高中数学必修4第二章平面向量基础训练题含答案.doc

平面向量平面向量 基础训练 含答案 基础训练 含答案 姓名 班级 1 已知 12 则向量在向量上的夹角余弦为 3a 5b a b ab 2 设是函数的图像上任意一点 过点分别向直线和轴P 2 0 yxx x Pyx y 作垂线 垂足分别为 则的值为 A BPA PB 3 已知 2 3 4 7 则在方向上的投影为 a b b a 4 已知点 A 1 1 B 3 0 C 2 1 若平面区域 D 由所有满足 AP AB 1 2 0 1 的点 P 组成 则 D 的面积为 AC 5 已知 则向量与向量的夹角为1a 1 3b baa a b 6 平面向量 a b 中 若 4 3 1ab 且5a b 则向量b 7 已知 和的夹角为 以为邻边作平行四边形 则该四 2 4ab a b 3 a b 边形的面积为 8 已知 以为邻边的平行四边形的面积为 则和的夹 2 4ab a b 4 3a b 角为 9 如图 在 中 已知 ABC 3 BAC 2AB 3AC 2DCBD 则 3AEED BE 10 如图 在 中 已知 ABC 3 BAC 2AB 3AC 2DCBD 则 3AEED BE 11 已知 是以原点为圆心的单位圆上的两点 111 P x y 222 P xyO 为钝角 若 则的值为 12 POP 3 sin 45 1212 x xy y 12 在直角三角形中 90 若点满足ABCC6AC 4BC D 则 2ADDB CD 13 在直角三角形中 90 若点满足ABCC6AC 4BC D 则 2ADDB CD 14 P 是圆 C x 1 2 y 2 1 上的一个动点 A 1 则的最小值 为 15 在直角三角形中 ACB 90 AC BC 2 点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点 则 16 在 ABC 中 M 是 BC 的中点 AM 3 BC 10 则 17 在平行四边形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 交于点 O 则 18 设 向量且 则 19 已知正方形的边长为 记以为起点 其余顶点为终点的向量分别为 ABCD1A 1 a 若且 则的所有可能取值为 2 a 3 a 1 2 3 i j ij ij aaCD 20 如图 在梯形中 ABCD 点是边上一动点 则AB DCADAB 1 2 2 ADDCAB NCD 的最大值为 AN AB N D C BA 21 在 Rt ABC 中 CA CB 2 M N 是斜边 AB 上的两个动点 且 MN 则2 的取值范围为 CM CN 22 已知A B C是三角形ABC 三内角 向量 1 3 m cos sin nAA 且1m n 求角A 若 22 1sin2 3 cossin B BB 求tan B 23 设向量 1 e和 2 e是夹角为 60的两个单位向量 则向量 21 2ee 的模为 24 在ABC 中 3 4 5ABACBC O 为ABC 的内心 且 AOABBC 则 25 在平面直角坐标系中 已知点的坐标为 点满足xOyA 3 aa RP 则线段在轴上的投影长度的最大值为 OPOA R 72OAOP OPx 26 已知 且关于x的方程有实根 则与的夹角02 ba 2 0 xa xa b ab 的取值范围是 27 设 向量 且 则 x R 1 ax 1 2 b ab ab 28 设 向量 且 则 x R 1 ax 1 2 b ab ab 29 已知向量 若 3 4 OA 6 3 OB 5 3 OCmm 三点共线 则实数的值为 ABC m 30 如图所示 在边长为 2 的正六边形中 动圆的半径为 1 圆心在线ABCDEFQ 段 含端点 上运动 是圆上及内部的动点 设向量CDPQ 为实数 则的最大值为 APmABnAF m n mn 31 如图 在直角梯形 ABCD 中 AB CD AB 2 AD DC 1 P 是线段 BC 上一动点 Q 是线段 DC 上一动点 则的取值范围是 1 DQDC CPCB AP AQ 32 已知 则与的夹 2 0OB 2 2OC 2cos2sin CA OA OB 角的取值范围是 33 在直角三角形ABC中 90C 4 AC 则 ACAB 34 已知 与的夹角为 2 1ab a b 3 1 2 若向量与垂直 则 k 的值为 a b 2akb ab 35 设为单位向量且夹角为 若向量与垂直 则的值为 