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文档简介

1 8 2多元函数的概念 一 二元函数的定义与几何意义二 二元函数的极限三 二元函数的连续性 2 二元函数的定义 定义 设D是一个平面点集 若对于D内每个点P x y 变量z按照某个确定的对应法则f都有唯一确定的值和它对应 则称f是定义在D上的函数 记为z f x y 或记为z f P 类似地可定义三元及三元以上函数 u f x y z 当n 2时 n元函数统称为多元函数 多元函数同样有定义域 值域 自变量 因变量等概念 二元函数有两个自变量 故其定义域是一个平面上的区域 Df x y 3 例题与讲解 例求函数定义域 解 所求定义域为 4 例题与讲解 例 求下面二元函数的定义域 解由分子 知x y应满足 由分母 知x y应满足 且 故定义域为 且 5 二元函数的图形 定义 二元函数的图形通常是一张曲面 6 二元函数的极限 描述性定义 当二元函数z f x y 定义域Df内的动点P x y 无限趋近定点P x0 y0 时 相应的函数值无限接近某确定的常数A 则称当x x0 y y0时函数z f x y 以为A极限 记 注意 对于一元函数的极限 自变量只要沿x轴从左右两个方向趋向于x0时 函数值变化趋势一致就够了 而对于二元函数极限 动点P P0的方式要复杂得多 因为平面上 动点趋向于定点的方式有很多 只有动点P以各种可能的方式趋向于定点时 函数的极限都存在且相等 这时才算 存在 7 二元函数极限的分析定义 定义 8 例题与讲解 例 求证 证 当时 结论成立 9 极限计算 10 例题与讲解 例 求极限 解 其中 有界量与无穷小量之积 11 例题与讲解 证明 12 例题与讲解 例 证明 不存在 证 取 其值随k的不同而变化 故极限不存在 13 多元函数的连续性 定义 设n元函数f P 的定义域为点集D P0是其聚点且P0 D 如果 则称n元函数f P 在点P0处连续 间断点 设P0是n元函数f P 定义域D的聚点 如f P 在点P0处不连续 则称P0是函数f P 的间断点 多元连续函数的性质 与一元函数类似 有 连续的四则运算 复合运算性质 最值定理 介值定理 初等函数在定义区域内连续等 14 例题与讲解 例 讨论函数 在 0 0 的连续性 解 取y kx 其值随k的不同而变化 故极限不存在 所以 函数在 0 0 处不连续 15 例题与讲解 例 讨论函数 在 0 0 的连续性 解 极限四
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