直线与抛物线的位置关系课件人教A版选修.ppt

了解直线与抛物线的位置关系 会解决直线与抛物线相交的弦长及有关问题 能解决简单的综合应用问题 重点 直线与抛物线相交的问题 难点 有关抛物线综合应用问题 若k 0 当 0时 直线和抛物线相交 有两个公共点 当 0时 直线和抛物线相切 有一个公共点 当 0 相交 有一个公共点 特别地 当直线l的斜率不存在时 设为x m 则当m 0时 l与抛物线相交 有两个公共点 当m 0时 与抛物线相切 有一个公共点 当m 0时 与抛物线相离 无公共点 1 直线与抛物线公共点的个数可以有 2 过抛物线y2 2px p 0 焦点的弦AB A x1 y1 B x2 y2 则 AB y1y2 3 由抛物线y2 2px p 0 焦点弦AB两端点 向准线作垂线 垂足分别为C D 则 CFD 0个 1个或 2个 x1 x2 p p2 90 4 直线y kx 1与抛物线y2 x只有一个公共点 则k的值的集合为 解析 平行于轴时 k 0只有一个公共点 k 0时 将x y2代入y kx 1中消去x得ky2 y 1 0 由 0得 k 例1 已知抛物线y2 2x 过点P 1 1 的直线l斜率为k 当k取何值时 l与c有且只有一个公共点 有两个公共点 无公共点 分析 直线与抛物线公共点的个数 就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数 由判别式可讨论之 点评 直线l与抛物线c联立方程组中 0 0 0时 称l与c相交 相切 相离 已知点A 0 2 和抛物线C y2 6x 求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程 解析 当直线l的斜率不存在时 由直线l过点A 0 2 可知 直线l就是y轴 其方程为x 0 得y2 0 因此 此时直线l与抛物线C只有一个公共点O 0 0 如果直线l的斜率存在 则设直线l的方程为y kx 2 这个方程与抛物线C的方程联立得方程组 例2 求抛物线y2 64x上的点到直线4x 3y 46 0的距离的最小值 并求取得最小值时的抛物线上点的坐标 分析 本题可应用点到直线的距离公式转化为求二次函数的最小值 也可以转化为求与已知直线平行并且与抛物线只有一个公共点 相切 的直线到已知直线的距离 已知点P是抛物线y x2上到直线2x y 4 0的距离最小的点 则点P的坐标为 答案 1 1 例3 过抛物线y2 2x的顶点作互相垂直的弦OA OB 1 求AB中点的轨迹方程 2 证明AB与x轴交点为定点 分析 AB中点由A B确定 而A B由OA的斜率确定 可通过参数求轨迹方程 2 只要写出直线AB的方程 即能看出过定点 设抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 经过点F的直线交抛物线于A B两点 点C在抛物线的准线上且BC x轴 证明直线AC经过原点O 例4 顶点在原点 焦点在x轴上的抛物线 截直线2x y 1 0所得弦长为 则抛物线方程为 答案 y2 12x或y2 4x 解析 设所求抛物线方程为y2 ax a 0 直线方程变形为y 2x 1 设抛物线截直线所得弦为AB 代入 整理得4x2 4 a x 1 0 则解得a 12 或a 4 所求抛物线方程为y2 12x 或y2 4x 过抛物线y2 8x的焦点 作倾斜角为45 的直线 则被抛物线截得的弦长为 A 8B 16C 32D 61 答案 B 解析 由抛物线y2 8x的焦点为 2 0 得直线的方程为y x 2 代入y2 8x 得 x 2 2 8x 即x2 12x 4 0 x1 x2 12 弦长 x1 x2 p 12 4 16 例5 已知抛物线y2 x上存在两点关于直线l y k x 1 1对称 求实数k的取值范围 例6 求过点P 0 1 且与抛物线y2 2x只有一个公共点的直线方程 辨析 本题造成错解的原因有两个 一是遗漏了直线不存在斜率的情况 只考虑了斜率存在的直线 二是方程组消元后的方程认定为二次方程 事实上 当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意 一 选择题1 在抛物线y2 8x中 以 1 1 为中点的弦所在直线的方程是 A x 4y 3 0B x 4y 3 0C 4x y 3 0D 4x y 3 0 答案 C 2 已知直线l y k x 1 抛物线C y2 4x l与C有且只有一个公共点 这样的直线l有 A 1条B 2条C 3条D 1条 2条或3条 答案 C 解析 将直线l和C的方程联立 消去y得k2x2 2k2 4 x k2 0 当k 0时 方程 只有一个解x 0 所以直线l与C只有一个公共点 0 0 此时直线l的方程为y 0 当k 0时 2k2 4 2 4k4 0 解得k 1 此时l与C有一个公共点 l与C相切 综上 当k 0或k 1时 l与C有一个公共点 答案 C 二 填空题4 若点 3 1 是抛物线y2 2px的一条弦的中点 且这条弦所在直线的斜率为2 则p 答案 2 解析 设弦两端点P1 x1 y1 P2 x2 y2 y1 y2 2 p 2 5 一个正