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典型例题及习题例01 下列分式中是最简分式的是（）A BC D分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A与有公因式，排除B，分解因式为与有公因式，排除D.故选择C.解 C例02 约分（1） （2） （3）分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分.解：（1）（2）（3）原式例03 计算（分式的乘除）（1） （2）（3）（4）分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成.然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算.解：（1）（2）（3）原式（4）原式说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除法化成乘法，而根据分式乘法法则，是先把分子、分母相乘，化成一个分式后再进行约分.在实际运算时，可以先约分，再相乘，这样简便易行，可减少出错.例04 计算（1）（2）分析：（1）对于含有分式乘方，乘除的混合运算，运算顺序是先乘方后乘除，一般首先确定结果的符号，再做其他运算，（2）进行分式的乘除混合运算时，要注意，当分子、分母是多项式时，一般应分解因式，并在运算运程中约分，使运算简化，因式，除式（或被除式）是整式时，可以看作分母是“1”的式子，然后按照分式的乘除法法则计算，这样可以减少错误.解：（1）原式（2）原式 例05 化简求值，其中，.分析 本题要求先化简再求值，实际上就是先将分子、分母分别分解因式，然后约分，把分式化为最简分式以后再代入求值.解 原式当时，原式例07 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式.（1）； （2）；（3）； （4）分析 （1），分子、分母有公因式，所以它不是最简分式；（2）显然也不是最简分式；（3）中与没有公因式；（4）中，分子、分母中没有公因式.解 和是最简分式；和不是最简分式；化简（1）（2）例08 通分：（1）， ，（2）， ，分析 （1）中各分母的系数的绝对值的最小公倍数为30，各字母、因式的最高次幂分别是、，所以最简公分母是.（2）中分母为多项式，因而先把各分母分解因式，；，因而最简公分母是解 （1）最简公分母为.，（2）最简公分母是说明 1通分过程中必须使得化成的分式与其原来的分式相等.2通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘以“什么”，分子也必须随之乘以“什么”，且不漏乘.3确定最简公分母是通分的关键，当公分母不是“最简”时，虽然也能达到通分的目的，但会使运算变得繁琐，因而应先择最简公分母.例09 选择题：若将分式（、均为正数）中的字母、的值扩大为原来的2倍，则分式的值（）A扩大为原来的2倍 B缩小为原来的C不变 D缩小为原来的分析 将原式中的、分别换成，则原分式变为，故选B.说明 此题属于利用分式基本性质设计的选择题，主要考查对性质的灵活掌握程度，只要有整体代换的思想便容易解答.代换过程中、分别换成，其写法不能写为，而应如分析中的写法，将、分别换为，时，原分式变为.例10 若成立，则应取何值，为什么？分析 从上看出，由变为是利用分式的基本性质，把分子、分母都乘以非零整式得到的，在这个恒等变形过程中，只需，所以即可.解 为不等于3的数.因为当时，此等式无意义.例11 下列各式从左到右的变形是否正确？（1）； （2）（3）； （4）分析 （1）错.因为误把分母中项“”的符号当作分母整体的符号：（2）错.不符合分式的变号法则；（3）错.不符合分式的基本性质；（4）错，因为分子、分母都除以时，只除含的项，没除其他项.解 （1）（2）（3）（4）（）说明 此题变形反映了运用分式基本性质解题时易犯的错误，应在今后变形过程中加以避免.例12 设、是实数，要使分式的值等于零，、应满足怎样的条件？分析 最直观的想法是，要使，只要即可，而仅有此条件显然是片面的，因为分式为零，应要求分子为零，且分母不为零，所以本题对、的限制条件是：，且，且.分析到此，条件虽然找到，但“，且”，是不是最本质，最简练的表达，还不一定.解决一个数学问题，应该追求其形式尽量简洁，刻画尽量深刻.解 要使，必须有且，而当时，即由此，要使的值为0，、应满足的条件是且.说明 其实“且”与“且”的本质完全一致，但后者的刻画简单明了，这也是数学追求的形式.数学作为一种科学的语言，它能够也应该追求深入、科学、简明地刻画各种关系.同时提示我们.学习数学也要学习数学的思想方法，而不只是学习一些数学事实、掌握一些数学运算或推理技巧而已.例13 有个人去完成某项工作，需要天可以完成，那么个人去做这项工作，需要多少天才能完成？分析 解决此题的关键在于求出每人每天的工作量，这只要从人天可以完成的工作就可推导出来.解 因为人天可以完成某项工作，所以每人完成的工作量是，所以人一天可以完成工作量，由工作的总量1工作时间工作效率，得到人完成该项工作需要天.例14化简：解：当且时，原式 当且时原式 说明 分式约分是在整式除法，因式分解等知识的基础上进行的，但有时也与绝对值等知识联系起来.例15求值已知，求代数式的值.解： 当即 说明 对于代数式求值，一般情况要先化简再求值.例16求值已知求代数式的值.解：设（） 则原式说明 遇到分式的求值时，一般要根据条件灵活变形再求值.例 计算：（1）；（2）解：（1） （2） 说明 1对分子、分母作因式分解与除法运算转化成乘法运算可同时进行；2运算中出现整式时，若是乘积运算，只须将它与其它分式的分子相乘；当它是除式时，则只取它本身的倒数，再与其它分式相乘注意，第（2）题千万别错写成 的形式；3计算的结果，如果可能，尽量不让分式前边带有负号如（1）题例 计算：（1）； （2）；（3）解：（1）；（2） ；（3） 说明 1对于乘、除和乘方的混合运算，虽然应该注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；2做乘方运算要先确定符号习题解答题1约分（1）（2）（3）（4）2计算题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）3先化简，再求值（1），其中，（2），其中（3），其中，（4），其中，4计算题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）5化简求值（1）当时，求的值（2）当时，求的值参考答案：1（1）（2）（3）（4）2（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）3（1）（2）（3）（4）4（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）1（8）5（1）（2）求下列各分式的值：（1），其中；（2），其中，；（3），其中，参考答案：（1）；（2）；（3）选择题1选择题（1）下列分式中不是最简分式的是（ ）（A）（B）（C）（D）（2）将分式化成最简分式得（ ）（A）（B）（C）（D）（3）下列约分正确的是（ ）（A）（B）（C）（D）（4）下列各式中，计算结果正确的有（ ）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（5）下列各式中，正确的是（ ）（A）（B）（C）（D）2选择题（1）计算结果是（ ）（A）（B）（C）（D）（2）下列计算不正确的是（ ）（A）（B）（C）（D）（3）下列化简正确的是（ ）（A）（B）（C）（D）（4）计算的结果是（ ）（A）（B）（C）（D）（5）分式可化简得（ ）（A）（B）（C）（D）参考答案：1（1）D（2）B（3）D（4）C（5）C2（