例谈整体思想在三角函数中的应用.doc

例谈整体思想在三角函数中的应用宜昌市夷陵区东湖高中 冯华玲 整体的思想方法就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征,而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上,通过对其全面深刻的观察,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的构造与整合，从而使问题化难为易,化繁为简，,提高解题效率。整体思想是一种重要的数学思想，这种思想方法在解决一些问题时有着非常重要的应用,常可使许多按常规方法解比较麻烦甚至不可解的问题得到快速便捷的解答。下面就整体思想在三角函数中的应用谈谈自己的看法。例1 已知函数yacos3，x的最大值为4，求实数a的值解x，2x，1cos.当a0，cos时，y取得最大值a3，a34，a2.当a0，cos1时，y取得最大值a3，a34，a1，综上可知，实数a的值为2或1.在该题中，是由部分x到整体2x。x表示一个角，2x也表示一个角。应由部分的范围求出整体的范围，其中将2x看成一个整体角，由它的范围根据三角函数的知识得出cos的范围进而解题，这也是解该题的一个难点。学生难以理解，往往容易不管范围直接解题，默认1cos1，从而导致错误。在教学中要让学生认识x和2x都表示角，并明白两角间的关系。例2在已知函数f(x)Asin(x)，xR的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式；(2)当x时，求f(x)的值域解(1)由最低点为M得A2. 由x轴上相邻两个交点之间的距离为，得，即T，2. 由点M在图象上得2sin2， 即sin1，故2k(kZ)，2k(kZ)又，故f(x)2sin.(2)x， 2x，当2x，即x时，f(x)取得最大值2；当2x，即x时，f(x)取得最小值1，故f(x)的值域为1,2例2中的第2问也用到了整体思想，由以上两个例题可知由部分范围求整体范围在三角函数的解题中常用来求三角函数的最值或值域。求函数f(x)Asin(x)在区间a，b上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如yAsin(x)k的形式或yAcos(x)k的形式第二步：由x的取值范围确定x的取值范围，再确定sin(x)(或cos(x)的取值范围第三步：求出所求函数的值域(或最值)例3已知函数f(x)sin (xR). 求f(x)的单调减区间；解由已知函数化为ysin.欲求函数的单调递减区间，只需求ysin的单调递增区间由2k2x2k (kZ)，解得kxk (kZ)，原函数的单调减区间为 (kZ)例3中求函数的单调减区间中先是将2x看成一个整体的角，通过它的范围求出x的范围，是由整体到部分。例4已知函数f(x)Asin(x)的周期为，且图象上有一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式； (2)求使f(x)成立的x的取值集合解(1)由题意知：A3，2，由3sin3, 得2k，kZ，即2k，kZ.而0，所以k1，.故f(x)3sin.(2)f(x)等价于3sin ，即sin，于是2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，故使f(x)成立的x的取值集合为.例4中第2问也是先将看成一个整体，由整体的范围求出x的范围，即已知值域求定义域。例5已知函数f(x)cos2sinsin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；解f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.最小正周期T，由2xk(kZ)，得x(kZ)函数图象的对称轴为x(kZ)例5中求对称轴中需将2x看成一个整体的角，从而求出其对称轴。例1,2是由部分到整体，例3,4，5都是由整体到部分，无论是部分到整体还是整体到部分，其中都有一个整体思想。为什么要用整体思想呢？因为我们学习三角函数sinx,cosx,tanx