《2.4向量的数量积（二）》教学案.doc

2.4向量的数量积（二）教学案第2课时数量积的坐标表示 (教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)掌握平面向量的数量积的坐标表示(2)掌握用数量积表示线段长及两向量垂直的条件(3)会用平面向量数量积的坐标表示解决具体问题2过程与方法通过学习数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题、解决问题的能力3情感、态度与价值观(1)用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明事物可以相互联系与转化(2)用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律说明事物的变化形式是丰富多彩的，激发学生热爱科学的高尚情怀重点难点重点：用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角，会判断两向量间的垂直关系难点：运用向量法与坐标法解决有关问题教学方案设计(教师用书独具)教学建议 1关于向量数量积的坐标运算的教学教学时，建议教师从向量的坐标概念出发，类比数的乘法运算，由学生自主推导出数量积的运算，并就数量积的坐标形式同向量加减及数乘运算的坐标加以比较，在熟悉的同时，记忆并熟练应用2关于向量的模、夹角及垂直关系的教学教学时，建议教师让学生结合数量积的定义及性质，完成对向量的模、夹角及垂直关系的坐标运算的推导，并通过题组训练，以便让学生熟练应用，为下节向量的应用奠定基础教学流程课前自主导学课标解读1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角(重点)2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系3.增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识(难点)平面向量数量积的坐标表示【问题导思】i，j分别是x轴、y轴上的单位向量，ax1iy1j，bx2iy2j，如何求ab？【提示】ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2x1y2ijx2y1ijy1y2j2x1x2y1y2.若两个向量为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.长度、夹角、垂直的坐标表示(1)向量的模：设a(x，y)，则a2x2y2，即|a|.(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，它们的夹角为，则cos .特别地，若ab，则x1x2y1y20，反之亦成立课堂互动探究数量积的坐标运算例1已知平面向量a(2，4)，b(1，2)，若ca(ab)b，求|c|.【思路探究】由已知条件求出c的坐标，再根据公式|c|求解【自主解答】a(2，4)，b(1，2)，ab2(1)426，ca(ab)b(2，4)6(1，2)(2，4)(6，12)(26，412)(8，8)，|c|8.规律方法1进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2aa.(ab)(ab)|a|2|b|2.(ab)2|a|22ab|b|2.2利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解变式训练已知向量a(1，2)，b(3，4)，求ab，(ab)(2a3b)【解】法一a(1，2)，b(3，4)，ab(1，2)(3，4)132411，(ab)(2a3b)2a2ab3b22|a|2ab3|b|22(1222)113(3242)54.法二a(1，2)，b(3，4)，ab11，ab(1，2)(3，4)(2，2)，2a3b2(1，2)3(3，4)(2133，2234)(11，16)，(ab)(2a3b)(2，2)(11，16)211(2)1654.向量垂直的坐标表示的应用例2已知a(，)，ab，ab，若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.【思路探究】题目中给出了向量a的坐标，而欲求的向量b满足：ab，ab且三角形AOB且以O为直角顶点的等腰直角三角形，则可先设出b(x，y)，由，列出方程组求出向量b.【自主解答】法一设向量b(x，y)，则ab(x，y)，ab(x，y)，由题意可知，0，|，从而有：解得或所以b(，)或b(，)法二设向量b(x，y)，依题意，0，|，则(ab)(ab)0，|ab|ab|，所以|a|b|1，ab0.所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量，即有解得b(，)或b(，)规律方法1向量的垂直问题主要借助于结论：abab0x1x2y1y20，把几何问题转化为代数问题它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握2两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截然不同，不能混淆变式训练设a(m1，3)，b(1，m1)，若(ab)(ab)，求实数m的值【解】由题设，ab(m2，m4)，ab(m，m2)(ab)(ab)，(ab)(ab)0.即(m2)m(m4)(m2)0.m22mm22m80，即4m80，m2.向量夹角问题例3已知点A(2，2)，B(4，1)，O为坐标原点，P为x轴上一动点，当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值【思路探究】设点P(x，0)，将表示成x的函数，即可求得相应的最小值及x的值，再由夹角公式即得结论【自主解答】设点P(x，0)，则(x2，2)，(x4，1)(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21.当x3时，取最小值1.此时，(2，2)(3，0)(1，2)(4，1)(3，0)(1，1)，|，|，cosAPB.规律方法利用向量的坐标运算求出两向量的数量积和模的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值利用函数思想处理最值问题，是一种常用方法，需切实掌握变式训练已知ABC顶点的坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)(1)若c5，求cos A的值；(2)若A为钝角，求c的取值范围【解】(1)(3，4)，(c3，4)，当c5时，(2，4)cos A.