《3.3.3 简单的线性规划问题》教学案4.doc

33.3简单的线性规划问题教学案 第1课时教学教法分析(教师用书独具)三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性3情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣. 重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解难点：利用图解法求最优解为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化教学方案设计(教师用书独具)教学建议 从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性教学流程课前自主导学课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法(重点、难点)知识1 可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.知识2线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.课堂互动探究类型1 线性规划问题例1设z3x5y，式中变量x、y满足条件求z的最小值【思路探究】【自主解答】画出约束条件表示的点(x，y)的可行域，如图所示的阴影部分(包括边界直线)把z3x5y变形为yx，得到斜率为，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线作直线l：3x5y0，把直线向右上方平行移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时l1：3x5yz0的纵截距最小，同时z3x5y取最小值解方程组得M(1，1)故当x1，y1时，zmin8.规律方法1由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点对于目标函数zaxby，当b0时，直线截距最大时，z有最大值，截距最小时，z有最小值；当b0时，则相反2图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z的几何意义求解平移直线axby0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得变式训练设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为多少【解】作可行域如图所示，解得A(3，5)解得B (5，3)平移直线3x4yz可知，直线过A点时，z取最小值，过B点时，z取最大值zmin334511，zmax35433.类型2 利用线性规划求字母参数的值(或范围)例2已知x，y满足设zaxy(a0)，若当z取最大值时，对应的点有无数多个，求a的值【思路探究】【自主解答】作出可行域如图所示由得点A的坐标为(5，2)由得点C的坐标为C(1，4.4)当直线zaxy(a0)平行于直线AC，且直线经过线段AC上任意一点时，z均取得最大值，此时有无数多点使z取得最大值，而kAC，a，即a.规律方法1本题中，z取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界2解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题变式训练若x，y满足约束条件目标函数zax2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的取值范围是_【解析】作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数zax2y，即yx仅在点(1，0)处取得最小值，故其斜率应满足12，即4a2.故填(4，2)【答案】(4，2)类型3 求非线性目标函数的最值例3已知x，y满足条件(1)求ux2y2的最大值和最小值；(2)求z的最大值和最小值【思路探究】【自主解答】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示(1)ux2y2，为点(x，y)到原点(0，0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B到原点的距离最大，而当(x，y)在原点时，距离为0.由得点B的坐标为(1，6)，(x2y2)max(1)2(6)237，(x2y2)min0.(2)z，所以求z的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x，y)与点(5，0)连线斜率的最大值和最小值设点M的坐标为(5，0)，由得点C的坐标为(3，2)，由(1)知点B的坐标为(1，6)，kmaxkMC1，kminkMB，的最大值是1，最小值是.规律方法1本题中，(1)x2y2是平面区域内的点(x，y)到原点的距离的平方；(2)可看成平面区域内的点(x，y)与点(5，0)连线的斜率2解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义变式训练已知x，y满足(1)求zx2y22x2y2的最小值；(2)求z|x2y4|的最大值【解】(1)作出可行域，如图所示，z()2，z可看作是可行域内任意一点(x，y)到点M(1，1)的距离的平方由图可知zmin等于原点到直线xy40的距离的平方，zmin()28.(2)z|x2y4|，z可看作是可行域内任意一点(x，y)到直线x2y40的距离的倍由图可知点C到直线x2y40的距离最大由得点C(7，9)，zmax21.易错易误辨析直线的倾斜程度判断不准致误典例已知求zxy的最大值【错解】作出可行域，如图所示作出直线l0：xy0，将它移至点B，则点B的坐标是可行域中的最优解，它使z达到最大值解方程组得点B的坐标为(，)所以zmax.【错因分析】将直线l0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B而是点A，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是，而目标函数zxy的斜率为1，它夹在与之间，故经过点B时，直线xyz必在点A的下方，即点B不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A.