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动量和机械能考点疑难解析 一、对几个重要概念的深入理解冲量、动量、功、动能是重要的物理概念为了加深对它们的理解，我们作下面的对比和讨论1冲量、功与动量、动能的比较(1)冲量(I=Ft)和功(W=Fss是沿力F方向位移，下同)是力的作用的累积，当我们说冲量或功时，必须明确是哪个力(或某几个力的合说动量或动能时，必须明确是哪个物体的(2)冲量和功是跟某个过程相对应的，这个过程是指某段时间t或发生在空间的某段位移s动量和动能则是与某个时刻相对应的，一般来说，物体的速度是变化的，因此，不同的时刻物体的动量或动能一般来说是不同的冲量和功这类物理量可称为“过程量”，动量和动能这类物理量可称为“瞬时量”，过程量是不能与瞬时量直接相等的(3)在牛顿力学范围内，力、时间、物体的质量都与选择的参考系无关，但位移和速度则是与参考系有关的量因此，冲量是与参考系无关的，而动量、功、动能都与参考系的选取有关我们约定，凡不具体指明参考系的，都是指以地面为参考系2冲量与动量、功与动能间的联系动量定理和动能定理分别表示冲量与动量变化的关系和功与动能变化的关系，用公式表示分别是：I=pmv2mv1，这两个关系式也是表示力与运动关系的式子，但它们与牛顿第二定律(F=ma)不同，即它们都是过程关系，等式中的p和W是过程量，等式右边是末、始两个时刻的动量或动能的差，它也是与这一过程相对应的就是说，动量定理与动能定理是表示某一过程中力与运动的关系，而牛顿第二定律则是表示某一时刻力与运动的关系冲量和动量都是矢量，动量定理是矢量关系式；功和动能都是标量，动能定理是标量关系式矢量求和与求差，都遵守平行四边形定则，与标量运算规则不同，这是要特别注意的中学阶段关于动量及动量变化的问题，只限于一维的简单情况，对这类问题，常把矢量的方向用正、负号表示，从而把矢量运算变成代数运算例1 一个质量为0.2kg的小木块从光滑斜面的顶端由静止开始滑下，已知斜面倾角为37，滑到底端时速度大小为3m/s取g10m/s2，求这个过程中重力对木块的冲量大小及重力对木块做的功解：木块在倾角为37的斜面上滑行时的加速度大小为a=gsin37=6m/s2根据运动学公式可求出下滑过程所用时间和发生的位移根据冲量和功的定义，可求出重力的冲量及对木块所做的功I=mgt=1Ns，W=mgssin370.9J说明：以上我们解题的依据是冲量及功的定义，为此先要求出t及s，比较麻烦下面我们试着用动量定理和动能定理来解：根据动量定理I=p=mv0=0.6Ns，根据动能定理对比以上两种解法，发现功的数值相同，而冲量的数值不相同，原因何在？哪一个正确呢？对于求功，两种解法都正确，这是因为本题中木块只受两个力作用，其中支持力不做功，只有重力做功，重力做的功即为合外力做的功，因此用动能定理求出的结果正确但支持力对木块的冲量却不为零，利用动量定理求出的冲量I是合外力对木块的冲量，也可以说是外力对木块的冲量的矢量和，因此它不等于I(矢量和的数值可以比分量的数值小)，因此后面的解法不对例2 水平转台上离转轴中心0.2m处放一木块，质量m100g，(1)求在它转半周的时间内摩擦力的冲量大小；在这过程中做的功解：(1)木块做匀速圆周运动，速度大小不变但方向时刻在变，在它转半周的过程中，末速与初速的方向恰好相反，这过程中的动量变化量大小为2mv根据动量定理I=p=2mr=0.02Ns这是合外力的冲量，但因木块的重力与支持力相平衡，这个合外力的冲量就等于静摩擦力的冲量(2)根据动能定理这是合外力对木块做功，但在这过程中重力和支持力都不做功，因此它就是静摩擦力对木块做的功说明：(1)本题的两问都不能利用冲量和功的定义式求解，原因是在这里摩擦力是变力在第一问的情况下，木块做匀速圆周运动，静摩擦力就是向心力，它的大小不变但方向时刻在变，也是变力在第二问的情况下，木块做变速圆周运动，所受的静摩擦力更是变力，对于变力，公式I=Ft及W=Fs都不能用(2)在第一问的情况下，木块做匀速圆周运动，静摩擦力始终指向圆心，与速度方向垂直，是不做功的，但在第二问的情况下，木块做加速圆周运动，它的合外力(此时即为静摩擦力)的方向不指向圆心，把它正交分解，除了有指向圆心的分力(向心力)以外，还有另一个与速度方向一致的分力(称为切向力)，正是由于切向力的存在，才对木块做功，使它动能增大例3 