《1.1 正弦定理》教学案3.doc

第2课时正弦定理(2)教学案(教师用书独具)三维目标1.知识与技能(1)学会利用正弦定理解决有关平面几何问题以及判断三角形的形状，掌握化归与转化的数学思想；(2)能熟练运用正弦定理解斜三角形2.过程与方法通过解斜三角形进一步巩固正弦定理，让学生总结本节课的内容3情感、态度与价值观(1)培养学生在方程思想指导下处理解斜三角形问题的运算能力； (2)培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力重点、难点重点：利用正弦定理判断三角形形状难点：灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式教学时要抓住知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合三角形中的边角关系，不断地观察、比较、分析，总结判断三角形形状的方法，揭示其中的规律教学方案设计(教师用书独具)教学建议 本节内容安排在学生学习了正弦定理之后，是对正弦定理的应用和深化因此，建议本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的应用”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新教学流程课前自主导学(对应学生用书第4页)课标解读1.理解正弦定理，能用正弦定理解三角形(重点)2能运用正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(难点)知识1正弦定理的深化与变形【问题导思】在正弦定理的表达式中，其中比值的几何意义是什么？探索并证明你的结论【提示】比值是ABC外接圆的直径，可先对直角三角形探索，并推广到一般三角形，其证明过程如下：若ABC为锐角三角形，如图所示，连结BD.A与D对应，AD，.又，DBC90，2R.若ABC为钝角三角形，不妨设B90，如图所示，连结BD.A与D对应，AD，.又，DBC90，2R.正弦定理经常变形如下，以便于边角互化(1)2R；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(3)，；(4)abcsin Asin Bsin C；(5).知识2三角形的面积公式【问题导思】1在ABC中，已知BCa，高ADh，如何计算ABC的面积S？【提示】Sah.2在ABC中，已知BCa，ACb，角C已知，你能否求出ABC的面积？【提示】hADbsin C，SABCahabsin C.SABCabsin Cbcsin Acasin B. 课堂互动探究(对应学生用书第4页)类型1求三角形的面积例1在ABC中，A120，AB5，BC7，求ABC的面积【思路探究】画图，由图形可知，不能直接利用面积公式，应由正弦定理求出sin C，从而求出sin B.【自主解答】由正弦定理，得，sin C，且C为锐角，cos C，sin Bsin (180120C)sin (60C)sin 60cos Ccos 60sin C.SABCABBCsin B57.即ABC的面积为.规律方法1由于A90，所以B，C均为锐角，应避免对角C分类讨论2利用两边一夹角公式求ABC的面积，应注意已知条件是否符合公式要求，即两边及它们的夹角，否则不能乱用变式训练ABC中，B30，AB2，AC2，则ABC的面积是_【解析】由正弦定理，得sin C.C60或C120.当C60时，A90，SABCABACsin A2；当C120时，A30，SABCABACsin A.故ABC的面积是2或.【答案】2或类型2判断三角形的形状例2在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若bacos C，试判定ABC的形状【思路探究】利用正弦定理的变形，将边化为角，再利用三角形内角和定理及三角恒等变换进行转化【自主解答】bacos C，由正弦定理得sin Bsin Acos C.B(AC)，sin(AC)sin Acos C.即sin Acos Ccos Asin Csin Acos C，cos Asin C0.A、C(0，)，cos A0，A，ABC为直角三角形规律方法1确定三角形的形状主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边2确定三角形形状的思想方法：先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边关系，再由三角变形或代数变形分解因式，判定形状在变形过程中要注意等式两端的公因式不要约掉，应移项提取公因式，否则会有漏掉一种解的可能互动探究若将条件“bacos C”换为“bcos Aacos B”，试判断ABC的形状【解】bcos Aacos B，sin Bcos Asin Acos B，sin(AB)0，AB0，AB，ABC为等腰三角形类型3正弦定理的实际应用例3台风中心位于某城市正东方向300 km处，并以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250 km的范围内将会受其影响如果台风风速不变，那么该城市在多长时间后开始受到台风的影响？这种影响将持续多长时间？(精确到0.1 h)【思路探究】本题实质上是三角形中已知两边和其中一边所对的角，解三角形问题【自主解答】如图所示，该城市位于点A，台风中心点B在点A的正东方向300 km处，以40 km/h的速度向西北方向移动设经过t1小时，该城市受到影响，经过t2小时，台风刚好离开，城市受影响的时间为t小时则在ABC1中，AB300 km，AC1250 km，AC2250 km，BC140t2 km，B45，由正弦定理得，即sinAC1B0.8485，AC1B58.05，AC2B121.95.当AC1B58.05时，C1AB180(BAC1B)76.95，BC1344.42(km)，此时t28.6(h)同理，当AC2B121.95时，BC279.83(km)，t12.0(h)tt2t18.62.06.6(h)答：约2小时后该城市开始受到台风影响，持续时间约为6.6 h.规律方法1解决正弦定理的实际应用问题的关键是根据题意将已知量置于可解的三角形中，通过正弦定理与其他知识解三角形后，根据实际问题得出结论2以三角形为数学模型求解实际问题时，要正确使用仰角，俯角，方位角，方向角等概念，依此得出相应的三角形内角的大小变式训练甲船在A点发现乙船在北偏东60的B点处，测得乙船以每小时a海里的速度向正北行驶已知甲船的速度是每小时a海里，则甲船应如何航行才能最快地与乙船相遇？【解】如图所示，设这两船最快在C点相遇，在ABC中，B120，AB为定值，AC，BC分别是甲船与乙船在相同时间内的行程，由已知条件有ACBCaa1，由正弦定理得sin CABsin Bsin 120，又0CAB60，CAB30.故甲船的航向是北偏东60CAB603030.