行波法与积分变换法——数学物理方程.ppt

第三章行波法与积分变换法 行波法 求解无界区域内波动方程定解问题 积分变换法 无界或有界区域 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 考虑代换 利用复合函数求导法则得 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 同理有 代入方程 得到 在上式中对积分 得 是的任意可微函数 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 再将此式对积分 其中都是任意二次连续可微函数 利用初始条件 确定两个函数的具体形式 由第二式得 其中 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 由 解得 代入通解表达式 得 达朗贝尔 D Alembert 公式 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 图3 1 t 0 t 1 2 t 2 考虑的物理意义 随着时间t的推移u2的图形以速度a向x轴正向移动 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 的积分曲线 这个常微分方程称为它的特征方程 一维波动方程 的两族特征线 恰好是常微分方程 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 一般的二阶线性偏微分方程 它的特征方程为 这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程 的特征曲线 记 称其为二阶线性偏微分方程的判别式 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 可以证明 当时 有两条相异的实特征线因此特征线法对双曲型方程都是有效的 沿着特征线做自变量替换总可以把双曲型方程化为 从而得到方程的通解 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 例求下面问题的解 3 1 解 特征方程 两族积分曲线为 做特征变换 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 代入方程化简得 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 它的通解为 其中 是两个二次连续可微函数 于是原方程的通解为 代入初始条件 得 第二式的两端得关于积分得 解得 所求问题的解为 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 解特征方程为 特征曲线为 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 所以 做变换 则原方程可以变为 其中 是任意的二次连续可微函数 于是 方程的通解为 3 1一维波动方程的达朗贝尔公式 3 2三维波动方程的泊松公式 研究波在空间传播问题 三维波动方程的初值问题 3 2三维波动方程的泊松公式 一 球对称情形 球坐标系 3 2三维波动方程的泊松公式 若仅是r的函数 则是r和t的函数 此时称定解问题是球对称的 球对称波动方程 进一步有 3 2三维波动方程的泊松公式 对球对称问题 球对称情形下 三维波动方程边值问题可化为 3 2三维波动方程的泊松公式 这个问题我熟悉 由达朗贝尔公式 3 2三维波动方程的泊松公式 二 一般情况 令 表示在球面上的平均值 其中M M x y z 是球面上的点 3 2三维波动方程的泊松公式 二 一般情况 令 3 2三维波动方程的泊松公式 表示以M为中心的单位球面 表示上的面积元素 表示单位球面上的面积元素 即 而 3 2三维波动方程的泊松公式 以下推导所满足方程及初始条件 3 2三维波动方程的泊松公式 进一步有 两边关于r求导 得 得 由 3 2三维波动方程的泊松公式 即 可得 由 3 2三维波动方程的泊松公式 由初值条件和的表达式 有 其中分别是函数在上的球平均值 满足如下定解问题 3 2三维波动方程的泊松公式 3 2三维波动方程的泊松公式 所以 解方程组得 3 2三维波动方程的泊松公式 将延拓到r 0的范围内 并且 同理也是偶函数 利用 3 2三维波动方程的泊松公式 所以 3 2三维波动方程的泊松公式 由于 只考虑的情形 利用洛必达法则 3 2三维波动方程的泊松公式 即 简记成 3 2三维波动方程的泊松公式 三维波动方程的泊松公式 三 泊松公式的物理意义 从泊松公式出发 解释波在三维空间的传播现象 设且 1 在任一固定点的振动情况 设 由沿以M为中心 at为半径的球面的曲面积分所决定 3 2三维波动方程的泊松公式 M点处于静止状态 说明T的振动尚未达到M点 当时 不为空集 所以M点处于振动状态 表明T的振动已传到M点 