如图31所示，Q为一个带有半圆形轨道的物体，固定在地面上轨道位于竖直平面内，端点a，b等高小金属块P从H高处自由下落，滑过Q的轨道，从a端上升的最大高度为H/2再落下来在轨道中滑行，则(不计空气阻力) A恰能到达b点B能冲出b点再上升一定高度C不能到达b点即返回D不能确定是以上哪种情况解：根据题意，第一次从左边落下滑过轨道，机械能有损耗，说H再次落下，第二次滑过轨道的过程中，由于速度要小于第一次滑过轨道时的速度，因此向心力要小于第一次，从而P与轨道间的相互作用的弹力要小于第一次，作用于它们间的滑动摩擦力也是第二次小于第一b点再上升一定高度，正确答案是B说明：本题P在轨道内的运动是变速圆周运动，每一时刻的速率、所需的向心力(注意这里的向心力不是合外力，而是合外力指向圆心方向的分力)、轨道对P的支持力、滑动摩擦力都是变量，这里说第二次比第一次小，应理解为对应时刻相比较，例如刚接触轨道的时刻、滑过最低点的时刻、滑过轨道上某一点的时刻等等通过本题应明确，同一物体沿一曲面运动，滑动摩擦力的大小是与运动速度的大小有关的二、功是能量变化的量度功是能量变化的量度，这句话内涵丰富，下面三个方面是经常遇到的1保守力做功等于相应势能的减少所谓保守力，是指那些做功与路径无关，而只由始、末位置决定的力只有保守力，才能引入由位置决定的势能保守力做功的一个合理的推论就是从某一点出发，沿任意一条路径又回到原位置，这过程中做的功一定为零中学阶段学习过的保守力及相应的势能有：重力重力势能；万有引力引力势能；弹簧弹力弹性势能；分子力分子势能；静电场的电场力电势能用公式表示保守力做功与相应势能间的关系是W保守力=Ep其中重力做功与重力势能间的关系应用最多，即WG=Ep=mgh1mgh2，用语言描述就是重力对物体做的正功，等于物体重力势能的减少量其他几种保守力做功，除匀强电场中电场力做功的公式比较简单，都是变力做功，直接计算变力做的功比较困难，相应的势能表达式也比较复杂，中学阶段不要求掌握和进行计算2动能定理和机械能定理外力对物体做功的代数和等于物体动能的增量，即动能定理除重力、弹簧弹力外的外力对物体做功的代数和等于系统机械能的增量，称为机械能定理，分别用公式表示为W=EK，W其他=E前者是对某个物体而言，中学阶段所说的物体，是指质点，质点受的力都是外力后者是对物体和弹簧(还有地球)组成的系统而言的，物体受到的重力和弹簧弹力是内力，而且是保守力，它们做功引起的相应势能与动能之间的转化，是机械能内部的转化，因此要强调“除重力、弹簧弹力外”例4 两个底面积都是S的圆筒，放在水平面上，中间有一细管相连，先把细管处的阀门关闭，分别给两管注入一些水，水面高度分别是h1和h2，如图32所示已知水的密度为现把阀门A打开，最后两筒内水面高度达到相等，求这过程中重力对水做的功解：打开阀门后，左边水要有一部分流入右边，直接利用功的定义求重力功很困难，但利用重力做功与重力势能变化的关系求解则非常方便最后平衡后两筒内液面位于图33中的c处由于两筒底面积都是S，因此c恰为原来两液面a，b的正中，即左边液面下降的高度与标斜线区域的水移到右边标竖线的区域这样，我们计算重力做功，就可以转化为计算这部分水的重力势能的减少量，即例5 