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函数（含三角、导数）教材分析与命题分析郑州一中 孙士放一、本模块内容的重、难点，能力要求，在高中教材及高考中的地位等.2005考试大纲：1函数(文理) (1)了解映射的概念，理解函数的概念。(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。(4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质.掌握指数函数的概念、图像和性质。(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质。(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。2.三角函数（文理）(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。(5)了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A.、的物理意义。(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarccosxarctanx表示。(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。3导数（理）(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。导数（文）(1)了解导数概念的某些实际背景。(2)理解导数的几何意义。(3)掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(nN+)的导数公式，会求多项式函数的导数。(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。注：了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中直接应用。理解和掌握：要求对所列知识内容有较深刻的理论认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题.灵活和综合应用：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题.二、本模块内容对应04、05年高考试题的特点.在2004到2005年全国各地的高考题中，考查本模块试题的考查在150分中约占50分左右，题型从选择题、填空题到解答题，选择填空题4-5个，一般解答题涉及本模块的试题有2-3个，三角函数解答题以中档题和容易题为主，函数与导数结合或与其它核心内容（如数列、不等式等）结合命题一般难度较大或作为高考压轴题（尤其理科）出现.本模块在高考中常常从以下几个方面加以考查：1对函数的基本性质进行考查在两年的高考题中，对函数性质的考查涉及到以下内容，函数的解析式、定义域和值域（包括最大值和最小值）、函数的单调性、函数的奇偶性和周期性、函数的对称性、函数的凸凹性、函数的反函数等。对这些知识考查，以选择题和填空题为主，同时以二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和一些分段函数，简单的函数方程为背景，难度以中等题和容易题为主，如：函数的解析式2005山东卷文（7）函数若则的所有可能值为（A） (B) , (C) (D) ,2005江西卷理17（本小题满分12分）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4. （1）求函数f(x)的解析式； （2）设k1，解关于x的不等式；定义域和值域（包括最大值和最小值）2005北京卷文（11）函数的定义域为 .2005天津卷文(15)设函数，则函数的定义域为_（2005广东卷）15（本小题满分12分）化简并求函数的值域和最小正周期.2005浙江卷理8已知k4，则函数ycos2xk(cosx1)的最小值是( )(A) 1 (B) 1 (C) 2k1 (D) 2k12005江苏卷22、（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知，函数。（1）当时，求使成立的的集合；（2）求函数在区间上的最小值。2005重庆卷文17（本小题满分13分）若函数的最大值为，试确定常数a的值.2005重庆卷理17（本小题满分13分）若函数的最大值为2，试确定常数a的值.函数的单调性2005天津卷文理(10)若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是(A) (B) (C) (D)全国卷文理（）已知函数在内是减函数，则（A）（B）（C）（D）函数的奇偶性和周期性全国卷文理（）函数的最小正周期是（A）（B）（C）（D）2005江西卷文理13若函数是奇函数，则a= .2005福建卷文12是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）A5B4C3D22005江西卷文5设函数为（ ）A周期函数，最小正周期为B周期函数，最小正周期为C周期函数，数小正周期为D非周期函数函数的对称性2005福建卷文理16把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数的图象与的图象关于 对称，则函数= .