考研数学高分基础班讲义-高数.doc

高等数学部分第一讲 极 限 与 连 续一、极限（一）基本概念定义1 函数的初等特性（1）单调性（2）有界性（3）奇偶性例题1研究函数的奇偶性，并求其反函数。（4）周期性例题2设，讨论其特性。定义2 基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数称基本初等函数。定义3 初等函数由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而成的一个式子称初等函数。定义4 极限的概念（1）定义若对任意的，总存在，当时，有，称为数列的极限，记为。（2）定义若对任意的，总存在，当时，有，称为函数当时的极限，记为。（3）定义若对任意的，总存在，当时，有，称为函数当时的极限，记为。（4）左右极限若对任意的，总存在，当时，有，称为函数在处的左极限，记为。若对任意的，总存在，当时，有，称为函数在处的右极限，记为。【注解】 存在的充分必要条件是与都存在且相等。例题3讨论函数在处的极限情况。定义5 无穷小以零为极限的函数称为无穷小。设，若，称为的高阶无穷小，记为；若，称与为同阶无穷小，记为，特别地，若，称与为等价无穷小，记为。（二）极限性质1、极限的基本性质（1）（唯一性）极限存在必唯一。（2）（保号性）1）若，则存在，当时，有。2）若，且，则。3）若，且，则。（3）（有界性）若存在，则数列有界。（4）（极限与无穷小的关系）的充要条件是，其中为无穷小。2、极限的存在性质（1）（迫敛定理）1）（数列型）设，且，则。2）（函数型）设，且，则。例子 求。（2）单调有界的数列必有极限。例子 证明极限存在并求之。注解（1）设数列由确定，令，若，则数列单调，其中当时，数列单调减少；当时，数列单调增加。（2）设单调增加，则有如下两中情况：情形一：数列没有上界，则；情形二：数列有上界，则存在，令，则即为数列的上界，是所有上界中最小的上界。3、运算性质（1）四则运算性质设，则1）；2）；3）；4）。（2）复合运算性质1）设，则。2）设，则。4、无穷小的性质（1）无穷小的一般性质1）有限个无穷小之和或之积是无穷小。2）有界函数与无穷小之积是无穷小。3）常数与无穷小之积是无穷小。（2）等价无穷小的性质1）；若，则；若，则。2）若，且存在，则。3）设，则的充分必要条件是。（3）当时常用的等价无穷小1）。2）。 3）。5、几个重要极限（1）。 （2）。 （3）。二、连续与间断（一）基本概念1、连续（1）函数在一点连续若，称在点处连续。注解 在点处连续的充分必要条件是。（2）函数在闭区间上连续若函数在内点点连续，且，称在上连续，记为。注解 （1）初等函数有定义的地方都连续。（2）若，则。2、间断及分类（1）若都存在且间断，称为的第一类间断点。若，称为函数的可去间断点；若，称为函数的跳跃间断点。（2）若至少有一个不存在，称为函数的第二类间断点。（二）闭区间上连续函数的性质1（最值定理）设，则在上取到最大值和最小值。2（有界定理）设，则在上有界。3（零点定理）设，且，则存在，使得。4（介值定理）（1）设，且分别为函数在上的最小值与最大值，则对任意的，总存在，使得。（2）设，且，不妨设，则对任意的，总存在，使得。例题部分1、求极限（1）。（2）。2、求下列极限（1）。 （2）。 （3）。3、求下列极限。4、设，证明数列收敛，并求。5、设，讨论在处的连续性。6、讨论的连续性。7、设，且，证明：在上有界。8、设，证明：对任意的及且，存在，使得 。第二讲 导 数 与 微 分一、基本概念1、导数设为定义于上的函数，若极限存在，称在处可导为在处的导数，记为或。注解 （1）同时包括与。若存在，称此极限为在点处的左导数，记为，若存在，称此极限为在点处的右导数，记为，在点处可导的充分必要条件是与都存在且相等。（2）函数在处导数的等价定义。（3）若在处可导，则在处连续，反之不对。反例，显然在处连续，但在处不可导。（4）取绝对值可保持连续性，不一定保持可导性。问题1 设存在，问是否存在？解答：不一定存在，如，取。问题2 设存在，问是否存在？2、可微设为定义于上的函数，若，称在处可微，记，或者。问题1 函数在处何时可微（或可微的条件）？问题2 若函数在处可微，二、求导数三大工具（一）基本公式1、。 2、，特别地。