如图34所示，一根轻杆长为2l，它的左端O为固定转动轴，可绕O轴在竖直平面内无摩擦转动杆的中点及右端各固定一个小球A和B，两球质量分别为m及2m，重力加速度为g现用外力使杆处于水平位置，由静止释放，求杆从开始转动到转到竖直方向的过程中，杆的作用力对B球所做的功解：设没有A球，只有右端的B球，则在转运过程中，杆的弹力总沿杆方向，对B球不做功，只有重力对B球做功，机械能守恒，B球到达最低点时的动能EK12mg2l=4mgl现在杆中点有A球，整个系统的机械能守恒，即A，B两球减少的重力势能等于它们的动能之和又由于A，B两球固定在同一轻杆上，转动过程中两球的角速度一定相同，A的速度为B的速度的一半，A的杆对B球做的功即为这两次动能之差，即说明：弹力是由于物体发生弹性形变而产生的没有A球时，杆只有两边端点处受外力作用，这时杆发生的是拉伸形变，即杆被稍稍拉长，它产生的弹力是沿杆并指向收缩方向的，这时的弹力在运动方程中不做功有A球时，杆除了仍发生拉伸形变外，还同时发生弯曲形变，即中间稍向下弯而两端稍向上翘，正是由于这种弯曲形变，使A，B两球受到“切向力”作用，B球受到的这种切向力与运动方向相同，对B球做正功，而A球受到的切向力方向与运动方向相反，对A球做负功，这个负功的绝对值与对B球做的正功数值相等，它们共同作用的结果是使得有一部分机械能从A球向B球转移，读者可以自己计算一下杆的作用力对A球做功的值，以验证上面的结论3关于摩擦力做功的问题(1)摩擦力对一个物体做功的问题对于某一个物体而言，它受到的摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)既可以做正功，也可以做负功或不做功当摩擦力对某物体做正功时，物体的动能要增加，那么物体增加的动能是由什么能量转化来的呢？要解决这个问题，需进一步讨论一个相互作用的摩擦力对两个物体做功的问题(2)一对相互作用的摩擦力做功的问题如果两物体间存在着相互作用的静摩擦力，当这对静摩擦力分别对两个物体做功时，一定是一个力对某物体做正功，它的反作用力对另一个物体做负功，而且它们的代数和一定为零这一对静摩擦力做功的总的结果，是使得一部分机械能从一个物体向另一个物体转移，机械能的总量保持不变，没有机械能向内能的转化，即不会生热如果两物体间有滑动摩擦力存在，这一对滑动摩擦力做功的情况共有三种可能：对一个物体做正功，对另一个物体做负功；对一个物体做负功，对另一个物体不做功；对两个物体都做负功这三种情况的共同特点是它们的代数和总为负值，这一对滑动摩擦力做功的总的结果是使得一部分动能从一个物体向另一个物体转移，而另有一部分能则转化为内能，即摩擦生热例6 如图35所示，一块长木板A，质量为M，以速度v0沿光滑水平面匀速运动某时刻在它的右端放上一个质量为m的小物体B，B的初速为零，它将在A上滑行一段距离后与A保持相对静止求：在相对滑动的过程中，滑动摩擦力对A和B各做多少功？产生多少热？解：设在相对运动结束时，A发生的位移为s1，B发生的位移为s2，而B相对于A滑行的距离为l，如图36所示由于木板A与地面间没有摩擦，A，B组成的系统水平方向不受外力，总动量守恒即Mv0=(Mm)v，A，B间的滑动摩擦力大小设为f，它对B做正功它对A做负功，它的绝对值为生成的热说明：(1)本题用实例一对相互作用的滑动摩擦力在对一个物体做正功，对另一个物体做负功的情况下，负功的绝对值一定大于正功，它们总的结果的确是使一部分动能从A向B转移，还有一部分转化为内能(2)滑动摩擦力f与相对滑动路程l的乘积，等于摩擦生热的量，但不要把fl称为摩擦力的功，因为它不是以地面为参考系的功(3)机械能向内能转化的数量，是由一对滑动摩擦力分别对两个物体做功共同决定的，即它等于这一对功的代数和(取绝对值)，即Qfl=|fs1fs2|我们也可以换一个角度看问题改为以A为参考系，则这一对滑动摩擦力中只对B做负功，其绝对值就是fl，即是生热的数量(这时的A是做变速运动的，因此它不是惯性参考系，在“摩擦生热”的问题上，可以转化为任何参考系讨论问题，但这种方法不能随意推广)例7 