（江苏专用）高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 文.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 文1.椭圆的概念平面内到两个定点f1，f2的距离的和等于常数(大于f1f2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点f1，f2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合pm|mf1mf22a，f1f22c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合p为椭圆；(2)若ac，则集合p为线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0) b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)b1(b,0)，b2(b,0)轴长轴a1a2的长为2a；短轴b1b2的长为2b焦距f1f22c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c2【知识拓展】点p(x0，y0)和椭圆的关系(1)点p(x0，y0)在椭圆内1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆上一点p与两焦点f1，f2构成pf1f2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.()(5)1 (ab)表示焦点在y轴上的椭圆.()(6)1 (ab0)与1(ab0)的焦距相等.()1.(教材改编)椭圆1的焦距为4，则m_.答案4或8解析当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.2.(2015广东)已知椭圆1(m0)的左焦点为f1(4,0)，则m_.答案3解析由题意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.3.已知椭圆c：1 (ab0)的左、右焦点为f1、f2，离心率为，过f2的直线l交c于a、b两点，若af1b的周长为4，则c的方程为_.答案1解析af1b的周长为4，4a4，a，离心率为，c1，b，椭圆c的方程为1.4.如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_.答案(0,1)解析将椭圆方程化为1，因为焦点在y轴上，则2，即k0，所以0k0，所以x，p点坐标为或.题型一椭圆的定义及标准方程命题点1椭圆定义的应用例1如图所示，一圆形纸片的圆心为o，f是圆内一定点，m是圆周上一动点，把纸片折叠使m与f重合，然后抹平纸片，折痕为cd，设cd与om交于点p，则点p的轨迹是_.答案椭圆解析由条件知pmpf.popfpopmomrof.p点的轨迹是以o，f为焦点的椭圆.命题点2利用待定系数法求椭圆方程例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点p(3,0)，则椭圆的方程为_.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点p1(，1)，p2(，)，则椭圆的方程为_.答案(1)y21或1(2)1 解析(1)若焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过p(3,0)，1，即a3，又2a32b，b1，方程为y21.若焦点在y轴上，设方程为1(ab0).椭圆过点p(3,0).1，即b3.又2a32b，a9，方程为1.所求椭圆的方程为y21或1.(2)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn).椭圆经过点p1，p2，点p1，p2的坐标适合椭圆方程.则两式联立，解得所求椭圆方程为1.思维升华(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2af1f2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21 (m0，n0，mn)的形式.(1)已知圆(x2)2y236的圆心为m，设a为圆上任一点，且点n(2,0)，线段an的垂直平分线交ma于点p，则动点p的轨迹是_.(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_.(3)(2014安徽)设f1，f2分别是椭圆e：x21(0bmn，由椭圆定义知，p的轨迹是椭圆.(2)方法一椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所求椭圆的标准方程为1.方法二所求椭圆与椭圆1的焦点相同，其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0).c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，1，即1.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为1.(3)设点b的坐标为(x0，y0).x21，f1(，0)，f2(，0).af2x轴，可取a(，b2).af13f1b，3，(2，b2)3(x0，y0).x0，y0.点b的坐标为.将b代入x21，得b2.椭圆e的方程为x2y21.题型二椭圆的几何性质例3(1)已知点f1，f2是椭圆x22y22的左，右焦点，点p是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是_.(2)(2015浙江)椭圆1(ab0)的右焦点f(c，0)关于直线yx的对称点q在椭圆上，则椭圆的离心率是_.答案(1)2(2)解析(1)设p(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.点p在椭圆上，0y1，当y1时，|取最小值2.(2)方法一设椭圆的另一个焦点为f1(c,0)，如图，连结qf1，qf，设qf与直线yx交于点m.由题意知m为线段qf的中点，且omfq.又o为线段f1f的中点，f1qom，f1qqf，f1q2om.在rtmof中，tanmof，ofc，可解得om，mf，故qf2mf，qf12om.由椭圆的定义得qfqf12a，整理得bc，ac，故e.方法二设q(x0，y0)，则fq的中点坐标，kfq，依题意解得又因为(x0，y0)在椭圆上，所以1，令e，则4e6e21，离心率e.思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系：在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.(1)已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是_.(2)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1(c,0)、f2(c,0)，若椭圆上存在点p使，则椭圆的离心率的取值范围为_.答案(1)(2)(1,1)解析(1)在双曲线中m2n2c2，又2n22m2c2，解得m，又c2am，故椭圆的离心率e.(2)依题意及正弦定理，得(注意到p不与f1，f2共线)，即，1，1，即e1，(e1)22.又0e1，因此1eb0)的左，右焦点为f1，f2，过f2作x轴的垂线与c相交于a，b两点，f1b与y轴相交于点d，若adf1b，则椭圆c的离心率等于_.解析(1)如图，设左焦点为f0，连结f0a，f0b，则四边形afbf0为平行四边形.afbf4，afaf04，a2.