12 e e 0 60 12 eke 12 2ee k 36 已知是两个单位向量 若向量 则向 12 e e 1212 2 34 6aee beea b 且 量与的夹角是 1 e 2 e 12 e e 1212 2346aeebeea b 且 1 e 2 e 38 如图是直角边等于 4 的等腰直角三角形 是斜边的中点 ABC DBC 向量的终点在的内部 不含边界 则实数 1 4 AMABm AC AM MACD 的取值范围是 m D C BA 39 在ABC 中 1 4 AMABm AC 向量AM 的终点M在ABC 的内部 不 含边界 则实数m的取值范围是 40 已知向量 若 在向量上的投影相等 且 2 1 a 1 2 b a b c 则向量的坐标为 5 2 cacb c 41 已知向量 若 在向量上的投影相等 且 2 1 a 1 2 b a b c 则向量的坐标为 5 2 cacb c 42 如果三点共线 那么的值为 3 1 2 8 11ABKC K 43 设 且 a b 则锐角 为 3 sin a 3 cos b 44 设向量与的夹角为 且 则a b 3 3 a 1 1 2 ab cos 45 已知点 A 1 5 和向量 则点 B 的坐标为 6 9 AB 46 已知四边形是边长为的正方形 若 则ABCD32DEEC 2CFFB 的值为 AE AF 已知四边形是边长为的正方形 若 则ABCDa2DEEC 2CFFB 的值为 AE AF 47 设向量 且 则 cos 1 OA tan 2 1 OB 2 3 2 OBOA 48 OA为边 OB为对角线的矩形中 3 1 OA 2 OBk 则实数 k 49 已知向量 1 0 4 3 ba 则向量a在向量b的方向上的投影是 50 在正三角形 ABC 中 D 是 BC 上的点 AB 3 BD 1 则 51 已知椭圆分别是椭圆的上 下顶点 B 是左顶点 F 为左焦点 CA yx 1 34 22 直线 AB 与 FC 相交于点 D 则的余弦值是BDF 52 若的夹角为 4 0 2 2 ABACACBC 则与 53 若 则 x 2 2 3 4 5 abxxa 若b 54 我们定义 为向量与向量的 外积 若向量与向量的夹角为 a b a b a b 它的长度规定为 现已知 则 sina ba b 4 3 2aba b a b 55 在水流速度为的河流中 有一艘船正沿与水流垂直的方向以的速4 km h8 km h 度航行 则船自身航行速度大小为 hkm 56 已知向量 若向量与平行 则 a 1 2 b 3 2 bak ba3 k 57 若 点的坐标为 则点的坐标为 3 4 AB A 2 1 B 58 在 ABC中 D是BC的中点 AD 8 BC 20 则AB AC 的值为 59 如图 在 ABC中 BO为边AC上的中线 2BGGO 设CD AG 若 1 5 ADABAC R 则 的值为 A B C D O G 60 如图 在中 是边上一点 ABC 1 2 120 ACABBAC DBC 则 BDDC2 BCAD 61 已知向量 若 则 a 1 2 xx 2b x1 ab x 62 已知向量 满足 且 则与的夹角为 a b 1a 3b 32aba a b 63 已知平行四边形ABCD中 点E为CD的中点 AMmAB ANnAD 若 则 0m n MN BE n m 64 甲 乙两位同学参加 2014 年的自主招生考试 下火车后两人共同提起一个行李包 如图所示 设他们所用的力分别为 行李包所受重力为 若 21 F FG 则与的夹角的大小为 2 2 21 GFF 1 F 2 F G 1 F 2 F G 1 F 2 F 65 如图 设 且 当时 定义平面坐标系为 仿 0 2 xoyxoy 射坐标系 在 仿射坐标系中 任意一点的斜坐标这样定义 分别为与轴 P 21 e ex 轴正向相同的单位向量 若 则记为 那么在以下的结y 21 eyexOP yxOP 论中 正确的有 填上所有正确结论的序号 设 若 则 nma tsb ba tnsm 设 则 nma 22 nma 设 若 则 nma tsb ba 0 nsmt 设 若 则 nma tsb ba 0 ntms 设 若与的夹角 则 2 1 a 1 2 bab 3 3 2 66 若是夹角为的单位向量 且 则 12 e e 3 12 2 aee 12 32 bee a b 67 已知向量 则向量与的夹角为 2a 1b 1a b a ab 68 已知 为直线 上不同的三点 点直线 