如图37所示，倾斜的传送带开始处于静止，一木块从顶端以一定的初速度匀速滑下，如果木块滑到中途时传送带开始沿顺时针方向转动，那么与传送带静止时相比 A木块滑到底端所用的时间将延长B木块在滑到底端的过程中，摩擦力的冲量将变大C木块在滑到底端的过程中，木块克服摩擦力所做的功将变大D木块在滑到底端的过程中，转化为内能的机械能将变大解：木块原来匀速运动，即受力平衡现皮带开始运动，但并不改变木块的受力情况，因此它仍按原速度做匀速运动，A，B两选项都不正确C选项讨论木块克服摩擦力所做的功，当然是指以地面为参考系的功，由于摩擦力及对地的位移在两种情况下是相同的，因此它克服摩擦力做的功也不变化，C选项不正确D选项讨论的是转化为内能的机械能，即生成的热，它等于滑动摩擦力与相对运动的路程的积，现在皮带向上运动，木块在皮带上滑动的路程变大，因此生热变多，D选项正确例8 如图38所示，小球P与斜面体Q间有摩擦，Q与水平地面间接触光滑开始时悬挂P的细线保持竖直方向用水平外力F推动Q，使它匀速向左运动，而P则以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，直到细线与斜面平行为止在这个过程中 A支持力对P做正功B摩擦力对P做正功CP对Q做的功与F对Q做的功绝对值相等DF对Q做的功与Q对P做的功绝对值相等解：首先对P作受力分析，取P在运动过程中的任意一个位置，这时它共受4个力作用，受力示意图如图39所示，其中重力G竖直向下，支持力N垂直于斜面向上，绳的拉力T沿绳方向，滑动摩擦力f与“相对运动方向相反”，即沿斜面向下，而此时刻P的运动速度方向垂直于绳(圆的半径)由图上不难看出，N及f与v的夹角都小于90，因此都做正功，A，B选项正确由于Q沿水平面做匀速运动，运动过程中机械能保持不变，因此外力对它做功的代数和应为零，对Q做正功的是推力F，对Q做负功的是物体P，因此C选项正确Q对P的作用力有弹力和滑动摩擦力，它们共同做功的结果是增加P的机械能，但滑动摩擦力对P做的功与对Q做的功绝对值并不相等，两者之差就是生热的量F对Q做的功，应该增加Q的机械能，但这些能量一部分转给了P，另一部分则转化为内能，因此D选项不正确说明：P对Q的作用力与Q对P的作用力是相互作用的力，总是大小相等、方向相反的，但它们做的功却不一定相等对于压力和支持力这一对弹力，由于不考虑物体的形变，没有势能的变化，两力做功的绝对值总是相等的对于静摩擦力，由于没有相对位移，它们做的功的绝对值也总是相等的，对于滑动摩擦力，由于两物体间有相对位移，因此两力做功的绝对值总是不相等的，而且一定是负功的绝对值大于正功例9 水平传送带上各点的速度均为v，并保持不变现将一小工件放到传送带上，并使它具有与传送带运动方向相反的初速度，速度大小也是v，它将在传送带上滑动一段距离后才与传送带保持相对静止设工件质量为m，在这相对滑动的过程中，滑动摩擦力对工件所做的功及产生的热量各是多少？解法一：首先分析运动过程，如图310所示设工件刚放到传送带上时与传送带的A点接触，这时传送带与工件的速度大小都是v，但方向相反由于工件与传送带间有摩擦力，工件将做匀减速运动，至图中虚线所示的位置速度减为零，然后从静止开始向右做匀加速运动，直到速度增加到v由于这两段运动的加速度相同，运动具有“对称性”，可知速度再增加到v时的位置仍是图中实线所示的位置即在工件相对滑动过程的始、末，位置相同，位移为0，因此滑动摩擦力对工件所做的功为零工件向左减速至零所用的时间与向右加速至v所用的时间相等，都等于t因此这相对运动过程的总时间是t2t设工件与传送带间的动摩擦因数为，则工件运动的加速度大小为a=g在这段时间里，传送带一直以速度v做匀速运动，A点移到了A点，发生的位移摩擦生热的量等于滑动摩擦力与相对运动路程的乘积，即解法二：应用动能定理解答此题更为简便滑动摩擦力对工件所做的功，等于工件动能的增量，即W=EK=0滑动摩擦过程所产生的热，等于以皮带为参考系滑动摩擦力对工件所做的功，也