高中数学2.3.4圆与圆的位置关系课件一 新人教B版必修2.ppt

2 3 4圆与圆的位置关系 1 理解五种圆与圆的位置关系 掌握它的位置关系的判定方法 2 会利用圆与圆的位置关系求解圆的方程 了解圆系的使用方法 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 2 3 4 课前自主学案 初中平面几何介绍的两个圆的位置关系 画图表示如图 1 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系如下表所示 注意 与 的不同 0 0 0 0 思考感悟两圆没有交点 一定外离吗 提示 不一定 还可能内含 2 相交弦与公切线问题设两圆圆心距为d 两圆半径分别为r r r r 则 1 当d r r时 两圆 此时有 公切线 2 当d r r时 两圆 连心线过切点 有 外公切线 内公切线 3 当r r d r r时 两圆相交 连心线垂直平分公共弦 有 外公切线 4 当d r r时 两圆内切 连心线过切点 只有一条公切线 外离 四条 外切 两条 一条 两条 3 圆系与圆系方程具有某种共同性质的圆的集合 称为 1 同心圆系 x x0 2 y y0 2 r2 x0 y0为常数 r为参数 2 圆心共线且半径相等圆系 x x0 2 y y0 2 r2 r为常数 圆心 x0 y0 在直线ax by c 0上移动 3 过两已知圆fi x y x2 y2 dix eiy fi 0 i 1 2 的交点的圆系方程 x2 y2 d1x e1y f1 x2 y2 d2x e2y f2 0 圆系 即f1 x y f2 x y 0 1 当 1时 变为 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 表示过两圆的交点的直线 当两圆是同心圆时 此直线不存在 当两圆相交时 此直线为公共弦所在直线 当两圆相切时 此直线为两圆的公切线 当两圆相离时 此直线为与两圆连心线垂直的直线 4 过直线与圆交点的圆系方程设直线l ax by c 0与圆c x2 y2 dx ey f 0相交 则方程x2 y2 dx ey f ax by c 0表示过直线l与圆c的两个交点的圆系方程 课堂互动讲练 利用几何法计算圆心距 判断下列两圆的位置关系 若相交 请求出交点坐标及公共弦长 1 x 2 2 y 2 2 1和 x 2 2 y 5 2 16 2 x2 y2 6x 7 0和x2 y2 6y 27 0 分析 由两圆的圆心距与半径关系可判定两圆的位置关系 两圆相交求交点 可由圆的方程联立方程组 解方程组求交点坐标 求弦长可由两点间的距离公式或由几何法求解 求弦长的另一种方法 因为 式是公共弦所在直线的方程 所以第一个圆的圆心 3 0 到直线的距离为 2 求两圆相交时的公共弦长的方法 方法一 代数法 即求两圆交点 再利用两点间的距离公式求解 方法二 利用几何法求解 两种方法比较 选用方法二更简捷 跟踪训练1a为何值时 两圆x2 y2 2ax 4y a2 5 0和x2 y2 2x 2ay a2 3 0 1 相切 2 相交 3 外离 解 将两圆方程化为标准方程 x a 2 y 2 2 9 x 1 2 y a 2 4 设两圆圆心距为d 则d2 a 1 2 2 a 2 2a2 6a 5 1 当d 5即2a2 6a 5 25时 两圆外切 此时a 5或a 2 当d 1即2a2 6a 5 1时 两圆内切 此时a 1或a 2 2 当15即2a2 6a 5 25时 两圆外离 此时a 2或a 5 研究公共弦所在直线的方程或弦长 已知两圆x2 y2 2x 10y 24 0和x2 y2 2x 2y 8 0 1 试判断两圆的位置关系 2 求公共弦所在直线的方程 3 求公共弦的长度 分析 只有当两圆相交时 才能将两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程 并求公共弦的长度 点评 求两相交圆的公共弦的方程及公共弦长时 一般不用求交点的方法 常用两方程相减法消去二次项 得到公共弦的方程 再由勾股定理求弦长 跟踪训练2判断两圆c1 x2 y2 2x 0与c2 x2 y2 4y 0的位置关系 若相交 求其公共弦长 灵活选择圆系方程来待定其系数 求圆心在直线x y 4 0上 且经过两圆x2 y2 4x 6 0和x2 y2 4y 6 0的交点的圆的方程 分析 求出圆心坐标 代入直线方程即可 点评 关键是求圆心坐标 并进行检验是否增 失根 跟踪训练3求过直线2x y 4 0和圆x2 y2 2x 4y 1 0的交点 且面积最小的圆的方程 解 设过直线2x y 4 0和圆x2 y2 2x 4y 1 0交点的圆系方程为x2 y2 2x 4y 1 2x y 4 0 整理得x2 y2 2 1 x 4 y 1 4 0 要使圆的面积最小 即要求半径r最小 利用两圆位置关系的几何性质 建立代数关系式 如图 rt abc的斜边长为定值2m 以斜边的中点o为圆心作半径为n的圆 bc的延长线交圆于p q两点 求证 ap 2 aq 2 pq 2为定值 分析 建立平面直角坐标系 用字母或数值表示a p q的坐标 代入式子化简推证 证明 如图 以o为坐标原点 以直线bc为x轴 建立平面直角坐标系 于是有b m 0 c m 0 p n 0 q n 0 设a x y 由已知 点a在圆x2 y2 m2 x m 上 ap 2 aq 2 pq 2 x n 2 y2 x n 2 y2 4n2 2x2 2y2 6n2 2m2 6n2 m n均为定值 ap 2 aq 2 pq 2为定值 点评 本题为一几何问题 若不通过建系用坐标方法则不易解决 解答过程中应注意 1 点b c关于o点对称 点p q关于o点对称 2 a x y 满足x2 y2 m2 x m 跟踪训练4一动圆经过定点m 4 0 且与已知圆 x 4 2 y2 9相外切 求动圆圆心的轨迹方程 解 x 4 2 y2 9 圆心c 4