3、，特别地。 4、，特别地。5、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）。6、（1）； （2）； （3）； （4）。（二）求导四则运算法则1、。 2、。3、。 4、；5、。（三）复合函数求导链式运算设，都是可导函数，则可导，且。注解（1）原函数与其反函数一阶导数与二阶导数之间的关系设为二阶可导函数，且，为的反函数，则 ，即原函数与其反函数导数之间为倒数关系， 。（2）设在处连续，若，则。（3）设是周期可导函数，则也是周期函数；若为奇函数，则是偶函数；若为偶函数，则是奇函数。（4）可导与连续可导的区别：所谓在某个区域内可导即在该区域内处处有导数，但不能保证为连续函数，如。三、求导类型1、显函数求导数例1 设，求；例2 设，求；例3 设，求。2、参数方程确定的函数的导数设由确定，其中皆二阶可导，求及。例1 设，求及。3、隐函数求导数例1 设，求。4、分段函数求导数例1 设，求并讨论的连续性。例2 设，且存在，求。5、高阶导数例1 ，求。例2 设，求。例3 设，求。第三讲 中 值 定 理 及 其 应 用一、中值定理（一）预备知识1、极值点与极值设，若存在，当时，有，称为的极大点，为的极大值；若存在，当时，有，称为的极小点，为的极小值。2、函数极值点处导数的可能情况情形一：。情形二：。结论：若为的极值点，则或不存在。（二）中值定理定理1（罗尔中值定理）设满足（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得。定理2（Lagrange中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导，则存在，使得。 注解（1）拉格朗日中值定理又称为微分中值定理，其等价形式有，其中。（2）由确定，且微分中值定理的端点可以为变量。定理3（Cauchy中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得 。定理4（Taylor中值定理）设在的邻域内有直到阶导数，则有，且，其中介于与之间。若，则称，为马克劳林公式，其中。注解（1）常见函数的马克劳林公式1）。2）。3）。4）。5）。6）。（2）泰勒中值定理中的的选择标准1）若已知条件中给出某点的一阶导数，则该点往往为。2）要证明的结论中涉及一阶导数，则该点往往为。3）中点。专题介绍 二阶保号性问题若中值定理中给定二阶保正号或二阶保负号，常见如下两中思路思路一：设，则单调增加（单调减少）。例1 设在上连续，且，证明：对任意的有。例2 设在上连续，且，证明在内有且仅有一个零点。思路二：使用如下定理得到的不等式定理 设在上二阶可导，则有（1）若，则，等号成立当且仅当；（2）若，则，等号成立当且仅当。例1 设，且，证明：。例2 设，且，取，设且，证明：。中值定理部分例题选讲题型一：证明常见思路：（1）罗尔定理； （2）极值法1、设，在内可导，且，证明：存在，使得。2、设在上三阶可导，令，证明：存在，使得。3、设，在内可导，且，证明：存在，使得。题型二：涉及内部极值问题1、设，在上二阶可导，且的最小点在内，证明：。2、设，在内可导，且，证明：存在，使得。题型三：含一个中值，不含端点，且结论中导数的差距上一阶问题1、设，在内可导，证明：存在，使得。2、设，在内二阶可导，证明：存在，使得。3、设，在内可导，且，证明：存在，使得 。题型四：含两个中值的问题1、设，在内可导，证明：存在，使得 。2、设，在内可导，且，证明：存在，使得 。题型五：泰勒定理问题1设在上三阶连续可微，且，证明：存在，使得。2一车从开始启动（速度为零）到刹车停止用单位时间走完单位路程，证明至少有一个时间点其加速度的绝对值不小于4。二、单调性与极值（一）单调性1、概念（略）2、求单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求函数的驻点及不可导点；（3）第（2）步所求的点把定义域分成若干小区间，判断每个小区间内的导数符号，从而得出函数的单调区间。（二）求极值步骤（1）求函数的定义域；（2）求驻点和函数不可导的点；（3）极值点判别方法定理1（第一充分条件）设在的去心邻域内可导，则（1）若当时，当时，则为的极大点；（2）若当时，当时，则为的极小点。