就等于工件以皮带为参考系时动能的变化量以皮带为参考系，工件的初速度大小为2v，方向向左，末速度为零则说明：本题在相对滑动过程的始、末状，工件的机械能没有变化，而皮带则始终做匀速运动，机械能也没有变化，但没有热量产生，显然这不符合“摩擦生热的量等于系统机械能的减少”的结论，这是因为由皮带和工件组成的系统不是“孤立系统”，皮带之所以在相对滑动的过程中仍能保持做匀速运动，是由于有外部机件的带动，从能量的观点看，是外部输入的能量通过一对滑动摩擦力做功转化为内能三、物体相互作用过程中的动量和能量1两个守恒定律两物体相互作用的过程中，如果不受外力作用，则总动量守恒，这就是动量守恒定律两个物体组成的系统动量守恒的实质是：两物体在相互作用过程中，各自的动量变化量大小相等、方向相反，即：p1=p2关于机械能守恒定律，实际上应分为三个层次去理解：(1)只有重力对物体做功，物体的机械能守恒这里说“物体”的机械能守恒，是一种简化的说法，实质上应是指由物体和地球组成的系统，因为重力势能是物体和地球这个系统共有的，但为了简便，我们把地球略去不说(2)在只有重力和弹簧弹力做功的条件下，物体和弹簧组成的系统(还包括地球)机械能守恒弹簧弹力做功的过程，是弹簧的弹性势能和物体的动能相互转化的过程，但系统的总机械能守恒(3)对于更广泛的由相互作用的物体组成的系统来说，机械能守恒的条件是：没有外力做功，没有内力中的滑动摩擦力做功在满足机械能守恒的条件下，系统内各物体间可以有能量的传递，也可以有动能、重力势能、弹性势能间的相互转化2碰撞问题碰撞是两个物体常见的一种相互作用形式它的特点是相互作用时间极短，而相互作用力(内力)很大因此，两物体的碰撞过程，都满足动量守恒的条件，即使是在碰撞过程中还受到外力(例如地面给的摩擦力等)碰撞过程中的能量关系则比较复杂，弹性碰撞的特点是碰后两物体都能完全恢复原状，碰撞过程机械能完全不损失；完全非弹性碰撞的特点是碰后两物体不再分开，具有相同的速度，两物体产生非弹性形变，碰撞过程中机械能的损失最大；介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的称为非弹性碰撞，碰后两物体要分开，但碰撞过程中有机械能损失单纯的碰撞过程，由于没有其他能量向机械能转化，总机械能不可能增加爆炸、火箭的发射等过程，都有其他能(如化学能)向机械能转化，使得系统的机械能增加，这些过程一般也遵守动量守恒定律，但不属于碰撞例10 甲、乙两物体沿同一水平光滑直轨道向同一方向运动，甲在后，乙在前，已知它们的动量分别是p甲5kgm/s，p乙7kgm/s甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙的动量变为p乙=10kgm/s两物体的质量关系正确的是下面的哪几种？ Am乙=m甲Bm乙=2m甲Cm乙=4m甲Dm乙=6m甲解：动能与动量的关系式是两物体不论是哪种碰撞，都符合动量守恒的条件，因此可求出碰后甲的动量p甲=(p甲p乙)p乙=2kgm/s如果两物体的碰撞是弹性碰撞，碰撞前、后的总动能应相等，即满足代入数据并可解出如果两物体的碰撞是完全非弹性碰撞，则碰后两者速度相同，即满足代入数据可解出由于两物体的碰撞只能介于上述的两种碰撞之间，即两者质量关系一定满足因此，本题只有C选项正确说明：(1)同一物体，动量和动能的关系，即下面两个式子也是会经常遇到的(2)两个物体发生碰撞，弹性碰撞和完全非弹性碰撞是两个极端的情况，真实的碰撞绝大多数都是介于两者之间的例11 如图311所示，小木块A位于光滑的斜面上，斜面体B位于光滑的水平桌面上没有其他外力作用，在A沿B的斜面下滑的过程中 