(2)若A为钝角，则3(c3)16253c0，解得c.显然此时有和不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为(，).易错易误辨析由夹角范围求参数范围时忽视向量共线情况致误典例已知向量a(2，1)，b(t，1)，且a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围【错解】a与b的夹角为钝角，cosa，b0，即ab(2，1)(t，1)2t10，t，t的取值范围为(，) .【错因分析】错解忽视了a与b反向共线时，也有ab0成立，应排除使a与b反向的t值【防范措施】两非零向量夹角的范围满足0180，因此，仅依靠cos 的正负不能判定为锐角或钝角cos 0且cos 1时，为钝角，cos 0且cos 1时，为锐角【正解】a与b的夹角为钝角，cosa，b0，即ab(2，1)(t，1)2t10，t.若ab，可设ab，则(2，1)(t，1)，解得此时ab，a与b反向，所成角为180，故t2不合题意t的取值范围是(，2)(2，)1向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)(2)求两向量的夹角(3)证明两向量垂直2利用数量积求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积(2)利用|a|计算出这两个向量的模(3)由公式cos 直接求出cos 的值(4)在0内，由cos 的值求角.当堂双基达标1已知A(1，2)，B(2，1)，则|_.【解析】(1，1)，|.【答案】2已知a(5，5)，b(0，3)，则a与b的夹角为_【解析】cos ，又0，.【答案】3已知向量a(x5，3)，b(2，x)，且ab，则x的值等于_【解析】由ab得ab0，即2(x5)3x0，解得x2.【答案】24已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，1)，求和ACB的大小，并判断ABC的形状【解】(3，1)，(1，3)，3(1)(1)(3)0.又tanACB1.ACB45.ABC是等腰直角三角形，其中A90.课后知能检测一、填空题1设a(1，2)，b(3，4)，c(3，2)，则(a2b)c_.【解析】a2b(5，6)，(a2b)c15123.【答案】32已知a(1，)，b(2，0)，则|ab|_.【解析】ab(1，)，|ab|2.【答案】23(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2，2)若ABO90，则实数t的值为_【解析】ABO90，0.又(2，2)(1，t)(3，2t)，(2，2)(3，2t)62(2t)0.t5.【答案】54设向量a(1，2)，b(x，1)，当向量a2b与2ab平行时，ab等于_【解析】a2b(12x，4)，2ab(2x，3)，a2b与2ab平行，(12x)34(2x)0，x，ab(1，2)(，1)121.【答案】5已知向量a(1，2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a与c的夹角是_【解析】设c(x，y)，则(ab)c(1，2)(x，y)x2y，x2y.又|a|c|，且acx2y|a|c|cos ，故cos ，0，.【答案】6已知向量(2，2)，(4，1)，O为坐标原点，在x轴上取一点P使有最小值，则点P的坐标是_【解析】设点P坐标为(x，0)，则(x2，2)，(x4，1)，(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21，当x3时，有最小值1.点P的坐标为(3，0)【答案】(3，0)7若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且|b|3，则b_.【解析】a与b共线且方向相反，ba(0)，设b(x，y)，则(x，y)(1，2)，得由|b|3，得x2y245，即24245，解得3，b(3，6)【答案】(3，6)8已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c_.【解析】设c(m，n)，则ac(1m，2n)，ab(3，1)，因为(ca)b，所以3(1m)2(2n)又c(ab)，所以3mn0.联立，解得m，n，则c(，)【答案】(，)二、解答题9在ABCD中，A点坐标为(1，0)，B点坐标为(3，2)，C点坐标为(4，1)，求与夹角的余弦值【解】A点坐标为(1，0)，B点坐标为(3，2)，C点坐标为(4，1)，(2，2)，(3，1)，(1，3)又由题意可知，(1，3)(2，2)(1，5)设与的夹角为，则cos .10(2013南昌高一检测)已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.【解】(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则1(x)x(2x3)0，即x22x0，解得x0或x2.当x0时，a(1，0)，b(3，0)，则|ab|(1，0)(3，0)|(2，0)|2.当x2时，a(1，2)，b(1，2)，则|ab|(1，2)(1，2)|(2，4)|2.|ab|2或2.11已知a(，1)，b(，)，且存在实数k和t，使得xa(t23)b，ykatb，且xy，试求的最小值【解】a(，1)，b(，)，|a|2，|b|1.又ab(1)0，ab.由xy得a(t23)b(katb)0，即ka2(t33t)b2(tkt23k)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.将|a|2，|b|1代入上式，得4kt33t0，解得k.(t24t3)(t2)2.故当t2时，取得最小值，为.教师备课资源(教师用书独具)备选例题在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值【思路探究】(1)分别求出，的坐标，通过向量的坐标运算得到，代入向量长度公式即得对角线的长度；(2)利用向量数量积的坐标运算，建立关于t的方程，解方程即得【自主解答】(1)由题设知(3，5)，(1，1)，则(2，6)，(4，4)，所以|2，|4.故所求的两条对角线的长分别为2，4.(2)由题设知(2，1)，t(32t，5t)由(t)0，得(32t，5t)(2，1)0，即5t11，解得t.规律方法1熟练地运用向量的平行四边形法则，写出表示对角线的向量是关键2涉及方程思想的应用，一般地，求参数