（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）（2005广东卷）19（本小题满分14分）设函数，且在闭区间0，7上，只有 （）试判断函数的奇偶性； （）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论.2005湖南卷文理14设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f1(x)，f (4)0，则f1(4) .2005山东卷文理（4）已知函数则下列判断正确的是（A）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是 (B) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是 (C) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是 (D) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是2005天津卷文(10)设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是()(A) f(1.5)f(3.5)f(6.5)(B) f(3.5)f(1.5)f(6.5)(C) f(6.5)f(3.5)f(1.5)(D) f(3.5)f(6.5)0；.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .2005湖北卷文理7在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ ）A0B1C2D3函数的反函数全国卷理（）函数的反函数是（A）（B）（C）（D）2005江苏卷2、函数的反函数的解析表达式为（ ）A B C D2对数形结合思想、函数图象及其变换的考查也以小题为主，难度为中等2005北京卷文（2）为了得到函数的图象，只需把函数上所有点 （A）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （B）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （C）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 （D）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度2005天津卷文理(8)要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的(A)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度(B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度2005上海卷文理11、函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_。2005福建卷文理6函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）ABCD（2005湖北卷文理）4函数的图象大致是（ ）2005江西卷理7已知函数，下面四个图象中的图象大致是2005辽宁卷12、一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）3三角函数公式（如诱导公式和倍角公式等）变形中的某些常用技巧的运用，解决与三角函数求值、化简和证明等有关的问题. 全国卷文理( B )A.tanx B.tan2x C.1 D.全国卷理（）设为第四象限的角，若，则_全国卷文（）（本小题满分分）已知为第二象限的角，为第一象限的角，求的值2005北京卷文（15）（本小题共12分） 已知=2，求 （I）的值； （II）的值2005湖南卷文理17（本小题满分12分）已知在ABC中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C的大小.4导数的简单应用（比较大小、单调性、最值等）全国卷文、理若,则( C )A.abc B.cba C.cab D.ba 2 x的解集为 (1 , 3 ).（）若方程f ( x ) + 6a = 0有两个相等的根，求f ( x ) 的解析式；（）若f ( x ) 的最大值为正数，求的取值范围.答题情况 平均分：3.56 本题与文(17)题难度相同也属难题, 区分度较文(17)稍低仍较好. 本题空白的将近30, 得零分者共约36. 能进入第()问的求解并得到分数的约占11, 得满分者仅有4. 解答分析 按()、()两问的要求, 首先需要求出二次函数f ( x )的一般表达式. 