【防范措施】解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点【正解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图作出直线l0：xy0，将它向上平移，当它经过点A时，z取得最大值解方程组得故zmax1基础知识：(1)可行域；(2)线性规划2基本技能：(1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)；(3)求非线性目标函数的最值3思想方法：(1)数形结合思想；(2)函数思想；(3)转化思想当堂双基达标1已知实数x，y满足则目标函数zx2y的最小值为_【解析】画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，3)处取得最小值3.【答案】3图3372给出平面区域(包含边界)如图337所示，若使目标函数zaxy(a0)取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为_【解析】由题意知akAC，a.【答案】3已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是_【解析】目标函数是可行域上的动点(x，y)与原点连线的斜率，最小值是kOC，最大值是kAO6，又可行域边界取不到，6.【答案】(，6)4已知x、y满足条件求z4x3y的最值【解】原不等式组表示的平面区域如图所示：其中A(4，1)、B(1，6)、C(3，2)作与4x3y0平行的直线l：4x3yt，即yx，则当l过C点时，t最小；当l过B点时，t最大zmax4(1)3(6)14，zmin4(3)3218.课后知能检测一、填空题1(2013微山高二检测)设x，y满足约束条件则z3xy的最大值为_【解析】不等式组表示的平面区域如图所示：把z3xy变形为y3xz得到斜率为3，在y轴截距为z的一族平行直线，由图当直线l：y3xz过可行域内一点M时，在y轴截距最大，z也最大由即M(3，2)当x3，y2时，zmax33(2)7.【答案】72(2013苏州高二检测)变量x，y满足则使得z3x2y的值最小的(x，y)是_【解析】不等式组表示的平面区域如图所示：把z3x2y变形为yx，作与直线l0：yx平行的直线l，显然当l经过可行域内点M时在y轴上截距最小，z也最小由即M(3，6)时，z3x2y的值最小【答案】(3，6)3设z2y2x4，式中的x，y满足条件则z的取值范围是_【解析】作出满足不等式组的可行域(如图所示)，作直线2y2x0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A(0，2)时，zmax222048；当直线经过点B(1，1)时，zmin212144.所以z的取值范围是4，8【答案】4，84(2013连云港检测)设实数x，y满足则的最大值是_【解析】不等式组表示的平面区域如图所示：又表示过平面区域内一点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率，由图知(x，y)在平面区域内A点处时直线斜率最大由得A(1，)，的最大值为.【答案】5(2013无锡检测)二元一次方程组表示的平面区域内，使得x2y取得最小值的整点坐标为_【解析】不等式组表示的平面区域如图所示：平面区域不包括边界，平面区域内的整点共有(1，1)，(1，2)，(2，1)三个代入检验知，整点为(1，2)时x2y取得最小值【答案】(1，2)6已知且ux2y24x4y8，则u的最小值为_【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x2)2(y2)2()2，则()min，umin.【答案】7已知变量x，y满足约束条件1xy4，2xy2.若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3，1)处取得最大值，则a的取值范围为_【解析】由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数zaxy在点(3，1)处取得最大值，结合图形可知a1.【答案】(1，)8如果点P在平面区域内，点Q在曲线x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值为_【解析】首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x2(y2)21，如图所示，从而可知点P到Q的距离最小值是可行域上的点到(0，2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ|min11。【答案】1二、解答题9设x，y，z满足xyz1及不等式组求F2x6y4z的最大值和最小值【解】因为xyz1，所以z1xy，所以题设中的不等式组可化为并且F2x6y4(1xy)2x2y4.画出可行域如图所示，将目标函数变形为yx，所以直线l：yx的纵截距越大，F越大由图可知，当直线l经过点A(0，2)时，Fmax2248；当直线l经过点C(1，1)时，Fmin4.10已知变量x，y满足(1)设y2xp，求p的最大值和最小值；(2)求的取值范围；(3)求x2y2的取值范围【解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示(1)p的几何意义为直线y2xp在y轴上的截距，由图可知直线y2xp经过(1，1)时，pmin3；经过(5，2)时，pmax12.(2)的几何意义为平面区域内的点与原点连线的斜率，由图可知.(3)x2y2的几何意义为平面区域内的点与原点距离的平方，由图可知2x2y229.11已知实数x，y满足若目标函数zxy的最小值的取值范围是2，1，求目标函数的最大值的取值范围【解】不等式组表示的可行域如图所示，目标函数变形为yxz，当z最小时就是直线yxz在y轴上的截距最大当z的最小值为1，即直线yx1时，由可得此时点A的坐标是(2，3)，此时m235；当z的最小值为2，即直线yx2时，由可得此时点A的坐标是(3，5)，此时m358.故m的取值范围是5，8而目标函数取最大值时，yxz在y轴上截距最小，此时目标函数过B(m1，1)，于是zmaxm11m2.因为m的取值范围是5，8，所以目标函数最大值的取值范围是3，6教师备课资源(教师用书独具)备选例题已知x、y满足不等式组求使z160x252y取得最小值的非负整数点【思路探究】先找出可行域中的所有整点，再寻求其中符合题意的整点【自主解答】不等式组表示的平面区域如图所示其可行域为四边形ABCD及其内部，它的顶点坐标是A(，4)，B(7，)，C(7，2)，D(5，4)结合图形可知，在四边形区域内，横坐标与纵坐标都是非负整数的点有(3，4)，(4，3)，(4，4)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，2)，(6，3)，(7，1)，(7，2)作直线l：160x252y0，将l向右上