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1 第五节函数的微分 问题的提出微分的定义微分的几何意义微分公式与微分运算法则微分在近似计算中的应用小结 CH2导数与微分 2 函数的变化率问题 函数的增量问题 微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法 叫做微分法 研究微分法与导数理论及其应用的科学 叫做微分学 微分学所要解决的两类问题 导数 微分与连续性的联系 可导 可微 连续 内容回顾 3 说法不对 从概念上讲 微分是从求函数增量引出线性主部而得到的 导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限 它们是完全不同的概念 定理 4 导数与微分的区别 5 例8 解 6 五 微分在近似计算中的应用 7 例9 解 8 例10 解 2 计算函数的近似值 9 解 例11 10 常用近似公式 1 2 3 4 5 11 解 例12 12 第二章导数与微分习题课 内容回顾典型例题作业点评巩固练习 13 一 主要内容 一 内容回顾 1 导数的定义 实质 增量比的极限 3 导数的几何意义 切线的斜率 导数与导函数的区别与联系 4 求导四则运算法则 注 2 分段函数求导时 分段点处的导数必须用定义 左右导数 求 14 5 反函数的求导法则 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 6 复合函数的求导法则 注意函数的复合过程 合理分解 正确使用链式法则 7 高阶导数的定义及运算法则 n阶导数的求法 1 直接法 2 间接法 8 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 求导过程中注意函数的复合关系 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出导数 9 对数求导法 注意适用范围 15 10 由参数方程所确定的函数的导数 实质上是利用复合函数求导法则 始终以t为中间变量 x为自变量 11 相关变化率 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 解法 通过建立两者之间的关系 用链式求导法求解 16 12 微分的定义及求法 求法 计算函数的导数 乘以自变量的微分 微分形式的不变性 13 微分的基本运算法则 14 导数 微分与连续的关系 17 可微 几个重要概念之间的关系 可导 有极限 连续 18 理解导数与微分概念 了解导数的几何意义 可导 可微 与连续的关系 会用定义求导数 掌握隐函数和参数方程所确定的函数的一阶 二阶导数的求法 熟练掌握导数的运算法则及求导公式 能熟练地求初等函数的一阶 二阶导数与微分 了解高阶导数的概念 二 大纲要求 19 重点 导数与微分的概念 熟练掌握求各类函数的导数的方法 关键 熟记求导公式和求导法则 本章重点难点 20 二 典型例题 基本题型小结 可导与连续性的讨论 函数的微分 函数的求导问题 应用 分段函数在分段点的导数 可导必连续 导数定义 基本公式 导数四则运算 复合求导 导数的应用 微分的应用 反函数求导 隐函数求导 对数求导 参数方程求导 高阶导数 函数变化率问题 切线 速度 函数增量问题 增量与函数近似值 21 二 典型例题 例1判断下列运算的对错 22 23 1 用导数定义求导 例2 解 24 右导数 例2 25 解1 解2 分段函数在分段点的导数必须用定义 例3 26 例4 解 先去掉绝对值 27 解 不能用公式求导 例5 28 解 典型例题 29 典型例题 30 2 根据导数运算法则求导数 基本初等函数的求导公式 四则运算法则 复合函数运算法则 隐函数求导法则 参数方程所确定的函数的求导公式 对数求导法则 例7 解 31 例8 解 32 于是 解两边取对数得 两边对求导 33 例9 解 两边取对数 34 直接法 间接法 莱布尼兹公式法 3 求高阶导数 2 注意总结规律 35 解 直接法 间接法 莱布尼兹公式法 3 求高阶导数 36 例12 解 37 38 解 1 连续性 可导性 类似总习题二 P122 7 39 2 40 证 分析 习题2 1 P87 T11 三 作业点评 41 习题2 3 P103 T4 分析 42 反之 不成立 总习题二 P125 T3 43 4 设有一细棒 取棒的一端作为原点棒上任意点的坐标为x 于是分布在区间 0 x 上细棒的质量m是x的函数m m x 应怎样确定细棒在x0点处的线密度 解 如图所示 所以x0点处的线密度为上式极限 即 总习题二 P125 T4 44 解 7 讨论下列函数在原点处的连续性与可导性 故原点处导数不存在 所以该函数原点处是连续的 总习题二 P125 T7 45 解 7 讨论下列函数在原点处的连续性与可导性 故原点处导数不存在 所以该函数原点处是连续的 总习题二 P125 T7 想一想结果如何 在x 0极限不存在 从而不连续进而不可导 可导从而连续 46 16 甲船以6km h速率向东行驶 乙船以以8km h速率向南行驶 在中午十二点正 乙船位于甲船之北16km处 问下午一点正两船相离的速率为多少 解 建坐标系如图 十二点后的t时刻两船的位置如图 此时两船的距离为 总习题二 P126 T16 47 解 由近似公式 17 用微分求近似值 得 几个常用的近似公式 总习题二 P127 T17 48 解 18 已知单摆的振动周期为其中 l为摆长 单位为cm 设原摆长为20cm 为使周期T增大0 05s 摆长约需加多少 所求问题为已知自变量