《1.2.2组合》教学案1.doc

1.2.2组合教学案教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合.明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题.过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数与组合数 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力.教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式教学过程：一、复习引入：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 3排列的概念：从个不同元素中，任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列4排列数的定义：从个不同元素中，任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示5排列数公式：()6阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定7排列数的另一个计算公式：= 8提出问题： 示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同例1判断下列问题是组合还是排列(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？(5)10个人互通电话一次，共多少个电话？问题：(1)1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？(2)什么样的两个组合就叫相同的组合2组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示3组合数公式的推导：(1)从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下： 组 合 排列 由此可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步： 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个； 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法由分步计数原理得：，所以，(2)推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步： 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数； 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：(3)组合数的公式：或 规定: .三、讲解范例：例1用计算器计算解：由计算器可得 例2计算：(1)； (2)； (1)解： 35；(2)解法1：120解法2：120例3求证：证明：例4设 求的值解：由题意可得： ，解得， 或或，当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值为11所求值为4或7或11例5 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人问： (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于(1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于( 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题解： (1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C 手 12 376 (种) . (2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有种选法；第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有种选法所以教练员做这件事情的方法数有=136136(种).例6(1)平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有 (条).(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有(条).例7在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有= 161700 (种). (2)从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有=9506(种).(3)解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有+=9 604 (种) . 解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即=161 700-152 096 = 9 604 (种). 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解.变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？(1)甲、乙、丙三人必须当选； (2)甲、乙、丙三人不能当选；(3)甲必须当选，乙、丙不能当选； (4)甲、乙、丙三人只有一人当选；(5)甲、乙、丙三人至多2人当选； (6)甲、乙、丙三人至少1人当选；四、组合数的两个性质组合数的性质1：一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数，即：在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：又 ，说明：规定：；等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化.例如=2002；或2组合数的性质2：+一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有含有的组合是从这n个元素中取出m -1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想证明： + 说明：公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数； 此性质的作用：恒等变形，简化运算 例8一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)，或，；(2)；(3)例9(1)计算：；(2)求证：+解：(1)原式；证明：(2)右边左边例13解方程：(1)；(2)解方程：解：(1)由原方程得或，或，又由得且，原方程的解为或上述求解过程中的不等式组可以不解，直接把和代入检验，这样运算量小得多.(2)原方程可化为，即，解得或，经检验：是原方程的解 例10证明：.证明：原式左端可看成一个班有个同学，从中选出个同学组成兴趣小组，在选出的个同学中，个同学参加数学兴趣小组，余下的个同学参加物理兴趣小组的选法数.原式右端可看成直接在个同学中选出个同学参加数学兴趣小组，在余下的个同学中选出个同学参加物理兴趣小组的选法数.显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立.例11证明：(其中).证明：设某班有个男同学、个女同学，从中选出个同学组成兴趣小组，可分为类：男同学0个，1个，个，则女同学分别为个，个，0个，共有选法数为.又由组合定义知选法数为，故等式成立.例12证明：.证明：左边=，其中可表示先在个元素里选个，再从个元素里选一个的组合数.设某班有个同学，选出若干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长.把这种选法按取到的人数分类()，则选法总数即为原式左边.现换一种选法，先选组长，有种选法，再决定剩下的人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有种，所以选法总数为种.显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立.五、小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理 六、教学反思：排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗.教科书在研究组合数的两