实数满足关系式ABClO lx 有下列命题 2 20 x OAxOBOC 2 0OBOC OA 2 0OBOC OA 的值有且只有一个 的值有两个 xx 点是线段的中点 BAC 则正确的命题是 写出所有正确命题的编号 69 已知向量若 则 m 1 1 3 abm aab 70 如图 在直角梯形中 ABCD AB CDABBC 2AB 1CD 为线段 含端点 上一个动点 设 记2BC PADAPxAD PB PCy 则 函数的值域为 yf x 1f f x A B D C P 参考答案参考答案 1 4 5 解析 124 cos 3 55 a b a b a b 考点 平面向量的数量积 模 夹角 2 1 解析 试题分析 设 则 过点且与直线 000 0 2 0P x xx x 0 0 2 0 Bx x 00 0 2 P x x x 垂直的直线方程为 与直线联立可得yx 00 0 2 yxxx x yx 所以 则 00 00 11 A xx xx 0 00 11 0PAPBx xx 1PA PB 考点 向量的数量积 3 13 解析 试题分析 22 2 4 3 7 13 23 a b a 考点 向量的投影 4 3 解析 设 P x y 且 2 1 1 2 AB AC 1 1 2 1 1 2 OP OA AP 12 12 x y 323 323 yx xy 又 1 2 0 1 表示的可行域是平行四边形及内部 023 629 xy xy 如图 点 B 3 0 到直线 x 2y 0 的距离 d 又 BN 3 5 5 5 区域 D 的面积 S 3 3 5 5 5 5 3 解析 试题分析 由题意知 2 2 132b 2 0baabaaa ba 即 即 2 cos 0aba ba 2 1 1 2 cos 10cos 2 a ba b 因此向量与向量的夹角为 0 a b 3 a b a b 3 考点 1 平面向量垂直条件的转化 2 平面向量的数量积 3 平面向量的夹角 6 43 55 解析 试题分析 解 设向量由题意得 解之得 bx y 22 1 435 xy xy 4 5 3 5 x y 所以 所以 答案应填 43 55 b 43 55 考点 1 向量的模 2 向是的数量积 7 4 3 解析 试题分析 由已知得 平行四边形面积为 sin 2 4sin4 3 3 a ba b 考点 平面向量的数量积 夹角 模 平行四边形的面积 8 或 3 2 3 解析 试题分析 由已知得 sin 2 4sin 4 3a ba ba b 所以 和的夹角为或 3 sin 0 2 a ba b a b 3 2 3 考点 平面向量的数量积 夹角 模 平行四边形的面积 9 13 4 解析 试题分析 因为 所以3AEED 1313 11111 4444 34424 BEBABDBABCBABAACABAC 因此 22211111313 23 41642164 BEABACBE 考点 向量表示 10 13 4 解析 试题分析 因为 所以3AEED 1313 11111 4444 34424 BEBABDBABCBABAACABAC 因此 22211111313 23 41642164 BEABACBE 考点 向量表示 11 2 10 解析 试题分析 因为 所以 121212 cosx xy yOP OP 因为 所 2 coscos cos sin 44244 35 2444 以 42 cos cos 4510 考点 同角三角函数关系 向量数量积 12 10 解析 试题分析 在垂直的条件下 建系求解是最佳选择 以 C 为坐标原点 AC 所在直线为轴 x 建立直角坐标 系 则 A 6 0 B 0 4 D 6 8 因而10 CD 考点 平面向量的相关知识 13 10 解析 试题分析 在垂直的条件下 建系求解是最佳选择 以 C 为坐标原点 AC 所在直线为轴 x 建立直角坐标 系 则 A 6 0 B 0 4 D 6 8 因而10 CD 考点 平面向量的相关知识 14 2 1 解析 如图 作 PQ OA 于 Q CD OA 于 D 根据向量数量积的几何意义得 OA OT 2 OD 1 2 1 15 4 解析 由题意知三角形为等腰直角三角形 如图 因为 P 是斜边 AB 上的一个三等分点 所以 又 所以 2 4 2 2cos1350 2 2cos450 所以 4 16 16 解析 法一 此题最适合的方法是特例法 如图 假设 ABC 是 AB AC 的等腰三角形 AM 3 BC 10 AB AC cos BAC cos