设m(0，b)，则，1b2.离心率e .(2)直线ab：xc，代入1，得y.a(c，)，b(c，).kbf1.直线bf1：y0(xc).令x0，则y，d(0，)，kad.由于adbf1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e.e0，e.答案(1)(2)温馨提醒离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围.无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.方法与技巧1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于f1f2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为1 (m0，n0，且mn)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为ax2by21 (a0，b0，且ab)，这种形式在解题中更简便.3.讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a，c的值，直接代入公式e求得；(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2a2c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解.失误与防范1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.2.注意椭圆的范围，在设椭圆1 (ab0)上点的坐标为p(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点p有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.a组专项基础训练(时间：40分钟)1.设f1，f2分别是椭圆1的左，右焦点，p为椭圆上一点，m是f1p的中点，om3，则p点到椭圆左焦点的距离为_.答案4解析由题意知，在pf1f2中 ，ompf23，pf26，pf12apf21064.2.椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是a、b，左、右焦点分别是f1、f2，若af1，f1f2，f1b成等比数列，则此椭圆的离心率为_.答案解析由题意知af1ac，f1f22c，f1bac，且三者成等比数列，则f1faf1f1b，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，所以e.3.已知f1(1,0)，f2(1,0)是椭圆c的两个焦点，过f2且垂直于x的直线与椭圆c交于a，b两点，且ab3，则c的方程为_.答案1解析设椭圆c的方程为1(ab0)，则c1.因为过f2且垂直于x轴的直线与椭圆交于a，b两点，且ab3，所以，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，椭圆的方程为1.4.已知椭圆1上有一点p，f1，f2是椭圆的左，右焦点，若f1pf2为直角三角形，则这样的点p有_个.答案6解析当pf1f2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点p有2个；同理当pf2f1为直角时，这样的点p有2个；当p点为椭圆的短轴端点时，f1pf2最大，且为直角，此时这样的点p有2个.故符合要求的点p有6个.5.已知圆m：x2y22mx30(m0)的半径为2，椭圆c：1的左焦点为f(c,0)，若垂直于x轴且经过f点的直线l与圆m相切，则a的值为_.答案2解析圆m的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(mb0)的离心率等于，其焦点分别为a、b、c为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在abc中，的值等于_.答案3解析在abc中，由正弦定理得，因为点c在椭圆上，所以由椭圆定义知cacb2a，而ab2c，所以3.8.已知f1(c,0)，f2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，p为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_.答案解析设p(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.9.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：1 (ab0)的右准线方程为x4，右顶点为a，上顶点为b，右焦点为f，斜率为2的直线l经过点a，且点f到直线l的距离为.(1)求椭圆c的标准方程；(2)将直线l绕点a旋转，它与椭圆c相交于另一点p，当b，f，p三点共线时，试确定直线l的斜率.解(1)由题意知，直线l的方程为y2(xa)，即2xy2a0，所以右焦点f到直线l的距离为，所以ac1.又因为椭圆c的右准线为x4，即4，所以c，代入上式解得a2，c1，所以b23，所以椭圆c的方程为1.(2)由(1)知b(0，)，f(1,0)，所以直线bf的方程为y(x1)，联立方程组解得(舍去)或所以p，所以直线l的斜率k.10.(2015安徽)设椭圆e的方程为1(ab0)，点o为坐标原点，点a的坐标为(a,0)，点b的坐标为(0，b)，点m在线段ab上，满足bm2ma，直线om的斜率为.(1)求e的离心率e；(2)设点c的坐标为(0，b)，n为线段ac的中点，证明：mnab.(1)解由题设条件知，点m的坐标为，又kom，从而.进而ab，c2b，故e.(2)证明由n是ac的中点知，点n的坐标为，可得，又(a，b)，从而有a2b2(5b2a2).由(1)的计算结果可知a25b2，所以0，故mnab.b组专项能力提升(时间：30分钟)11.从椭圆1(ab0)上一点p向x轴作垂线，垂足恰为左焦点f1，a是椭圆与x轴正半轴的交点，b是椭圆与y轴正半轴的交点，且abop(o是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_.答案解析由题意可设p(c，y0)(c为半焦距)，kop，kab，由于opab，y0，把p代入椭圆方程得1，2，e.12.如图，已知椭圆c的中心为原点o，f(2，0)为c的左焦点，p为c上一点，满足opof，且pf4，则椭圆c的方程为_.答案1解析设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，右焦点为f，连结pf，如图所示.因为f(2，0)为c的左焦点，所以c2.由opofof知，pfffpo，ofpopf，所以pffofpfpoopf180，知fpoopf90，即fppf.在rtpff中，由勾股定理，得pf8.由椭圆定义，得pfpf2a4812，从而a6，得a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆的方程为1.13.椭圆y21的左，右焦点分别为f1，f2，点p为椭圆上一动点，若f1pf2为钝角，则点p的横坐标的取值范围是_.答案(，)解析设椭圆上一点p的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y).f1pf2为钝角，0，即x23y20，y21，代入得x2310，x22，x2.解得xb0)的左，右焦点，顶点b的坐标为(0，b)，连结bf2并延长交椭圆于点a，过点a作x轴的垂线交椭圆于另一点c，连结f1c.(1)若点c的坐标为，且bf2，求椭圆的方程；(2)若f1cab，求椭圆离心率e的值.解设椭圆的焦距为2c，则f1(c,0)，f2(c,0).(1)因为b(0，b