计量经济学讲义第八讲(共十讲).doc

浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列第八讲 平稳时间序列与单位根过程一、随机时间序列模型概述在严格意义上，随机过程的平稳性是指这个过程的联合和条件概率分布随着时间t的改变而保持不变。在实践中，我们更关注弱意义上的平稳或者所谓的协方差平稳：显然。在本讲义中，平稳皆指协方差平稳。当上述条件中的任意一个被违背时，则称是非平稳的。 （一）平稳随机过程的例子1、白噪声过程：2、AR(1)过程：，是白噪声过程为了验证上述过程满足平稳性条件，我们首先通过迭代得到：。接下来注意到，进一步假设数据生成过程发生了很久，即t趋于无穷大，则；其次也有，当t趋于无穷大时，；最后，当t趋于无穷大时，有： 关于AR(p)过程的平稳性，见附录。3、MA(P)过程：，是白噪声过程显然，任意有限阶MA过程都是平稳的。练习：对于是白噪声过程，请指出平稳性条件。关于ARMA(p,q)过程的平稳性，见附录。（二）非平稳随机过程的例子1、随机游走：，其中是白噪声过程注意到 ，故有：、。显然，随着时期的延伸其方差趋于无穷大，因此随机游走属于非平稳过程。对于过程：，其中是白噪声过程。该过程被称为带漂移的随机游走。显然这也是一个不平稳的数据生成过程。笔记： 1、有效市场理论认为股票价格应当是一个随机游走过程。在随机游走模型中，是白噪声过程，因此有效市场理论的含义也即是股票价格变动（）是不可预测的。按照有效市场理论，股票价格能够及时吸纳消息，因此，如果下一时刻价格与现在价格确实存在差异，那么导致这个价格差异的消息就现在时刻来说是无法预测的，否则，现在价格将马上变动从而使价格差异消失。 2、在财富（预期未来现金流的贴现）给定的情况下，最优的消费计划是现在消费与下一期消费相等（饿一等饱一等显然不是最优）。如果下一期消费与现在的消费确实存在差异，那么导致这个差异的原因（也许是飞来横财）在现在肯定是不知道的，否则现在的消费将作出调整，并做到现在消费与下一期消费相等。按照上述逻辑，消费将是一个随机游走过程。以上是Hall(1978)的消费随机游走理论。 2、单位根过程：， 是平稳过程显然随机游走是单位根过程的特例。另外，我们还可以在上述模型基础上增加截距项或者时间趋势项，如：上述过程都属于单位根过程。笔记： 按照附加预期的菲利普斯曲线理论：通胀率=预期的通胀率-a（失业率-自然失业率）+供给冲击。失业率与自然失业率的差异（即周期性失业率）与供给冲击一般是平稳的。假定人们采取静态预期，即预期通胀率等于过去一年的实际通胀率，则通胀率=过去一年的通胀率+平稳性变量，故基于一些假定我们可以从理论上表明通胀率是一个单位根过程。3、趋势平稳过程：， 是平稳过程由于随时间的变化而变化，故该过程是不平稳的。然而，对变量剔除时间趋势之后我们将得到一个平稳的过程。因此，上述模型被称为趋势平稳过程。趋势平稳过程在剔除时间趋势之后显示出平稳性。而对过程：，其中平稳，故，即通过对变量取差分，我们可以得到一平稳序列，这样的过程被称为差分平稳过程。只要我们在分析时注意纳入时间趋势变量，趋势平稳过程基本上不会对传统的计量分析构成威胁。而单位根过程才是对传统计量分析的真正威胁。事实上，在计量经济学文献中，非平稳过程常常被作为单位根过程的同义词。二、为什么考察数据生成过程的平稳性十分重要？对于两个不平稳的变量，即使从理论上看两者毫无联系，但实证中我们常常会发现两者具有“显著”的相关关系，此即“伪相关”问题，在回归分析中这被称为“伪回归”。另外，当变量含有单位根时，我们通常所利用的一系列统计检验，如t检验与F检验，经常会失效，因为t统计量或者F统计量此时很可能并不服从标准的t分布或者F分布。三、如何基于样本数据判断过程的平稳性？（一）通过折线图粗略判断如果样本数据表现出均值回复的态势，那么可初步判断数据生成过程是平稳的（应该注意到，对于趋势平稳过程，其均值具有确定性的时间趋势）。如果样本数据表现出持久偏离均值的态势，则初步判断数据生成过程是非平稳的。