根据题中提供的信息可联想到: 二次函数 y= f ( x ) + 2x的图像为开口向下的抛物线, 因而a0; 1, 3 两数是二次三项式f ( x ) +2x 的根. 因此求f ( x )的一般表达式的思路有两条:利用根与一次因式的关系; 利用根与系数的关系. 思路1: f ( x ) + 2x 0 的解集为(1 , 3 ), 可知1, 3 是 f ( x ) + 2x的两个根 , f ( x ) + 2x = a (x -1 ) (x -3 ) , 且 a 0 即 a+ (2 + b ) x + c 0 得解集为 (1 , 3 ) , 根据韦达定理, 有 即 b = 4a2 , c = 3 a , 代入得 f ( x ) = a(2 + 4a ) x + 3a . 在此基础上继续求解. () 由方程 f ( x ) + 6a = 0 得 a(2 + 4a ) x + 9a = 0 . 因为方程有两个相同的根, 所以= 0 , 即 54a 1 = 0 . 解得 a = 1 或 a = . 由于 a 0 . 舍去a = 1 . 将a = 代入得f ( x )的解析式 f ( x ) =x . 此外, 这一问的求解也可在“思路2”中得到根与系数的关系式后, 由方程f ( x ) + 6a = 0 得 a+ bx + c + 6a = 0 . 因为此方程有两个相同的根, 所以 = 0 , 即 = 0 . 联立等式,解得 a = 1 或 a = . 舍去a = 1 , 可得a = , b = , c = . 于是得f ( x )的解析式. 考生基本上都是按照这第二种思路做的, 而实际上前一思路的处理显得更为简捷一点. () 可通过将f (x )的解析式配平方, 找出最大值的表达式, 然后求解; 也可直接利用抛物线顶点坐标的公式, 找出纵坐标即为最大值公式, 然后求解. 如: 由 f (x ) = a(2 + 4a ) x + 3a =a,及 a 0 , 可得f (x )的最大值为 . 由 解得 或 . 故当f (x )的最大值为正数时, 实数a 的取值范围是 (, ) ( , 0 ) . 或者由一般的y = a+ b x + c 图像的顶点纵坐标公式为, 得 f (x ) = a2(1+ 2a ) x + 3a 的图像的顶点纵坐标为 , 由 a 0 , 可知f (x )的最大值为 , 进而令它大于零与a 2 x 的解集为(1 , 3 )”领会到f (x )的二次项系数a 0 , 以致在后面的求解中得出错误结果. 如: 求出f (x )有两个解析式: f (x ) = 6 x + 3 , f (x ) = x . 又如: 由 0 , 推出 . (3) 计算失误. 在解()中, 设出 f (x ) = a+ b x + c , 能由已知条件找够求系数a , b , c 的关系式, 但接下来约有60的考生在具体计算过程中出错. 在解()中, 能由f (x )的最大值为正数, 导出 0 , 接着未能求解下去或求解出错的也不少. 又如: 求出了的解为 或 , 却将a 的取值范围错写为 ( , 0 ) . (4) 基本概念不清或基本公式记忆不准. 举其几例, 如: 求f (x ) 的解析式时, 设f (x ) = b+ a x + c , 或设f (x ) = a+ b x + c = 0 ; 由f ( x ) 2 x的解集为 (1 , 3 ) , 错误地得出不等式 在用韦达定理时, 错误列出: 或 由f (x ) = a+ b x + c 的最大值大于零, 推出 . 有少数考生设出 f (x ) = a+ b x + c 后, 主观认定a = 1 而无法得出正确解答.2新课程内容（如导数）的考查将其融入到传统核心内容中去，尤其是解答题不再单独命题，如应用导数研究函数的性质，对三角函数切线的研究等.如文4函数，已知在时取得极值，则=（A）2（B）3（C）4（D）5答题情况答案：(D) 得分率：0.82考查意图本题主要考查导数的求法及应用.错因分析导数求解出错、应用不清晰或计算出错.解答提示 ，由题意得，故选(D).理17设函数图像的一条对称轴是直线.（）求；（）求函数的单调增区间； () 证明直线 = 0 与函数的图像不相切.答题情况 平均分：6.57 本题属中等难度, 区分度较好. 有约一半考生完成了前两问, 这两问与文(17)题的完全相同, 完成情况要好得多. 进入求解第()问并得到一些分数的有38. 本题得满分的考生有16, 仍有14的考生未得分. 考查意图 本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 解答分析 ()、()两问题目与文(17)题完全相同, 解法自不必重复. 第()问, 直线方程 =0中含有参数c, 这表明此方程表示的不是某一条确定的直线, 而是一簇平行直线, 因此, 要证明直线 =0 与的图像不相切, 只须证直线 =0 的斜率与图像上任一点的切线斜率均不相等. 根据函数导数的几何意义, 于是可作如下证明: |=|=|2|2,曲线的切线斜率取值范围为2,2.而直线 =0 的斜率为2, 故得证. 错因分析 ()、()两问中出现的失误与文(17)题中类似. 在()中, 失误主要有: 求=的导数出错.如:=，=2. 这是对复合函数的导数、正弦函数的导数求法不熟造成的. 对曲线的切线的概念不清. 