定理2（第二充分条件）设在处二阶可导，且，则（1）若，则为的极小点；（2）若，则为的极大点；（3）若，则无法确定是否为的极值点。例题1 设一阶连续可导，判断是否是的极值点。例题2 设，讨论是否是的极值点？（三）最值问题1、闭区间上连续函数最值的求法（1）求出函数在区间内所有的驻点及不可导点，设为；（2），。如：，令，得，由，得在上的最大值为，最小值为。2、无限区间上连续函数最值若函数的无限区间上只有唯一驻点，且该点为极值点，则此点一定为最值点。三、凹凸性、拐点与渐近线（一）凹凸性1、凹凸性定义设在内连续，若对任意的，都有 ，则称在内为凸函数，反之称为凹函数。2、凹凸判别法定理 （1）若在有，则在内凹函数。（2）若在有，则在内凸函数。（二）拐点若的二阶导数在的两侧异号，则称为曲线的拐点。（三）渐近线1、若，则称为的铅直渐近线。2、若，则称为的水平渐近线。3、若，则称为的斜渐近线。极值与凹凸性部分例题一、选择题1、设为二阶连续可导的偶函数，且，则 （ ）是的极小值 是的极大值是的拐点不是的极值，也不是的拐点2、设连续可导，且，则 （ ）是的极小值 是的极大值是的拐点不是的极值，也不是的拐点3、曲线的渐近线的条数为 （ ）1条 2条 3条 4条二、填空题1、曲线的斜渐近线为。2、曲线在处的曲率半径为。三、解答题与证明题1、设，在内可导，且。证明：（1）存在，使得。（2）对任意实数，存在，使得。2、设，在内可导，且，证明：存在，使得 。3、设在上有二阶连续的导数，证明：存在，使得 。4、设，在内可导，且不为常数，证明：存在，使得。5、设，在内二阶可导，且，证明：存在，使得。6、证明不等式。7、证明：当时，有。8、设满足，且在处连续，证明：（1）若在处有极值，则该极值一定是极小值；（2）若在处有极值，该极值是极大还是极小值？9、证明方程在内有且仅有两个根。第三讲 一元函数积分学一、不定积分部分（一）基本概念1、原函数设为两个函数，若，则称为的原函数。2、不定积分设为一个存在原函数的函数，则的所有原函数称为的不定积分，记为，设为的一个原函数，则。注解（1）连续函数一定存在原函数，反之不对。（2）存在第一类间断点的函数不存在原函数，但有第二类间断的函数可能存在原函数，如。（3），。（二）不定积分三大工具1、基本性质（1）；（2）。2、不定积分基本公式（1）。 （2）。（3）。 （4），。（5）1）。 2）。 3）。 4）。 5）。 6）； 7）。 8）； 9）。 10）；（6）1）。 2）。 3）。 4）。 5）。 6）。7）。3、积分法（1）换元积分法1）第一类换元积分法。例1计算下列不定积分（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）。例2 计算下列不定积分（1）； （2）； （3）；（4）； （5）。2）第二类换元积分法。例题 计算下列不定积分（1）； （2）； （3）。（2）分部积分法；（三）两类特殊函数的不定积分1、有理函数的不定积分例题 计算不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）。2、三角有理函数的不定积分二、定积分理论（一）定积分的定义设为上的有界函数，若存在，称在上可积，极限称为在上的定积分，记，即。注解（1）极限与区间的划分及的取法无关。（2），反之不对。（3）函数有界只是函数可积的必要条件。（4）连续函数一定可积。（5）若一个函数在闭区间上只有有限个第一类间断点，则该函数在区间上可积。（6）若一个函数可积，则。（7）设函数为连续的奇函数，则一定为偶函数，若为连续的偶函数，则不一定是奇函数，当一定为奇函数。（二）定积分基本理论定理1 设，令，则为的一个原函数，即。注解（1）连续函数一定存在原函数。（2）。（3）。例1 设连续，且，求。例2 设为连续函数，且，求。定理2 （牛顿莱布尼兹公式）设，且为的一个原函数，则。（三）积分法1、换元积分法设，令，其中可导，且，其中，则。2、分部积分法设在上连续可导，则。（四）定积分性质1、基本性质（1）。（2）。（3）。（4）。（5）设，则。推论1 设，则。推论2 。（6）设在上连续，且，则。（7）（积分中值定理）设，则存在，使得。2、定积分的特殊性质（1）对称区间上定积分性质1）设，则。