BAC 16 法二 16 17 2 解析 由平行四边行的性质知 AC 与 BD 互相平分 又 2 所以 2 18 解析 因为 a c b c 所以有 2x 4 0 且 2y 4 0 解得 x 2 y 2 即 所以 则 19 1 2 解析 试题分析 如图 令 可能有 123 aa ab ac ii aa 则的所有可能取值有2 2 2 abAE acAC bcAF ij aaCD 2 2 1 abCDCDacCDCD 所以的所有可能取值为 2 1 bcCDAF CDCD ij aaCD 1 2 考点 1 向量的数量积 20 8 解析 试题分析 由平面向量数量积知识得 cos 248AN ABANABNABAMABAMAB 考点 1 平面向量数量积的概念 21 3 2 2 CM CN 解析 试题分析 根据题意可以 C 为原点建立平面直角坐标系 则 直线 AB 方程 2 0 0 2 AB 为 可设点 1122 2 2 M xxB xx 由 即2xy 2MN 化简得 由 22 1212 2xxxx 21 1xx 又 2 1212111111 2 2 1 2 1 222CM CNx xxxx xxxxx 结合二次函数的图象可得 1 01x 3 2 2 CM CN 考点 1 向量的数量积 2 二次函数的最值 22 1 3 A 2 tan2B 解析 试题分析 1 由 利用辅助角公式进一步化为 1m n 3sincos1AA 1 sin 62 A 再结合角 的取值范围确定的值 AA 2 利用同角三角函数基本关系中的平方关系 和商的关系 22 sincos1BB 将原式化关于 的方程即可 sin tan cos B B B tan B 试题解析 1m n 1 3 cos sin 1AA 即3sincos1AA 31 2 sincos 1 22 AA 1 sin 62 A 0A 5 666 A 66 A 3 A 6 分 由题知 22 12sincos 3 cossin BB BB 整理得 22 sinsincos2cos0BBBB cos0B 2 tantan20BB tan2B 或tan1 B 11 分 而tan1B 使 22 cossin0BB 舍去 tan2B 12 分 考点 1 平面向量的数量积 2 同角三角函数的基本关系 3 两角和与差的三角函数公 式 23 7 解析 试题分析 由题设知 1212 11 cos601 1 22 e eee 所以 222 12121212 2224eeeeeee e 1 1447 2 所以答案填 7 考点 1 向量的模的概念 2 平面向量的数量积 24 5 6 解析 试题分析 设 D E F 是三角形与其内切圆的切点 因为 3 4 5ABACBC 所以 345 1 2 AEAF 所以AOAEAF 111171 4343124 ACABABBCABABBC 由 AOABBC 所以 71 124 715 1246 所以答案填 5 6 考点 1 直角三角形内切圆的半径与边长的关系 2 平面向量的加法与数乘运算 25 24 解析 试题分析 点的坐标为 则 又 则三点共线 A 3 a 3OA OPOA O P A 则 设与轴夹角为 则在轴上的投影长度为 72OA OP 72 OP OA OPx OPx 即线段在轴上的投影长度的最大值 cosOP 2 3216 OP OAOA 24 OPx 为 24 考点 向量的运算 26 3 解析 试题分析 设与的夹角为 则 又因为关于的a b 2 cos2 cosa babb x 方程有实根 所以 所以 2 0 xa xa b 2 40aa b 又因为 所以 22 1 4 8 cos0cos 2 bb 0 3 考点 1 平面向量的数量积 2 二次方程根与系数的关系 27 10 解析 试题分析 由题意 20a bx 2x 3 1 ab 22 3 1 10ab 考点 向量垂直与向量的模 28 10 解析 试题分析 由题意 20a bx 2x 3 1 ab 22 3 1 10ab 考点 向量垂直与向量的模 29 1 2 m 解析 试题分析 三点共线 13 OAOBAB mmOBOCBC 1ABC 所以与共线 所以 解得 ABBC 011 3 mm 2 1 m 考点 向量共线的应用 30 5 解析 试题分析 我们知道当点在直线上时 若 则 因此 PBF APmABnAF 1mn 我们把直线向上平移 则在增大 只要点在与平行的同一条直线上 BFmn PBF 就不变 也即的值随直线到点的距离的变化而变化 当与重合 这时mn