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2020年2月11日星期二 1 第五节函数的微分 第二章 三 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 二 微分的几何意义 一 微分的定义 四 微分在近似计算中的应用 Function sDifferential 五 本章小结与思考题 2020年2月11日星期二 2 一 微分的定义 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 问此薄片面积改变了多少 设薄片边长为x 面积为A 则 面积的增量为 关于 x的线性主部 故 当x在 取 变到 边长由 其 DefinitionofDifferentials 2020年2月11日星期二 3 的微分 在点的增量可表示为 A为不依赖于 x的常数 则称函数 而称为 记作 即 定理函数 在点可微的充要条件是 即 在点 可微 定义若函数 2020年2月11日星期二 4 证 必要性 已知 在点可微 则 故 在点的可导 且 在点可微的充要条件是 在点处可导 且 即 定理函数 2020年2月11日星期二 5 在点可微的充要条件是 在点处可导 且 即 充分性 已知 即 在点的可导 则 定理函数 2020年2月11日星期二 6 时 所以 时 很小时 有近似公式 与 是等价无穷小 当 故当 说明 2020年2月11日星期二 7 二 微分的几何意义 切线纵坐标的增量 当很小时 则有 从而 导数也叫作微商 自变量的微分 记作 记 2020年2月11日星期二 8 又如 例如 2020年2月11日星期二 9 三 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1 基本初等函数的微分公式 参看课本表格 2 函数和 差 积 商的微分法则 设u x v x 均可微 则 C为常数 2020年2月11日星期二 10 3 复合函数的微分法则 分别可微 的微分为 微分形式不变性 则复合函数 解法1 解法2 利用 微分形式不变性 2020年2月11日星期二 11 求 解 利用一阶微分形式不变性 有 例2设 例3在下列括号中填入适当的函数使等式成立 说明 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容 注意 数学中的反问题往往出现多值性 点击看其他例子 2020年2月11日星期二 12 数学中的反问题往往出现多值性 例如 2020年2月11日星期二 13 四 微分在近似计算中的应用 当 很小时 使用原则 得近似等式 2020年2月11日星期二 14 很小时 常用近似公式 很小 证明 令 得 特别当 2020年2月11日星期二 15 的近似值 解 设 取 则 例4求 2020年2月11日星期二 16 的近似值 解 例5计算 2020年2月11日星期二 17 内容小结 1 微分概念 微分的定义及几何意义 可导 可微 2 微分运算法则 微分形式不变性 u是自变量或中间变量 3 微分在近似计算中的应用 2020年2月11日星期二 18 课后练习 习题2 51 4 2
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