误以为与曲线相切的直线必与x轴平行, 只有=1. 试图通过证明直线 =0 与 无交点来证命题. 如: 联立 因为此方程组无解, 即直线与曲线无交点, 故直线与函数图像不相切. 这种证法对于本题来说至少有两个问题, 一是直线方程 =0 中含有参数c, 它不是一个已知的确定常数, 因此无法说明上面的方程组无解; 二是无交点当然不会相切, 但无交点作为不相切的条件太强, 特别是对于本题的已知条件用它不适宜, 因为, 不相切并不排除有交点, 即有交点也可能不相切, 而本题其实就属于有交点而不相切的情形.理22在导数应用与数学归纳法的交汇处命制试题，更是多数老师没有想到的，也正因此，学生的不适应导致了得分偏低.下重点作一分析： 题目：() 设函数f ( x ) = + ( 0 x 0, x(0 , c) ) , 那么 = c .利用( I )知, 当=(即x =) 时, 函数取得最小值. 于是对任意 0, 0, 都有 +2 = (+) (+)1 . 下面用数学归纳法证明结论. ( i ) 当n = 1 时, 由( I )知命题成立. ( ii ) 设当n = k时命题成立, 即若正数,满足+= 1 , 有 +k .当n = k + 1时, 若正数,满足+= 1,令H =+,由得到 H (+)(+)1+ +(+)(+)1 ,因为(+) + (+) = 1 ,由归纳法假设(+)(+)+(+)(+) k , 得到 H k(+) = ( k + 1) .即当n = k +1时命题也成立.所以对一切正整数n命题成立.（II）对命题进行加强：设,为正数，求证：+（+）.思路三：用数学归纳法证明如下：()当n=1时，不妨设+，则，令，由（）知：+ ，即所以，n=1时命题成立.()假设n=k时命题成立，则n=k+1时左边=+=（+（+）（+）+（+）（+）=（+）所以当n=k+1时命题也成立.根据()、()可知对一切正整数n命题成立第()问, 之所以想到思路三这种方法，正是在函数的凸凹性的基础上发展起来的，而函数凸凹性可利用二阶导数进行判断，即令，则，所以函数为凹函数，故不等式（）对任意正数,及正整数m都成立.时当然也成立. 即本题仅证明了（）式的特殊情形.高屋建瓴，不难想到.四、06年命题趋势与展望.函数（含三角函数、导数）是高中数学的重中之重，函数思想和方法贯穿高中数学始终，我们看到前两年对本模块的考查的试题一般有3-5个小题，两个解答题（三角函数、函数与导数相结合各一个），在文理试卷中所占的分数，达到50多分，2006年我认为在高考中仍会保持这种比重.从命题的发展趋势可以看出，体现了对本模块考试要求的三个层次：第一层次:函数：考查映射、函数、反函数的概念及反函数的求法等；三角：三角函数的解析式、图像与图象变换、三角函数的性质及简单的三角变换；导数：主要考查导数的概念，求导公式和法则。第二层次：函数：考查常见的初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等，其中尤其是二次函数和指对数函数，考查的知识主要是与这些函数有关的定义域、值域、单调性、周期性、对称性、图像以及图象变换等；以函数为依托，以社会热点为背景编拟应用试题，用来考查考生应用知识解决实际问题的能力.三角：通过三角公式变形、转换化为基本三角函数问题考查思维能力(从今年看已降低要求)，考应用融入三角形中成为新的热点问题，这既能考差解三角形的知识和方法又能考差应用三角公式进行恒等变形的技能.导数：导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等。第三层次是综合考查，函数与其它核心知识（如数列、不等式、曲线方程等）、函数与三角函数、三角函数与平面向量交汇处设计题目，将导数内容和传统内容中有关函数性质、三角函数不等式等有机地结合在一起，设计综合试题. 另外，考综合也体现函数、三角和导数的工具作用，可融入到数学的各个章节.总之，预计2006年高考本模块内容仍以函数性质的应用、实际应用题、三角函数基本性质的考查、导数在函数、不等式中的应用及函数、数列、不等式、导数等知识交互汇处命制试题为主.五、本模块内容复习的策略、建议及措施.函数：把握本章的复习重点，以函数知识为依托，强化思想方法的训练，准确深刻地理解函数概念，加强与各章知识的联系，强化应用意识和实践能力的训练.对函数的认识，应该包含对函数的概念和性质的理解；对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数和分段函数的概念和性质的理解；函数图象的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识等重视对函数概念和基本性质的理解包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、反函数、图象变换、基本初等函数（常常是载体）等研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意函数图象（形）的作用对这部分知识的考查，除了一部分比较简单的小题直接考查函数某一方面的性质外，常常是对函数综合的类型较多（中等难度题，以小题和前三道大题为主），包括函数内部多种知识的综合，函数同方程、不等式、数列的综合由于近年加强了数形结合思想的考查，加强了对图