mn AQD 圆上有一点到的距离最大为 5 而点到直线的距离为 1 故最大值为 5 QAABFmn 考点 向量的线性表示 三点共线的性质 31 0 2 解析 试题分析 解 建立平面直角坐标系如图所示 则 0 0 2 0 1 1 0 1ABCD 因为 所以 1 DQDC CPCB 2 1PQ 所以 2 1APAQ 2 2 39 12 3 24 AP AQ 01 所以 02AP AQ 故答案应填 0 2 考点 1 平面向量基本定理 2 向量的坐标表示 3 向量的数量积 4 一元二次函数 的最值 32 12 5 12 解析 试题分析 法一 设 则 22cos 22sin OAOCCA A x y 所以点 A 在以 C 为圆心为半径的圆上 22 22cos 2 2 2 22sin x xy y 2 作出图形如下图所示 从图可知与的夹角的取值范围是 OA OB 12 5 12 x y C B A 1 2 3 41234 1 2 3 4 1 2 3 4 O 法二 因为 所以 所 2cos2sin CA 22 2cos 2sin 2CA 以点 A 在以 C 为圆心为半径的圆上 作出图形如下图所示 从图可知与的夹角2OA OB 的取值范围是 12 5 12 考点 向量 33 16 解析 试题分析 2 cos16AB ACAB ACBACAC 考点 向量的数量积 34 1 1 2 5 解析 试题分析 1 1 cos2 11 32 a ba b 2 向量与垂直 2akb ab 2 0akbab 22 220aa bka bkb 解得 5k 考点 向量的数量积 向量垂直的充要条件 35 0 解析 试题分析 由题意可得 所以 1212 2 0ekeee 22 112122 220ee eke eke 得 解得 00 12cos60cos6020kk 0k 考点 向量垂直的充要条件 36 3 解析 试题分析 22 1212112212 2 34 328526a beeeeee eee e 即 12 1 2 e e 1 cos 2 3 考点 向量的夹角 37 3 解析 试题分析 22 1212112212 2 34 328526a beeeeee eee e 即 12 1 2 e e 1 cos 2 3 考点 向量的夹角 38 13 44 m 解析 试题分析 设过点 F 作 FE 平行 AC 于 E 点 交 AD 于 N 点 则 1 4 AFAB 由向量加法的几何意义知 点 M 必在线段 EN 上 不含端点 又 31 44 EFAC NFAC 时 时 所以 1 4 m MN 3 4 m ME 13 44 m 考点 向量加法的几何意义 39 3 0 4 m 解析 试题分析 设过点 D 作 DE 平行 AC 于 E 点 则由向量加法的几何意 1 4 ADAB 3 4 DEAC 义知 点 M 必在线段 DE 上 不含端点 又时 时 所以 0m MD 3 4 m ME 3 0 4 m 考点 向量加法的几何意义 40 1 3 2 2 解析 试题分析 设 由已知有 即 即 cx y cos cosab a cb c cc 即 由已知 即 0abc 30 xy 5 2 cacb 联立得 即 22 5 30 2 xyxy 13 22 xy 1 3 2 2 c 考点 向量的运算 41 1 3 2 2 解析 试题分析 设 由已知有 即 即 cx y cos cosab a cb c cc 即 由已知 即 0abc 30 xy 5 2 cacb 联立得 即 22 5 30 2 xyxy 13 22 xy 1 3 2 2 c 考点 向量的运算 42 9 解析 试题分析 三点 A 3 1 B 2 k C 8 11 共 5 1 5 10 ABkAC 线 存在实数 使得 55 9 110 ABACk k 考点 三点共线的充要条件 43 3 解析 试题分析 解 3 sin a 3 cos b 由 a b 得 3 cos sin 即 sin cos 33 由此可得 tan sin cos 3 结合 为锐角 可得 3 考点 平行向量与共线向量 44 3 10 10 解析 试题分析 设向量与的夹角为 且 a b 3 3 a 1 1 2 ab 1 2 b 则 cos a b ab 3 10 10 故答案为 3 10 10 考点 向量的夹角公式 45 5 14 解析 试题分析 设 B m n 点 A 1 5 m 1 n 5 ABOBOA 由已知得 6 9 AB m 1 6 且 n 5 9 解之得 m 5 n 14 