650 法国 西方近代资产阶级哲学的奠基人之一 数学家 自然科学家 是他的公开发表的唯一的数学著作标志着解析几何的诞生 恩格斯说 数学的转折点是迪卡尔的变数 Bolzano 1781 1848 捷克数学家http www history mcs st andrews ac uk Biographies Bolzano html 与Weierstrass有过合作研究 主要贡献在数学和哲学 Heine 1821 1881 德国数学家 主要贡献在给出一致连续概念 研究兴趣在sphericalfunctions Lam functions andBesselfunctions 发表超过50篇论文 Borel 1871 1956 法国数学家 主要研究为测度论 概率论 Borel集是其提出的典型集合 oneofthefoundersofthetheoryoffunctionsofrealvariables http www cartage org lb en themes Biographies MainBiographies H Heine 1 htmlAugustin LouisCauchy 1789 1857 法国数学家 积分定义为和的极限 无穷级数的收敛发散判别 定义了 行列式 及运算等 听雨尘心 含藏识 读书博客 5 二元函数的定义 回忆 点集D 定义域 值域 x y 自变量 z 因变量 类似地可定义三元及三元以上函数