(高年级 老师用)第八讲：周期问题.doc

品淘奥数（高年段 老师用）第八讲：周期问题专题简析：在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现。如：人的12生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期有七天等等。像这些问题，我们称为“简单周期问题”。这一类问题一般要利用余数的知识来解答。所以这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。小试牛刀1、2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？分析与解答：我们知道，每个星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。那么从10月1日到10月25日经过了25-1=24（天）。因此用除法算式解答。（1）、从10月1日到10月25日有：25-1=24（天），（2）、24天里有多少个星期余多少天？247=3（个星期）3（天），（说明24天中包含3个星期还多3天，最后一天起，再过3天就应是星期四）。即：10月25日是星期四。2、2008年8月1日是星期五，问9月28日是星期几？分析与解答：分析同上题。（1）、从8月1日到9月28日有：31+28-1=58（天），（2）、58天里有多少个星期余多少天？587=8（个星期）2（天），（说明58天中包含8个星期还多2天，最后一天起，再过2天就应是星期日）。即：9月28日是星期日。3、1996年8月1日是星期四，问1996年的元旦是星期几？分析与解答：题目分析与上题类似。（1）、从8月1日到该年的元旦即1月1日有：314+29+302=213（天），（2）、213天里有多少个星期余多少天？2137=30（个星期）3（天），（说明213天中包含30个星期还多3天，最后一天起，再往前推3天就应是星期一）。即：1996年的元旦是星期一。4、如果公元2011年是兔年，那么公元6年是什么年？分析与解答：十二生肖是以12年为一年周期。（1）、从2011年到公元2年有：2011-6=2005（年），（2）、2005年里有多少个十二年余多少年？200512=167（个十二年）1（年），（说明2005年中包含167个十二年还多1天，最后一年起，再往前推1年就应是虎年）即：公元6年是虎年。5、黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如下图： 这串珠子中，最后一颗珠子应该是_色的,这种颜色的珠子在这串中共有_颗。分析与解答：根据图示可知,若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三色”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4。由(102-1)4=251，可知循环25个周期，最后一颗珠子是黑色的.黑色珠子共有125+1=26(颗)。挑战自我1、100个3相乘，积的个位数字是几？分析与解答：我们只需考虑积的个位数的排列规律就可以了。（1）、13=31个3相乘积的个位数字是：3 （2）、33=92个3相乘积的个位数字是：9 （3）、333=273个3相乘积的个位数字是：7 （4）、3333=814个3相乘积的个位数字是：1 （5）、33333=2435个3相乘积的个位数字是：3（已经重复出现）（说明：可以发现积的个位数分别以3、9、7、1不断出重复出现的。即每4个3的积的个位数为一个周期。）所以100个有多少个周期？1004=25（个）（整除说明是最后一个即个位为1）答：积的个位数字是1。2、 流水线上生产小木珠涂色的次序是:先5个红,再4个黄,再3个绿,再2个黑,再1个白,然后再依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白,继续下去第1993个小珠的颜色是什么颜色？分析与解答：小木球是依次按5红,4黄,3绿,2黑和1白的规律涂色的,把它看成周期性问题,每个周期为15。由199315=13213知，第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色。3、有一列数按“432791864327918643279186”排列。那么前54个数字之和是多少？分析与解答：观察发现，重复出现的部分是“43279186”，周期数是8。要求出这列数字的和，就要求出这一列数里共有多少组“43279186”，再求出这组的和。（1）、548=6（组）6（个）；（2）、4+3+2+7+9+1+8+6=40；（3）、640=240；（4）、余下的6个数的和为：4+3+2+7+9+1=26；（5）、240+26=266。答：前54个数字之和是266。4、按下面摆法摆80个三角形,有几个白色的？ 分析与解答：从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个白色三角形。因为806=132，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形133=39（个）。5、河岸上种了1000棵树，第一棵是蟠桃，再后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下来总是一棵蟠桃，两棵水蜜桃，三棵大青桃这样种下去。问第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？分析与解答：由题意可知，1蟠2蜜3青，以6为一个周期。1006=16余4。所以，第100棵与第四棵是一样的桃，即是大青桃。10006=166余4。余下那四个分别是一棵蟠桃、2棵水蜜桃、1棵大青桃。所以，蟠桃共有166+1=167棵；水蜜桃共有1662+2=334棵；大青桃共有1663+1=499棵。智慧一加一1、紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数。例如89=72,在9后面写2,92=18,在2后面写8,得到一串数字:1 9 8 9 2 8 6这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？分析与解答：依照题述规则多写几个数字:1989286884286884可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6。因为(1989-4)6=3305，所以所求数字是8。2、7777所得积末位数是几？ 50个分析与解答：71末位数为7,72末位数为9,73末位数为3, 74末位数1；75=74+1末位数为7,76=74+2末位数为9，77=74+3末位数为3，78=742末位数为1由此可见，积的末位依次为7，9，3，1，7，9，3，1，以4为周期循环出现。因为504=122，即750=，所以750与72末位数相同，也就是积的末位数是9。3、1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？分析与解答：1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是：61,51,41,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为199010=199,所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01。4、甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色。首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底。最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为多少厘米？分析与解答：根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白交替进行；乙按白、黑，白、黑交替进行，如下图所示：甲乙60cm1cm3cm5cm4cm2cm由上图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应