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1 26 第五节极限运算法则 二 极限四则运算法则 四 小结思考题 一 无穷小的性质 三 复合函数的极限 2 26 一 无穷小的运算性质 定理1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 证 考虑两个无穷小之和 且仅证的情形 1 和的性质 3 26 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 n个 例如 非无穷小 4 26 证 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 分析 仅证时 注 M为定值 2 乘积的性质 设 又设 即 当 时 有 取 则当 时 就有 证完 故 即 是 时的无穷小 5 26 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小 都是无穷小 例1 解 由定理2可知 说明 y 0是 的渐近线 6 26 二 极限的运算法则 定理3 证 由无穷小运算法则 得 以下符号lim表示自变量的同一变化过程 推广到有限项 声明 1 函数极限运算法则 7 26 由第三节定理3 得 8 26 推论1 常数因子可以提到极限记号外面 推论2 有界 函数和 差 积 商的极限等于极限的和 差 积 商 9 26 定理4 设数列 注意 定理3及其两个推论成立的前提条件是 f x 与g x 的极限存在 若 则 2 数列极限运算法则 10 26 定理5 证 令 则 由定理3可知 由第三节函数极限的局部保号性的推论可知 证完 3 极限保序性 11 26 例2 解 求极限方法举例 12 26 小结 需特别注意 13 26 解 商的法则不能用 例3 方法 无穷大的倒数法 x 1时 分母 0 分子 0 但因 14 26 解 例4 方法 消去零因子法 15 26 例5 解 16 26 小结 以分子 分母中自变量的最高次幂除分子 分母 以分出无穷小 然后再求极限的方法 称之 无穷小量分出法 分式求极限一般有如下结果 为非负常数 17 26 例6 解 先变形再求极限 方法 先变形再求极限法 18 26 例7 解 左右极限存在且相等 方法 分段函数在分界点的极限 一般考察左右极限 19 26 三 复合函数的极限法则 分析 需证 有 1 定理6 20 26 证明 有 有 1 2 21 26 意义 1 2 两式同时成立 即 从而 此即 证完 22 26 例8 解 方法 先有理化后可变为定式 23 26 三 小结 1 极限运算法则 1 无穷小运算性质 2 极限四则运算法则 3 复合函数极限运算法则 注意使用条件 24 26 4 复合函数极限求法 设中间变量 2 利用无穷小运算性质求极限 3 利用左右极限求分段函数极限 2 求函数极限的方法 1 多项式 分式函数极限求法 1 x x0时 用代入法 分母不为0 2 x x0时 对 型 消去无穷小公因子 3 x 时 分子分母同除最高次幂 抓大头 无穷小因子分出法 25 26 思考题 在某个过程中 若有极限 无极限 那么
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