《4.4.3 参数方程的应用》习题2.doc

1当x2y24时，求ux22xyy2的最值【解】设(02)，于是ux22xyy24cos28cos sin 4sin24cos 24sin 28sin(2)所以，当，x，y1时，或，x，y1时，umax8；当，x1，y时，或，x1，y时，umin8.2若x，y满足(x1)2(y2)24，求2xy的最值【解】令x12cos ，y22sin ，则有x2cos 1，y2sin 2，故2xy4cos 22sin 24cos 2sin 2sin()(tan 2)22xy2.即2xy的最大值为2，最小值为2.3过点P(3，0)且倾斜角为30的直线和曲线(t为参数)相交于A、B两点求线段AB的长【解】直线的参数方程为(s为参数)，曲线(t为参数)可以化为x2y24.将直线的参数方程代入上式，得s26s100.设A、B对应的参数分别为s1，s2，s1s26，s1s210.AB|s1s2|2.4已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使OPA90，求椭圆离心率的取值范围【解】设椭圆的方程为1，A(a，0)，设P(acos ，bsin )是椭圆上一点，则(acos a，bsin )，(acos ，bsin )，由于OPA90，所以0，即(acos a)acos b2sin20，a2(cos2cos )b2sin20，a2cos (cos1)b2(1cos )(1cos )0.因为P与A不重合，所以cos 10，则a2cos b2(1cos )，11.因为(0，)(，2)，所以(，1)，e(，1)5已知椭圆y21上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：OPOQ为定值【证明】设M(2cos ，sin )，为参数，B1(0，1)，B2(0，1)则MB1的方程：y1x，令y0，则x，即OP|.MB2的方程：y1x，令y0，则x.OQ|.OPOQ|4.即OPOQ4为定值6已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(为参数)，(1)当时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线【解】(1)当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21.联立方程组解得C1与C2的交点为(1，0)，(，)(2)C1的普通方程为xsin ycos sin 0.A点坐标为(sin2，cos sin )，故当变化时，P点轨迹的参数方程为(为参数)，P点轨迹的普通方程为(x)2y2，故P点的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆7求椭圆C：1上的点P到直线l：3x4y180的距离的最小值【解】设点P的坐标为 (4cos ，3sin )，其中0，2)，则点P到直线l的距离d，当sin()1时，等号成立因为0，2)，所以.所以当时，d取得最小值.教师备选8在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为，其中为参数以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()3.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和