即点 B 的坐标为 5 14 故答案为 5 14 考点 平面向量的坐标运算 46 2 a 解析 试题分析 解法一 以点为坐标原点 所在的直线分别为轴 轴建立如AABADxy 图所示的平面直角坐标系 则 所以xAy 0 0A 2 3 a Ea 3 a F a 因此 2 3 a AEa 3 a AFa AE AF 2 2 33 aa aaa y x F E D C BA 解法二 如下图所示 则 222 333 AEADDEADDCADABABAD 1 3 AFABBC 所以 1 3 ABAD 22212111 33393 AE AFABADABADABAB ADAD 22 222 21112111 00 393393 ABADaaa AB C D E F 考点 1 平面向量的线性表示 2 平面向量的数量积 47 6 5 解析 试题分析 由已知得 因为 所以 2 1 sin 2 3 2 6 5 考点 向量的数量积公式 48 4 解析 试题分析 由题意 又 所以 ABOA 1 1 ABk 3 1 0 4kk 考点 垂直向量 49 4 解析 试题分析 向量a在向量b的方向上的投影是 2 3 0 4 1 4 0 1 a b b 考点 向量的投影 50 2 15 解析 试题分析 2 15 93 1 cos120 2 AB ADABABBDABAB BD 考点 平面向量的数量积 向量的加法 51 7 14 解析 试题分析 14 7 72 1 3 1 3 2 3 1 3 2 cos FCAB FCAB BDF 考点 向量的数量积 52 2 解析 试题分析 由题意得 设的夹角为则 2 2 4 0 2 2 BCACAB AC BC 又所以cos0 AC BC ACBC 0 2 考点 向量数量积 夹角 53 2 或 3 解析 试题分析 因为 所以2 或 3 ab 22 2 5 34 560 xxxxx 考点 向量平行坐标表示 54 2 35 解析 试题分析 设 则由可得 a b 4 3 2aba b 即 因为 所以 cos12cos2a ba b 1 cos 6 0 由新定义可知 2 135 sin1 cos1 366 35 sin4 32 35 6 a ba b 考点 1 新定义 2 平面向量的数量积 3 同角三角函数的基本关系式 55 54 解析 试题分析 如下图 代表水流速度 代表船自身航行的的速度 而代表实际AB AC AP 航行的速度 所以有 所以船自身 22 22 84804 5ACBPABAP 航行的速度大小为 4 5 km h 考点 平面向量的应用 56 1 3 解析 试题分析 依题意可得 又因为 3 22 kabkk 3 1 9 26 8 8 ab 向量与平行 所以即 解得 bak ba3 8 3 8 22 0kk 310k 1 3 k 考点 1 平面向量的坐标运算 2 平面向量平行的判定与性质 57 1 3 解析 试题分析 设 则有 所以 B x y 2 1 2 1 3 4 ABxyxy 解得 所以 23 14 x y 1 3 x y 1 3 B 考点 平面向量的坐标运算 58 36 解析 试题分析 由题意在 ABC中 D是BC的中点 结合向量加减运算可得 则 ABDBDA ACDCDA 2 1006436AB ACDBDADCDADB DCDA DBDCDA 考点 向量的运算 59 6 5 解析 试题分析 由题意知是的重心 设 则GABC 1 3 AGABAC CDxAG ADACCD 于是 即 所以ACxAG 1 333 xxx ACABACACAB 1 35 x 3 5 x 1 3 x 6 5 考点 向量的线性表示 向量的相等 60 3 8 解析 试题分析 ACABABACABBCABBDABAD 3 1 3 2 3 1 3 1 ABACBC 3 8 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 22 ABACACABABACACABBCAD 考点 向量的数量积 61 2 1 x 解析 试题分析 由已知 解得 2 1 1 2 0 xxx 2 1 x 考点 平面向量的坐标运算 62 或 6 30 解析 试题分析 由题意知 即 2 2 323232cos0abaaa baab 解得 由于 因此 2 3 12 13cos0 3 cos 2 0 6 考点 1 平面向量垂直的充要条件 2 平面向量的数量积 63 2 解析 试题分析 因为MNANAMnADmAB 1 2 BEBCCEADAB 且向量和