当时 为空集 说明振动已传过M点 M点仍回复到静止状态 3 2三维波动方程的泊松公式 2 在某固定时刻 初始时刻的振动所传播的范围 设 T是半径为R的球体 由Poisson公式 只有与M相距为的点上的初始扰动能够影响的值 故P点的初始扰动 在时刻只影响到以P为球心 以为半径的球面 当P在T内移动时 球面族的包络面所围成的区域即为T内各点的振动在时刻所传播的区域 称为T在时刻的影响区域 3 2三维波动方程的泊松公式 总之 三维空间中有限区域T上的初始振动 有着清晰的前阵面和后阵面 对空间的任一点 振动传过后 仍回复到平衡状态 这种只在有限时间内引起振动的现象称为Huygens原理 在足够大时 包络面以T的心o T 为心 分别以和为半径的球面所夹部分 故时刻的影响区域为的球壳 球面是振动到来的前峰 称为波的前阵面 球面是振动传过后的后沿 称为波的后阵面 3 2三维波动方程的泊松公式 3 2三维波动方程的泊松公式 解 例 设已知三维波动问题中的初位移 初速度分别为 求解相应的Cauchy问题 3 2三维波动方程的泊松公式 三 降维法及二维波动方程 考虑二维波动方程的初值问题 设解为 令 则 3 2三维波动方程的泊松公式 由泊松公式 球面在平面上投影为 设其上面积微元为 则由投影关系有 其中v表示dS的单位法向量与之夹角 3 2三维波动方程的泊松公式 又上 下两球面的投影有对称关系 故 柱面波 3 3积分变换法 3 3积分变换法 常见的两种积分变换 傅立叶变换 拉普拉斯变换 如果满足上面的条件 我们可以定义傅立叶逆变换为 如果函数在上绝对可积 它的傅立叶变换定义如下 有时把记为 一 傅立叶变换 反演公式 3 3积分变换法 傅立叶变换的性质 1 线性性质设f g是绝对可积函数 是任意复常数 则 2 微分性质设f 绝对可积函数 则 3 乘多项式设f xf绝对可积 则 3 3积分变换法 4 伸缩性质设f x 绝对可积 则 6 卷积性质设f g是绝对可积函数 令 则 5 平移性质设f x 绝对可积 则 3 3积分变换法 例用积分变换法解方程 解 作关于x的傅立叶变换 方程可变为 设 3 3积分变换法 可解得 由于 即 则 3 3积分变换法 从而方程的解 3 3积分变换法 例用积分变换法解方程 解 作关于的傅立叶变换 设 方程变为 3 3积分变换法 用常数变易法可解得 而 则 3 3积分变换法 利用反演公式有 3 3积分变换法 例用积分变换法求解初值问题 解 作关于x的傅立叶变换 设 3 3积分变换法 于是原方程变为 满足初始条件 3 3积分变换法 齐次方程的解 设非齐次方程的解为 3 3积分变换法 令 则 3 3积分变换法 代入方程 得 3 3积分变换法 积分 3 3积分变换法 方程通解为 由初始条件 取傅立叶逆变换 得 其中 的傅立叶变换 所以取傅立叶逆变换 得 3 3积分变换法 傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法 但1 傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积 大部分函数不能作傅立叶变换 2 傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义 研究混合问题时失效 3 3积分变换法 二 拉普拉斯变换 定义 f t 定义在上 若其满足下列条件f t 分段光滑 存在常数M和使得则称f t 为初始函数 称为f t 的增长指数 反例 3 3积分变换法 定理 设f t 是一以为增长指数的初始函数 则经变换得到的函数F p 是上的解析函数 上述变换称为拉普拉斯变换 3 3积分变换法 例 3 3积分变换法 反演公式 在f t 的每一个连续点均有 其中 3 3积分变换法 基本性质 1 线性性质设f g的拉普拉斯变换分别为L f L g 是任意复常数 则 2 微分性质假设 则 3 3积分变换法 6 卷积性质 定义 4 延迟性质 5 伸缩性质 则 3 积分性质 3 3积分变换法 例设求解常微分方程的初值问题 解对进行拉普拉斯变换 设 则 3 3积分变换法 于是原方程变为 由上式得 对进行拉普拉斯逆变换 得 3 3积分变换法 解问题归结为求解下列定解问题 例一条半无限长的杆 端点温度变化已知 杆的初始温度为0 求杆上温度分布规律 3 3积分变换法 对t进行拉普拉斯变换 怎么变换 为什么 知道的值了 方程通解为 表示温度 当时 一定有界 所以亦有界 从而 对t进行拉普拉斯变换 设 于是原问题变为 3 3积分变换法 由边值条件可知 即 对p进行拉普拉斯逆变换 有 3 3积分变换法 于是 查表得 而 易证 3 3积分变换法 所以 于是 3 3积分变换法 例设求解下面定解问题 解对进行拉普拉斯变换 则原方程变为 即 3 3积分变换法 由条件得 解得 对取拉普拉斯逆变换 得 3 3积分变换法 数学物理方程 定解条件 解 常微分方程 定解条件 解 积分变换 逆变换 3 3积分变换法 如何使用积分变换法求解定解问题 选取恰当的积分变换 对某个