AA，B组成的系统总动量守恒BA，B组成的系统总机械能守恒C这个过程中除重力外没有其他力做功D这个过程中木块A的重力势能减少量等于它的动能的增加量解：A和B组成的系统(严格地说，还包括地球)，除了系统内各物体间的相互作用力以外，还有桌面对B的支持力，这个力是系统受到的外力，因此系统不满足动量守恒的条件，A选项错误但这个外力(桌面对B的支持力)不做功，内力中也没有摩擦力做功，因此满足机械能守恒的条件，B选项正确这里的机械能守恒，是指A，B组成的系统而言的如果单对木块A来说，它的机械能不守恒，因为在A下滑的过程中，B要向后退，如图312所示，A移到A的位置，不难看出，B对A的支持力N虽然垂直于斜面，但不垂直于A的位移s，因此支持力N要对木块A做负功，对木块A来说，不满足机械能守恒的条件，A的机械能不守恒在这个过程中，N的反作用力，即A对斜面的压力N(图中未标出)对B要做正功，而且这两个功的绝对值相等，它们共同作用的结果是使一部分机械能从A向B转移这个过程中系统的总机械能守恒，具体地说，是A的重力势能的减少量等于A和B的动能增加量之和因此选项C、D都不对说明：(1)这个过程中，A，B组成的系统动量不守恒是因为受到桌面的支持力，但这个力是沿竖直方向的，而沿水平方向并没有受到外力作用，因此这个系统在水平方向的动量是守恒的(2)这个过程中，N和N这一对弹力做功的代数和为零，是因为A，B两物体都认为是刚性物体，即认为它们不发生形变，从而也没有弹性势能，这样，在运动过程中，A与B的位移沿垂直于斜面方向的分量总是相等的因此正功和负功的绝对值也总是相等的，从能量的观点看，只引起机械能的转移而没有发生机械能向内能的转化例12 如图313所示，A，B两物体的质量分别为m和3m，用一根细线拴住，中间还夹有一个被压缩的轻弹簧，在水平光滑地面上以速度v0匀速运动某时刻剪断细线，弹簧弹开，A物体离开弹簧后的速度变为v=2v0求：这个过程中弹簧对两物体各做多少功？有多少弹性势能转化为动能？解：A，B和弹簧组成的系统满足动量守恒的条件设B离开弹簧后的速度变为v，则mAv0mBv0=mAvmBv两物体动能的变化都是由于弹簧弹力做功引起的，可根据动能定理求弹力的功整个系统满足机械能守恒的条件，A和B的总动能的增加量即为弹簧弹性势能的减少量，因此说明：在本例题中，弹簧对A的作用力与对B的作用力总是大小相等、方向相反的，但两力所做的功的绝对值却不相等，这是因为弹簧的形变不能忽略，造成A，B两物体在这个过程中的位移不相等这一对表示这一对力做功的总的结果，除了把一部分动能从一个物体向另一个物体转移以外，还使得系统的总动能增加了，这当然是由弹簧的弹性势能转化而来的对比本例题和前面的例11以及例6，可以体会到，分析一对弹力或摩擦力对两个物体做功，可以对能量的转移与转化有进一步的认识例13 如图314所示，木板甲放在光滑的水平地面上，木块乙位于甲的右端，开始时都处于静止状态已知甲的质量是乙的质量的2倍现用恒定的水平拉力F向右拉动甲，经过时间t1，乙恰好经过甲的正中，并且此时甲的速度是乙的速度的4倍此时撤去拉力F，又经过时间t2，乙恰好滑到甲的左端，并且与甲的速度大小相同已知乙与甲的前半段的动摩擦因数为1，乙与甲的后半段的动摩擦因数为2，求1与2及t1与t2的比值各是多少解：乙在甲上滑动的过程分成两段，第一段有恒定的外力F作用，历时t1，这期间甲和乙都做匀加速运动，只是两者的加速度大小不同第二阶段没有外力作用，只有相互间的滑动摩擦力作用，符合动量守恒的条件，最后达到共同的速度设刚撤消力F时乙的速度为v，则甲的速度为4v，乙滑到甲左端时的共同速度为v，则满足2m4vmv=3mv，v3v为了分析问题的方便，我们作出甲、乙两物体的速度一时间图象，如图315所示其中木板甲在前一段时间内在恒力F和摩擦力的共同作用下做匀加速运动，末速度达到4v，后一段时间内只在摩擦力的作用下做匀减速运动，直到速度减为3v木块乙在两段时间内都是在滑动摩擦力的作用下做匀加速运动，但由于两段木板与木块的动摩擦因数不同，因此加速度大小不同在图317中，OAB的“面积”表示第一阶段甲与乙的相对运动的位移，它等于木板甲长度的一半，而ACB的“面积”表示