2）设，且，则。3）设，且，则。（2）周期函数定积分性质设以为周期，则1），其中为任意常数。2）。（3）特殊区间上三角函数定积分性质1）设，则，特别地，且。2）。3）。4）设，则。例1计算。例2 计算。例3 计算。（五）广义积分1、区间有限的广义积分：（1）若对任意的，存在，称广义积分收敛，否则称为发散。例1 判断的收敛性，若收敛求其值。例2 判断的敛散性。（2）若对任意的，存在，称广义积分收敛，否则称为发散。例题 判断的敛散性。（3）若广义积分与都收敛，称收敛，若两个广义积分中至少有一个发散，称广义积分发散。2、区间无限的广义积分（1）若存在，称收敛，否则称为发散。例 计算。（2）若存在，称收敛，否则称为发散。（3）若与都收敛，称收敛，否则称为发散。注解函数（1）定义。（2）性质1）。 2）。 3）。例题部分（一）选择题1、设，则等于 （ ） 2、设，则 （ ）为正常数 为负常数 恒为零 不为常数3、设连续，则等于 （ ） （二）填空题1、。2、。3、。4、。5、6、。7、。8、设，则。（三）解答与证明题1、计算下列定积分：（1）。 （2）。 （3）。（4）计算，其中。（5）。 （6）。2、设，且，为偶函数。（1）证明：。 （2）计算。3、证明下列等式：（1）设连续，证明：。（2）设连续，证明：。（3）设是以为周期的连续函数，证明：。（4）设且，证明：存在，使得 。（5）设，且，证明：存在，使得。（6）设，1）写出的带拉格郎日余项的一阶马克劳林公式；2）证明：存在，使得。4、证明下列不等式：（1）设，对任意的，有，证明：。（2）设在上连续且单调减少，证明：。（3）设，1）证明：当为正整数，且时，有；2）求极限。（4）设且单调减少，证明：当时，有。（5）设在上可导，且，证明： 。（6）设，且，证明： 三、定积分的应用（一）面积1、设，则。2、设，则。3、旋转曲面的表面积：设，则，于是 。（二）体积1、曲线绕轴旋转所得旋转体的体积：设，则。2、曲线绕轴旋转所得旋转体的体积： 。3、截口面积已知的几何体的体积：设一几何体介于与之间，对任意的，截口面积为，则该几何体的体积为 。（三）弧长1、设，则，从而 。2、设，则，从而 。（四）物理应用力、功例题部分1、求由所围成的区域在外部的面积。2、求曲线与轴所围成图形的面积。3、求曲线及所围成的图形绕一周所成旋转体的体积。4、设是区间上任一非负连续函数。（1）证明：存在，使得在区间上以为高的矩形面积等于在区间上以为曲边的曲边梯形的面积。（2）设在内可导，且，证明（1）中的是唯一的。5、过上某点作切线，使该曲线、切线和轴所围成的图形面积为，求切点坐标、切线方程及所围成的图形绕轴一周所成旋转体的体积。6、设过坐标原点，当时，又该曲线与轴及所围成的图形面积为，求，使次图绕轴一周所成旋转体的体积最小。7、求摆线的弧长。8、半径为的半球形水池盛满水，求水池抽干所做的功。第四讲 微分方程一、基本概念1、微分方程含有导数或微分的方程称为微分方程。2、微分方程的阶数微分方程中导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶数。3、微分方程的解使得微分方程成立的函数称为微分方程的解。4、微分方程的通解微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的解数相等，这样的解称为微分方程的通解。二、微分方程的种类及解法（一）一阶微分方程及解法1、可分离变量的微分方程（1）定义称（其中）为可分离变量的微分方程。（2）解法将变量分离得，两边不定积分得 。2、齐次微分方程（1）定义称（其中）为齐次微分方程。（2）解法对方程，令，则有，变量分离得，积分即可。3、一阶齐次线性微分方程（1）定义形如称为齐次线性微分方程。（2）通解公式 （其中为任意常数）。4、一阶非齐线性微分方程（1）定义形如称为一阶非齐线性微分方程。（2）通解公式 （其中为任意常数）。5、贝努利方程（1）定义形如称为贝努利方程。（2）解法令，则原方程化为 。6、全微分方程（数学一：强化班仔细说明）（1）定义对微分方程，若，称该微分方程为全微分方程。（2）解法因为，所以存在，使得，从而原方程的通解为 ，其中。（二）可降阶的高阶微分方程1、解法：进行次不定积分即可。2、解法：令，则，于是原方程可化