（二）利用相关图如果样本自相关函数表现出拖尾性，而偏自相关函数表现出截尾性，我们可以初步判断数据生成过程是平稳的AR过程；如果样本自相关函数表现出截尾性，而偏自相关函数表现出拖尾性，我们可以初步判断数据生成过程是MA过程；如果样本自相关函数表现出拖尾性，而偏自相关函数也表现出拖尾性，我们可以初步判断数据生成过程是平稳的ARMA过程。（三）单位根检验考虑模型： 其中是白噪声。模型可以被改写为：其中。 单位根检验等价于检验是否为零。该检验是一个单尾检验，我们不考虑1的情况。因为该情况意味着时间序列是爆炸性。该检验的假设体系是：与往常一样，我们利用t统计量来进行检验。然而，在原假设下，此时的t统计量并不服从t分布，而是服从DF分布，为了强调这一点，一般把这里的t统计量改称为统计量。如果计算出的值小于临界值（临界值是一个负数），则在某个显著水平下拒绝原假设，反之则不拒绝原假设。上述检验被称为DF检验。在DF检验中，初始模型的误差项是白噪声，然而实际情况可能并不如此。此时，应该重新建立模型，以保证误差项是白噪声。新的检验模型是：的引入就是为了使新的误差项是白噪声。上述检验单位根的方法被称为扩展的DF检验（ADF检验）。显然，DF检验模型是ADF检验模型的特例。笔记：1、为什么引入众多项就可以达到使新的误差项是白噪声这个目的？考虑模型，其中序列相关。假定服从一个AR（1）过程：，其中是白噪声。当原假设为真（）时，有：。可以发现，新模型的误差项是白噪声；同时，新模型中的解释变量包含有原模型被解释变量（）的一阶滞后（）。推广：当服从一个AR（p）过程时，通过引入（i=1,2,p），新模型的误差项将是白噪声。但一个问题是，为什么要用AR（p）过程来表示误差项？这是因为，即使误差项服从ARMA或者MA过程，但它们都可以被表示成无限阶的AR过程。对于平稳过程而言，这个无限阶AR过程中的（滞后变量前面）系数是收敛于零的。因此，只要p够大，那么AR（p）就是对无限阶AR过程的良好近似。2、如何确定p值呢？此时，我们可以先选择一个较大的p值，然后利用通常的t检验来判断所对应估计系数的显著性，如果不显著，则确定最大的滞后数为p-1。总而言之，最终所确定的p值应该使所对应估计系数是显著的。在实践中我们通常是利用一些信息准则来确定p值。例如，（1）SIC(Schwarz information criterion)准则：估计任意模型，记RSS为残差平方和，K为待估计参数个数，T为样本容量，则按照SIC准则，p值的确定应该使SIC最小。（2）AIC(Akaike information criterion)准则：按照AIC准则，p值的确定应该使AIC最小。（3）HQIC(Hannan-Quinn information criterion)准则：按照HQIC准则，p值的确定应该使HQIC最小。 利用不同的信息准则可能得到的结果并不一致，Stock & Watson(Second Edition,p561) 建议利用AIC准则确定p值。3、理解信息准则。如果仅以残差平方和最小为模型设定的标准，那么纳入更多的解释变量就可以迎合这个标准。然而，实这将付出代价自由度降低。因此，在设定模型时存在一个权衡，而SIC与AIC准则不过就是权衡的规则（事实上我们已经涉及到一个规则，即以调整的R2最大为权衡的规则，回忆一下，该规则是否考虑了残差平方和与自由度这两个因素？）。应该注意到，在SIC中，与相乘，而在AIC中，与相乘。一般来说，因此，SIC准则比AIC准则更加重视自由度不足问题，于是根据SIC准则一般会得到更加简约的模型。HQIC准则对自由度不足问题的重视程度介于SIC与AIC之间。上述几个信息准则不仅应用于单位根检验模型的设定，也广泛应用于AR(p)、MA(p)、ARMA(p,q)等模型设定。实际上ADF检验一般具有三种检验模型设定。模型的选择是一个十分重要的问题，不当的选择将导致检验结论不可靠。问题是，在实践中我们到底应该选择哪一个检验模型呢？规则一：当数据表现出较明显的确定性时间趋势时，选择模型3。模型3可以涵盖两种情况：第一情况是，当时，这是一个趋势平稳过程模型，其样本数据展现出确定性的趋势；第二种情况是，当时，这是单位根过程模型。由于漂移项a的存在，样本数据也将展现出确定性的时间趋势（通过反复迭代，你会发现，漂移项将成为变量t的系数）。