故甲船向北偏东30的方向航行，才能最快地与乙船相遇易错易误解析(对应学生用书第5页)判断三角形形状时忽略隐含条件而致误典例在ABC中，(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状【错解】由已知得a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，所以2a2cos Asin B2b2cos Bsin A.由正弦定理，得sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0，所以sin 2Asin 2B.所以2A2B，即AB.所以ABC为等腰三角形【错因分析】解题过程中忽略角的范围这一限制条件，约分时应指出sin A0，sin B0.同时由sin 2Asin 2B及角2A，2B的范围应得出两种情况：2A2B或2A2B.出现上述错误的主要原因就是三角函数的知识掌握得不扎实【防范措施】在进行有关三角形内角的三角恒等变换时，先讨论角的范围，然后在所求范围内，由三角恒等式讨论角的关系【正解】由(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，得a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，所以2a2sin Bcos A2b2sin Acos B.由正弦定理得sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B.因为A，B(0，)，所以sin A0，sin B0，所以sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B.因为02A2，02B2，所以2A2B或2A2B，所以AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形1基础知识：(1)三角形面积公式；(2)正弦定理的深化及变化2基本技能：(1)求三角形的面积； (2)判断三角形形状；(3)正弦定理的综合应用与实际应用3思想方法：(1)转化与化归思想；(2)数学建模；(3)公式法求面积当堂双基达标(对应学生用书第6页)1ABC中，a5，b3，C120，则sin Asin B_.【解析】sin Asin Bab53.【答案】532已知ABC中，AB6，A30，B120，则ABC的面积为_【解析】由，得BC6，SABCABBCsin B9.【答案】93在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离是_千米【解析】如图所示，C180607545.由正弦定理得ACAB2.【答案】4在ABC中，已知a，b，c分别是角A、B、C的对边，若，试判断ABC的形状【解】由正弦定理得，所以，sin Acos Asin Bcos Bsin 2Asin 2B2A2B或2A2BAB或AB，ABC是等腰三角形或直角三角形.课后知能检测(对应学生用书第80页)一、填空题1(2013岳阳高二检测)在ABC中，sin Asin Bsin C324，则A、B、C分别所对边abc_.【解析】abcsin Asin Bsin C324.【答案】3242(2013无锡检测)ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，A60，AC2，SABC，则AB_.【解析】SABCABACsin AAB2AB，AB，AB3.【答案】33(2013南通检测)在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin Acos Csin B，则_.【解析】2sin Acos Csin(AC)sin Acos Ccos Asin Csin Acos Ccos Asin C0，sin(AC)0.AC，1.【答案】14在ABC中，若，则ABC一定是_三角形【解析】，sinsinsin.0，90，ABC，ABC为等边三角形【答案】等边5在ABC中，a15，b10，A60，则cos B_.【解析】，sin B.ba，BA，B为锐角，cos B.【答案】6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，m(a2，b2)，n(tan A，tan B)，且mn，那么ABC一定是_三角形【解析】mn，a2tan Bb2tan A，sin2Atan Bsin2B tan A，sin 2Asin 2BAB或AB，ABC是等腰或直角三角形【答案】等腰或直角7(2013德州高二检测)ABC中，B60，最大边与最小边之比为(1)2，则最大角为_【解析】设最小角为，则最大角为120，2sin(120)(1)sin ，sin cos ，45，最大角为1204575.【答案】758在ABC中，A，BC3，则ACAB的取值范围是_【解析】根据正弦定理，得AC2sin B，AB2sin C，ACAB2(sin Bsin C)2sin Bsin(B)2(sin Bcos Bsin B)6sin(B)0B，B，sin(B)1，36sin(B)6.ACAB的取值范围是(3，6【答案】(3，6二、解答题9(2013如皋检测)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，cos A，b.(1)求sin C的值；(2)求ABC的面积【解】(1)cos A，sin A，sin Csin(AB)(34)(2)由正弦定理，a，Sabsin C.10在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断三角形的形状【解】A、B、C是三角形的内角，A(BC)，sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C.sin Bcos Ccos Bsin C0，sin(BC)0.又0B，0C，BC，BC.又sin2Asin2Bsin2C，且a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，(R为ABC外接圆的半径)可得a2b2c2，A是直角，ABC是等腰直角三角形11在ABC中，若C3B，求的取值范围【解】由正弦定理可知cos 2B2cos2B4cos2B1.又因为ABC180，C3B，故0B45，cos B1，所以cos2B1，所以14cos2B13，故13.即的取值范围是(1，3)教师备课资源(教师用书独具)备选例题在ABC中，求证.【思路探究】由正弦定理把等式左边统一为角的三角函数，通过三角变换证明【证明】由正弦定理2R，得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.左边右边所以.备选变式 如图所示，D是直角三角形ABC的斜边BC上的一点，且ABAD，记CAD，ABC.(1)求证sin cos 20；(2)若ACDC，求的值【解】