高考数学总复习 第三篇 三角函数、解三角形第3讲 导数的综合应用课件 理.ppt

2014年高考浙江会这样考 1 考查利用导数研究函数的零点问题 2 考查导数与函数 不等式等相结合的问题 3 考查利用导数解决生活中的优化问题 第3讲导数的综合应用 考点梳理1 利用导数解决实际生活中的优化问题 1 分析实际问题中各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 并确定定义域 2 求导数f x 解方程f x 0 3 判断使f x 0的点是极大值点还是极小值点 4 确定函数的最大值或最小值 还原到实际问题中作答 2 利用导数解决函数与方程问题研究函数图象的交点 方程的根 函数的零点 归根到底还是研究函数的性质 如单调性 极值 然后通过数形结合的思想找到解题的思路 因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识 3 导数与不等式相结合的问题求解不等式恒成立问题时 可以考虑将参数分离出来 将参数范围转化为研究新函数的值域问题 助学 微博 一个方法利用导数方法证明不等式f x g x 在区间d上恒成立的基本方法是构造函数h x f x g x 然后根据函数的单调性 或者函数的最值证明函数h x 0 其中一个重要技巧就是找到函数h x 在什么地方可以等于零 这往往就是解决问题的一个突破口 两个转化 1 利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题 要注意分类讨论和数形结合思想的应用 2 将不等式的证明 方程根的个数的判定转化为函数的单调性 极值问题处理 两点提醒 1 注意实际问题中函数定义域的确定 2 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 考点自测1 2011 辽宁 函数f x 的定义域为r f 1 2 对任意x r f x 2 则f x 2x 4的解集为 a 1 1 b 1 c 1 d 解析 f x 2 f x 2 0 函数f x 2x是增函数 f x 2x 4 f 1 2 1 x 1 故选b 答案b 答案c 3 2013 广州调研 若函数f x x3 3x a有3个不同的零点 则实数a的取值范围是 a 2 2 b 2 2 c 1 d 1 解析由于函数f x 是连续的 故只需要两个极值异号即可 f x 3x2 3 令3x2 3 0 则x 1 只需f 1 f 1 0 即 a 2 a 2 0 故a 2 2 答案a 4 2012 全国 已知函数y x3 3x c的图象与x轴恰有两个公共点 则c a 2或2b 9或3c 1或1d 3或1 解析 y 3x2 3 当y 0时 x 1 则x y y的变化情况如下表 答案a 解析当x 2时 f x 3 x 1 2 0 说明函数在 2 上单调递增 函数的值域是 1 函数在 2 上单调递减 函数的值域是 0 1 因此 结合图形要使方程f x k有两个不同的实根 则0 k 1 答案 0 1 考向一利用导数研究函数的零点或方程的根 例1 2012 宁波第二次模拟 已知函数f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 审题视点 分别求出f x 的极大 极小值 使y m界于极大值与极小值之间 2 因为f x 在x 1处取得极值 所以f 1 3 1 2 3a 0 a 1 所以f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0解得x 1或1 由 1 中f x 的单调性可知 f x 在x 1处取得极大值f 1 1 在x 1处取得极小值f 1 3 因为直线y m与函数y f x 的图象有三个不同的交点 结合f x 的单调性画出图象 如图所示 可知 m的取值范围是 3 1 方法锦囊 研究方程的根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 并借助函数的大致图象判断方程根的情况 这是导数这一工具在研究方程中的重要应用 审题视点 先确定汽车从甲地到乙地行驶的时间 才能列出耗油量关于时间的关系式 方法锦囊 求实际问题中的最大值或最小值时 一般是先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数的最值的方法求解 注意结果应与实际情况相结合 用导数求解实际问题中的最大 小 值时 如果函数在开区间内只有一个极值点 那么依据实际意义 该极值点也就是最值点 1 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的r 审题视点 1 求导数f x 判断f x 0或f x xlnx x3 求xlnx x3的最大值 x 1 时 h x 0 h x 在 1 上是减函数 h x h 1 2 0 即g x 0 g x 在 1 上也是减函数 g x g 1 1 当a 1时 f x x2在 1 上恒成立 方法锦囊 1 求函数的单调区间 直接求导 然后解不等式即可 注意函数的定义域 2 参数问题涉及的有最值恒成立的问题 单调性的逆向应用等 求解时注意分类讨论思想的运用 审题视点 1 求导 列表 判断函数的单调性 写出单调区间 2 由函数的单调性和函数的零点判断 得到不等式组求解出参数范围 3 结合第 1 问函数的单调区间 根据所给的区间的不同位置进行分类讨论 求出函数的最大值和最小值 从而表示出函数g t 的解析式 并求出g t 的最值 解 1 f x x2 1 a x a x 1 x a 由f x 0 得x 1或x a a 0 当x变化时f x 与f x 的变化情况如下表 方法锦囊 近年来 高考对函数与导数大部分是以压轴题的形式考查的 试题难度较大 命题角度新颖 需要考生把生疏的问题通过分析转化为熟悉的问题 考查考生分析 解决问题的能力 训练4 2012 湖南 已知函数f x ex ax 其中a 0 1 若对一切x r f x 1恒成立 求a的取值集合 2 在函数f x 的图象上取定两点a x1 f x1 b x2 f x2 x1 x2 记直线ab的斜率为k 证明 存在x0 x1 x2 使f x0 k成立 1 解f x ex a 令f x 0得x lna 当x lna时 f x 0 f x 单调递减 当x lna时 f x 0 f x 单调递增 故当x lna时 f x 取最小值f lna a alna 于是对一切x r f x 1恒成立 当且仅当a alna 1 令g t t tlnt 则g t lnt 当0 t 1时 g t 0 g t 单调递增 当t 1时 g t 0 g t 单调递减 故当t 1时 g t 取最大值g 1 1 因此 当且仅当a 1时 式成立 综上所述 a的取值集合为 1 规范解答5高考中导数与不等式的交汇问题 命题研究 通过近三年的高考试题分析