笔记：当时，由于的存在，变量y将出现二次趋势，除非。一般认为，经济变量具有二次趋势是不可能的，因此，隐含着的假设。故我们可以利用F统计量来检验原假设：，不过此时的F统计量并不服从标准的F分布，参见更高级的教科书。规则二：当数据没有表现出明显的确定性时间趋势时，选择模型2。模型2可以涵盖两种情况：第一情况是：当时，这是一个平稳过程模型。第二种情况是：当时，这是一个单位根过程模型。笔记：当时，由于的存在，变量y将出现确定性趋势，除非。故我们可以利用F统计量来检验原假设：，同样此时的F统计量并不服从标准的F分布。规则三：模型1基本上不用来作为检验模型。这是因为当时，模型表示一个期望值为零的平稳过程，而经济变量的期望值很少会为零！笔记：当我们对样本数据是否具有明显的确定性时间趋势拿不准时，还有一种关于单位根的序贯检验法，可以参见较高级的教科书，如Walter Enders(2004)。ADF检验是最流行的单位根检验方法，然而，该方法具有较低的检验势，即很容易不拒绝错误的原假设。很多其他的单位根检验方法，例如DF-GLS法等方法（Stock & Watson(Second Edition,p.650-653)，被认为与ADF检验相比具有更高的检验势.当为零的原假设不被拒绝时，我们应该意识到，这或许是因为变量y只含有一个单位根的结果，这也可能是变量含有两个或者两个以上单位根的结果。因此，为了检验变量是否只含有一个单位根，我们应该继续对差分变量进行单位根检验。如果差分变量是平稳的，那么我们认为变量只含有一个单位根。附录：AR(p)过程的平稳性AR(1)过程：，是白噪声过程通过反复迭代有：。AR(1)过程是一个一阶随机差分方程，而就是该方程的解。考察这个解的结构：应该注意到，a1是齐次差分方程的特征方程：的解。在t趋于无穷的情况下，平稳性要求这个特征方程的解其绝对值小于1。AR(p)过程：，是白噪声过程是一个p阶随机差分方程。其解也包括两部分：通解与特解，而特解又包括确定性与随机部分。齐次差分方程的特征方程为：其解是x1，x2，.，xp。则原随机差分方程的通解为：，其中Ai是待定的常数，它们依赖于初始条件。在t趋于无穷的情况下，平稳性要求上述特征方程的解其绝对值小于1。上述特征方程的解可以是复数，那么平稳性要求就是：特征方程的解在单位圆之内。笔记：任意有限阶MA过程都是平稳的。而对于ARMA(p,q)过程：，是白噪声过程，其平稳性条件是：特征方程的根都在单位圆之内。问题一：如何判断特征方程的解在单位圆之内？当然你可以把解求出来，然而一些简单的规则有助于判断特征方程的解是否在单位圆之内。1、平稳性的必要条件：2、平稳性的充分条件：笔记： 考虑最简单模型：。当时，过程不平稳，由此可以理解为什么对于一般模型仅仅是必要条件。3、当时，至少有一个解为1。如果1是一个AR(p)过程其特征方程的解，那么该AR(p)过程被称为单位根过程。问题二：在满足平稳性的条件下如何求特解？在这里我们介绍求特解的滞后算子方法。定义：，L为滞后算子。滞后算子具有如下性质：（1），常数的滞后为本身；（2）；（3）；（4）；（5）对于，练习：验证性质（5） （6）对于，练习：验证性质（6）具备了上述知识后，现在我们来利用滞后算子求特解。例一：求的特解。观察这个特解，它由两部分组成，确定性部分是，而随机部分是。事实上，特解中的确定性部分可以用一种更简单的办法求得，对，令，则。显然，特解中的确定性部分本质上就是y的长期均衡值。上述求特解中的确定性部分的方法可以推广到AR(p)情况。例二：求平稳过程AR(p):，其中是白噪声过程的特解。我们注意到特征方程是：平稳性要求该方程的根都在单位圆之内。我们把称为逆特征方程，则平稳性条件等价于逆特征方程的根都在单位圆之外。假设逆特征方程的根是：，其中（显然是特征方程的根），则有：因此，其中Bi，Ci是待定的常数（这些常数所具有的关系是：。显然，由于，序列是收敛于0的）。因此有：是特解中的确定性部分，按照前述的求特解中的确定性部分的简单方法，它必定是方程的解：。因此，特解是：上述结果也表明，任何一个平稳的AR(P)模型都可以表示成MA()。笔记：假定MA(P)过程是：，是白噪声过程。我们知道，MA(p)是平稳的，如